Macierze mgr Zofia Makara 21 marca 2004 1 Wprowadzenie Głównym zagadnieniem algebry liniowej jest teoria ukÅ‚adów rownaÅ„ linio- wych postaci: Å„Å‚ ôÅ‚ a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ òÅ‚ a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 . . ôÅ‚ ôÅ‚ . ôÅ‚ ôÅ‚ ół ak1x1 + ak2x2 + ... + aknxn = bk Niech K bÄ™dzie ciaÅ‚em liczbowym (przemiennym), ajs " K, bj " K, xj " K, 1 j n; 1 s m. ajs, bj - zadane elementy xj - szukane (nieznane) elementy. Definicja 1 k×n macierzÄ… elementów ciaÅ‚a K (lub macierzÄ… o k wierszach i n kolumnach elemnentów ciaÅ‚a K) nazywamy odwzorowanie: {1, .., k} × {1, .., k} (j, s) ajs " K ajs = f(j, s) " K. Macierze zapisujemy w postaci: îÅ‚ Å‚Å‚ a11 a12 ... a1n ïÅ‚ a21 a22 ... a2n śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł . ïÅ‚ śł . ðÅ‚ . ûÅ‚ ak1 ak2 ... akn Definicja 2 MacierzÄ… kwadratowÄ… stopnia n nazywa siÄ™ macierz, która po- siada tÄ… samÄ… ilość wierszy i kolumn (jest typu n × n): îÅ‚ Å‚Å‚ a11 a12 ... a1n ïÅ‚ a21 a22 ... a2n śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł . ïÅ‚ śł . ðÅ‚ . ûÅ‚ ak1 ak2 ... ann 1 PrzykÅ‚ad 1 Macierz prostokÄ…tna 3 × 2: îÅ‚ Å‚Å‚ 2 21 ïÅ‚ śł ðÅ‚ -5 12 ûÅ‚ 3 712 Macierz kwadratowa 2 × 2
-1 1 -5 3 Uwaga 1 Wiele informacji z życia codziennego również zapisuje się w po- staci macierzy, na przykład rozkłady jazdy (od, do, godzina wyjazdu, godzina przyjazdu, ilość przesiadek, typ):
Rzeszow Lublin 5.15 10.02 0 O Rzeszow Lublin 12.40 17.45 1 O - P Definicja 3 Macierz A w której zamieniono wiersze na kolumny o tych samych numerach nazywamy macierzÄ… transponowanÄ… (albo przestawionÄ…) do A i oznaczamy symbolem AT PrzykÅ‚ad 2 îÅ‚ Å‚Å‚ 1 41
ïÅ‚ śł 1 -3 34 12 ïÅ‚ -3 -5 śł A = ; AT = ïÅ‚ śł . 41 -5 4 2 ðÅ‚ 34 4 ûÅ‚ 12 2 Uwaga 2 A = (AT )T Uwaga 3 O macierzy A o n wierszach i m kolumnach mówi siÄ™ macierz jest wymiaru (typu) m × n. i zapisuje w skróconej postaci: [aik]n×m lub [aik] (i = 1, ..., n; k = 1, ..., m) Definicja 4 Dwie macierze A = [aik]n×m i B = [bik]n×m tego samego typu nazywamy równymi, jeżeli wszystkie odpowiednie (polożone na tych samych miejcach) elementy obu macierzy sÄ… równe: aik = bik dla i = 1, ..., n; k = 1, ..., m. 2 Definicja 5 MacierzÄ… zerowÄ… A = [aik]n×m nazywa siÄ™ macierz dowolnego wymiaru, której wszystkie elementy sÄ… równe zeru, to znaczy aik = 0 dla i = 1, ..., n; k = 1, ..., m; i oznacza jako Åšn×m. Definicja 6 MacierzÄ… symetrycznÄ… A = [aik]n×n nazywa siÄ™ macierz kwa- dratowÄ… dowolnego stopnia, której wszystkie elementy poÅ‚ożone symetrycznie wzglÄ™dem głónwej przekÄ…tnej sÄ… równe, czyli: aik = aki dla i, k = 1, ..., n; Definicja 7 MacierzÄ… diagonalnÄ… A = [aik]n×n nazywa siÄ™ macierz kwadra- towÄ… dowolnego stopnia, której wszystkie elementy poÅ‚ożone polożone poza głównÄ… przekÄ…tnÄ… sÄ… równe 0, czyli: aik = 0 dla i = k i, k = 1, ..., n;
Definicja 8 MacierzÄ… jednostkowÄ… I = [iik]n×n nazywa siÄ™ macierz diago- nalnÄ…, której wszystkie elementy poÅ‚ożone polożone na głównej przekÄ…tnej sÄ… równe 1, czyli:
nazywamy kombinacjÄ… liniowÄ… kolumn ..., t o współczynnikach Ä…, ², ... x, y, , Å‚ " K. Podobnie okreÅ›la siÄ™ kombinacjÄ™ liniowÄ… wierszy. 3 2 DziaÅ‚ania na macierzach Niech bÄ™dzie dane ciaÅ‚o liczbowe K. Uwaga 4 Przez macierze tego samego typu rozumie siÄ™ macierze, które ma- jÄ… tÄ… samÄ… liczbÄ™ wierszy i kolumn. Definicja 9 (Dodawinie macierzy tego samego typu) SumÄ™ dwóch ma- cierzy A = [aik]n×m i B = [bik]n×m tego samego typu n × m tworzy siÄ™ przez dodanie do siebie elementów o tych samych numerach wierszy i kolumn: [aik]n×m + [bik]n×m = [aik + bik]n×m. WÅ‚asność 1 Dodawanie ma wÅ‚asnoÅ›ci: " Å‚Ä…cznoÅ›ci A + (B + C) = (A + B) + C; " przemiennoÅ›ci A + B = B + A; dla każdych macierzy A, B i C tego samego typu. Definicja 10 (Odejmowanie macierzy tego samego typu) RóżnicÄ™ dwóch macierzy A = [aik]n×m i B = [bik]n×m tego samego typu n × m tworzy siÄ™ przez odejmowanie od siebie elementów o tych samych numerach wierszy i kolumn: [aik]n×m - [bik]n×m = [aik - bik]n×m. Definicja 11 (Mnożenie macierzy przez skalar) Mnożenie macierzy A = [aik]n×m przez skalar Ä… " K polega na wymnożeniu wszystkich wszystkich elementów macierzy przez Ä…. Ä… · [aik]n×m = [Ä… · aik]n×m. Definicja 12 (Mnożenie dwóch macierzy) Mnożenie dwóch macierzy przez siebie jest możliwe jeÅ›li liczba kolumn pierwszej jest równa liczbie wierszy drugiej. Iloczynem A = [aik]n×m i B = [bik]m×k jest macierz C = [cik]n×k, której elementy powstajÄ… przez pomnożenie skalarnie wierszy pierwszej ma- cierzy przez kolumny drugiej: [aik]n×m · [bik]m×k = [ai1 · b1k + ai2 · b2k + ... + ain · bnk]n×k. Uwaga 5 Może być okreÅ›lony iloczyn A · B i nie być okreÅ›lony B · A, na przykÅ‚ad [aik]n×m · [bik]m×s istnije, ale [bik]m×s · [aik]n×m 4 nie istnieje dla s = n.
MogÄ… być okreÅ›lone oba iloczyny i być różne lub różnych wymiarów, na przy- kÅ‚ad: [aik]n×m · [bik]m×n dla m = n ma inny wymiar niż:
[bik]m×n · [aik]n×m. WÅ‚asność 2 Jeżeli macierz jednstkowa I posiada odpowiedni wymiar wów- czas: A · I = I · A = A. WÅ‚asność 3 Jeżeli macierz zerowa Åš posiada odpowiedni wymiar wówczas: A · Åš = Åš · A = Åš. Definicja 13 MacierzÄ… odwrotnÄ… do macierzy A, oznaczanej jako A-1 jest macierz, która spelnia warunki: AA-1 = A-1A = I. 3 Zadania 1. Dla danych macierzy A, B oblicz ich sumÄ™, różnicÄ™ i macierze trans- ponowane: "