Egzamin z Analizy 1, 12 II 2013 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne:
Zadanie Odp.
3n
1
1. Obliczyć granicę: lim 1 + e3
n
n"
RozwiÄ…zanie:
n 3
3n
1 1
lim 1 + = lim 1 + = e3
n n
n" n"
x2 + 4x
2. Obliczyć granicę lim 2
x0+ sin 2x
RozwiÄ…zanie:

0
0
x2 + 4x 2x + 4 4
lim lim = = 2
=
x0+ sin 2x x0+ 2 cos 2x 2
H
3. Obliczyć drugą pochodną f (1) jeżeli f(x) = 4(x + 1) ln(x2 + 1) 8
RozwiÄ…zanie:
4(x + 1) 8x2 + 8x
f (x) = 4 ln(x2 + 1) + · 2x = 4 ln(x2 + 1) +
x2 + 1 x2 + 1
8x (16x + 8)(x2 + 1) - (8x2 + 8x) · 2x
f (x) = +
x2 + 1 (x2 + 1)2
8 24 · 2 - 16 · 2
f (1) = + = 8
2 4

2x2
4. Obliczyć całkę nieoznaczoną dx x2 - 2x+
x + 1
2 ln |x + 1| + C
RozwiÄ…zanie:
2x2 = (2x - 2) · (x + 1) + 2 dzielimy wielomiany


2x2 2
dx = 2x - 2 + dx = x2 - 2x + 2 ln |x + 1| + C
x + 1 x + 1
5
"
5. Obliczyć całkę Riemanna 3 x - 1 dx 16
1
RozwiÄ…zanie:
5 4
" "
3 x - 1 dx = {t = x - 1 ; dt = dx ; t(1) = 0 ; t(5) = 4} = 3 t dt =
1 0
4
2 3 3 3
2 2 2
3 t = 2 · (4 - 0 ) = 2 · (8 - 0) = 16
0
3
1
2. Wyznaczyć wartość parametru a tak, aby funkcja f byłą ciągła. Dla wyznaczonej
wartości parametru sprawdzić monotoniczność funkcji, naszkicować wykres i sprawdzić
różniczkowalność funkcji w x = 1 .
Å„Å‚
1
òÅ‚
a - dla x < 1
f(x) =
x
ół
ln x dla x 1
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina funkcji D = (-", 0) *" (0, ")
Funkcja jest ciągła dla x = 1 . Funkcja będzie ciągła w punkcie x = 1 , gdy:

lim f(x) = lim f(x) = f(1)
x1+ x1-
f(1) = ln 1 = 0
lim f(x) = lim ln x = 0
x1+ x1+

1
lim f(x) = lim a - = a - 1
x1- x1- x
Funkcja jest ciągła dla a = 1 .
Aby zbadać monotoniczność obliczamy pochodną f (x)
Å„Å‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ dla x " (-", 0) *" (0, 1)
ôÅ‚
òÅ‚
x2
f (x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 1
ôÅ‚
ół
dla x > 1
x
Widać, że f (x) > 0 . Wynika stąd, że funkcja f jest rosnąca na przedziale (-", 0)
oraz na przedziale (0, ") .
Aby sprawdzić monotoniczność na całej dziedzinie, obliczamy:

1
lim f(x) = lim 1 - = +"
x0- x0- x

1
lim f(x) = lim 1 - = -"
x0+ x0+ x
Wniosek: ponieważ lim f(x) > lim f(x) więc funkcja nie jest rosnąca, czyli nie jest
x0- x0+
monotoniczna.
Sprawdzamy różniczkowalność funkcji f w x = 1. Obliczamy:



1
f (1+) = ln x = = 1 pochodna prawostronna
x
x=1 x=1



1 1
f (1-) = 1 - = = 1 pochodna lewostronna
x x2
x=1 x=1
Ponieważ f (1+) = f (1-) , więc funkcja jest różniczkowalna w x = 1
2
3. Znalez
ć ekstrema lokalne i globalne funkcji
6x2 - 16x + 9
f(x) =
x4
RozwiÄ…zanie:
DziedzinÄ… funkcji jest:
D = (-", 0) *" (0, ")
Badamy monotoniczność funkcji rozwiązując nierówność f (x) > 0 :

f (x) = 6x-2 - 16x-3 + 9x-4 = -12x-3 + 48x-4 - 36x-5
Rozwiązujemy nierówność f (x) > 0 .
x6
-12x-3 + 48x-4 - 36x-5 > 0 mnożymy przez > 0
12
-x3 + 4x2 - 3x > 0
-x(x2 - 4x + 3) > 0
-x(x - 1)(x - 3) > 0
x " (-", 0) *" (1, 3)
Wniosek:
Funkcja f(x) jest rosnÄ…ca przedziale (-", 0) oraz na przedziale < 1, 2 > ,
Funkcja f(x) jest rosnÄ…ca przedziale (9, 1 > oraz na przedziale < 2, ") ,
W punkcie x = 1 jest więc minimum lokalne,
w punkcie x = 3 jest więc maksimum lokalne.
Aby sprawdzić, czy x = 1 jest minimum globalnym obliczamy:
f(1) = -1

6 16 9
lim f(x) = lim - + = 0
x" x"
x2 x3 x4

6 16 9
lim f(x) = lim - + = 0
x-" x-"
x2 x3 x4
Ponieważ f(1) < f(+") oraz f(1) < f(-") więc x = 1 jest minimum globalnym.
Aby sprawdzić, czy x = 3 jest maksimum globalnym obliczamy:
5
f(3) =
27
6x2 - 16x + 9 9
lim f(x) = lim = = "
x0+ x0+ x4 0+
Ponieważ f(3) < lim f(x) więc x = 3 nie jest maksimum globalnym.
x-"
Odpowiedz
:
Funkcja ma:
minimum lokalne w punkcie x = 1,
minimum globalne w punkcie x = 3 o wartości f(1) = -1,
maksimum lokalne w punkcie x = 2,
nie ma maksimum globalnego
3
4. Obliczyć całkę nieoznaczoną

2 cos x(sin x - 1)
dx
sin3 x + sin x
RozwiÄ…zanie:
Podstawiamy: {t = sin x ; dt = cos x dx}

2(t - 1)
I = dt
t3 + t
Rozkładamy mianownik na czynniki:
t3 + t = t(t2 + 1)
Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:
2t - 2 A Bt + C
= + mnożymy: / · t(t2 + 1)
t(t2 + 1) t t2 + 1
2t - 2 = A(t2 + 1) + (Bt + C)t
2t - 2 = At2 + A + Bt2 + Ct
Å„Å‚
ôÅ‚ A + B = 0
òÅ‚
C = 2 =Ò! A = -2 , B = 2 , C = 2
ôÅ‚
ół
A = -2

1 t 1 t
I = -2 dt + 2 dt + 2 dt = -2 ln |t| + 2 arc tg t + 2 dt
t t2 + 1 t2 + 1 t2 + 1
Obliczamy całkę:


t 1 1 1
dt = s = t2 + 1 ; ds = 2t dt = ds = ln |s| + C = ln |t2 + 1| + C
t2 + 1 2s 2 2
StÄ…d:
I = -2 ln |t|+2 arc tg t+ln |t2+1|+C = -2 ln | sin x|+2 arc tg(sin x)+ln | sin2 x+1|+C
Odpowiedz
:
I = -2 ln | sin x| + 2 arc tg(sin x) + ln | sin2 x + 1| + C
4
5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = (x2 - 4) ln x , y = 0 .
RozwiÄ…zanie:
DziedzinÄ… funkcji f(x) = (x2 - 4) ln x jest D = (0, ")
Szukamy punktów przecięcia krzywych:

y = (x2 - 4) ln x
y = 0
(x2 - 4) ln x = 0
x2 - 4 = 0 lub ln x = 0
x = 2 lub x = 1 (punkt x = -2 nie należy do dziedziny).
Dla x " (1, 2) mamy x2 - 4) ln x < 0
Pole obszaru jest równe:
Å„Å‚ üÅ‚

2 2
òÅ‚ f(x) = ln x g (x) = x2 - 4 żł
S = 0-(x2-4) ln x dx = - (x2-4) ln x dx = 1 1 =
ół þÅ‚
f (x) = g(x) = x3 - 4x
1 1
x 3
1
2 2 2
x3 - 4x
1 16 1
3
- ln x · ( x3 - 4x) + dx = ln 2 + ( x2 - 4) dx =
3 x 3 3
1
1 1
2
16 1 16 29
ln 2 + x3 - 4x) = ln 2 -
3 9 3 9
1
Odpowiedz
:
16 29
Pole figury jest równe: S = ln 2 -
3 9
5
6. Obliczyć całkę niewłaściwą
"

dx
4x2 + x
1
RozwiÄ…zanie:
"
b
dx dx
I = = lim
b"
4x2 + x 4x2 + x
2 2
Rozkładamy mianownik na czynniki:
1
4t2 + x = 4x(x + )
4
Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:
1 A B
= +
1 1
4x(x + ) x x +
4 4
1
1 = 4A(x + ) + 4Bx
4
Podstawiamy x = 0 =Ò! A = 1
Podstawiamy x = -1 =Ò! B = -1
4
b b b
b b
dx 1 1 1
= dx - dx = ln |x| - ln |x + | =
1
2 2
4x2 + x x x + 4
4
2 2 2
b 9
1 9
ln b - ln 2 - ln(b + ) + ln = ln + ln
1
4 4
b + 8
4
Obliczamy granicÄ™:

b 9 1 9 9
lim ln + ln = lim ln + ln = ln
1 1
b" b"
b + 8 1 + 8 8
4 4b
Odpowiedz
:
"

dx 9
= ln
4x2 + x 8
1
6