WMIV ml 01

Wykład 1
Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości.
Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów.
Zestawienie wzorów i określeń.
Układ współrzędnych Kartezjański, prostokątny. Osie x y z oznaczono odpowiednio przez x1,
x2, x3.
t
x3
St
x2
P
&!
&!
&!
&!
x1
Su
Rozpatrujemy obszar &! z brzegiem S podzielonym na dwie rozłączne części Su i St.
Obszar ten wypełniony jest ciągłym ośrodkiem materialnym M.
Dowolny punkt P w obszarze &! ma współrzędne xP. Wektor położenia punktu P zapisywany
jest również przy użyciu następującej konwencji:
P P P P
x = ()
x1 ,x2 ,x3
lub w zapisie indeksowym: xiP , gdzie i=1, 2, 3.
Na części brzegu St. zadany jest wektor naprężenia t0 o składowych t0i (to znaczy: t01,. t02, t03).
Pod działaniem tego obciążenia punkty ciała M zmienia swoje położenie w przestrzeni.
Obszar &! zmienia kształt. Nowe położenia P' punktów ciała M nazywamy jego konfiguracją
odkształconą. Dowolny punkt P zajmuje w konfiguracji odkształconej nowe położenie xP':
P' P' P' P'
x = ()
x1 ,x2 ,x3
Różnica wektorów tych dwóch położeń punktu P opisana jest przez wektor przemieszczenia
uP(xP):
uP(xP)=xP'-xP
W zdeformowanym obszarze &! zdefiniowane jest tym samym pole wektora przemieszczenia
u(x) o składowych skalarnych (u1(x), u2(x), u3(x)). Pole to powinno być "zgodne" z danym
przemieszczeniem u0(x) zadanym na części Su brzegu &!. To znaczy, że:
dla x�"Su u(x)=u0(x) gdzie u0(x) jest dane
Odkształcenie nieskończenie małego elementu d&! opisane jest polem tensora małego
odkształcenia �
�:
�
�
1
�ł "u (x)�ł
"ui (x)
1 j 1
�ł �ł
�ij (x)= + lub zapisując skrótowo: �ij = ("ui, j + "u )
j,i
�ł
2 "x "xi �ł 2
j
�ł łł
Składowe tensora małego odkształcenia reprezentowane są przez macierz pól skalarnych:
�ł�11 �12 �13 łł
�ł� śł
� = � �
21 22 23
�ł śł
�ł�31 �32 �33 śł
�ł �ł
Myślowo wyodrębniony z obszaru &! element d&! oddziałuje z resztą obszaru, poprzez
element powierzchni dS, za pośrednictwem wektora naprężeń t. Składowe wektora naprężeń t
zależą nie tylko od punktu M w położeniu odkształconym P' ale także od orientacji
przestrzennej element powierzchni dS poprowadzonej przez P'. Ta orientacja zadana jest za
pośrednictwem n - jednostkowego wektora normalnego do dS. Wektor ten ma współrzędne
następujące:
n={cos(n,Ox1), cos(n,Ox2), cos(n,Ox3)}
Wielkością charakteryzującą stan naprężenia w punkcie ciała M w jego położeniu P' jest
tensor naprężenia �. Jest on związany z wektorem naprężenia w punkcie materialnym M
�
�
�
zależnością:
3
"� ij (x)n j (x)= ti (x,n)
j=1
Interpretacja i umowa o znakach dla macierzy składowych tensora naprężenia znana jest z
dotychczasowego kursu wytrzymałości materiałów.
�ł�11 �12 �13 łł
�ł� śł
� = � �
21 22 23
�ł śł
�ł�31 � 32 �33 śł
�ł �ł
Warunki równowagi zapisane dla element d&! prowadzą do sześciu równań (b jest wektorem
sił masowych):
� = � (symetria tensora naprężenia)
ij ji
3
"� "� "�
i1 i2 i3
dla i=1,2,3: + + + bi = 0 lub skrótowo: + bi = 0
"� ij, j
"x1 "x2 "x3
j=1
Związek pomiędzy tensorem odkształcenia a tensorem naprężenia jest właściwością materiału
i powinien być określony doświadczalnie. Liniowa teoria sprężystości zakłada, że związek ten
opisany jest uogólnionym prawem Hooke'a. Zapis tego prawa konstytutywnego, dla
przypadku materiału izotropowego podany jest poniżej:
3
1 +� �
�ij = � + �
"�
ij ij kk
E E
k =1
2
1 dla i = j
ńł
pomocniczy symbol � określa się nastepująco: � =
�
�
�
�ł
ij
ół0 dla i `" j
Zależność � �) można łatwo "odwrócić", obliczając � �:
�(� � w funkcji �
� � � �
� � � �
3
E �ł � �ł
�ij = �ł�ij + �
"� �ł
�ł ij kk �ł
1 +� 1 - 2�
�ł k=1 łł
Ramka nr 1 zawiera sformulowanie zadania liniowej teorii spreżystości:
Ramka 1. Sformułowanie liniowego problemu teorii sprężystości:
Znalezć wektorowe pole przemieszczeń u(x), oraz tensorowe pole naprężeń �
�(x), takie
�
�
że:
u(x)=u0(x) na części brzegu Su
naprężenia �(x) spełniają naprężeniowe warunki brzegowe (równowaga elementu w
�
�
�
sąsiedztwie brzegu St):
3
na części brzegu St
"� ij (u)n j = ti0
j=1
oraz warunki równowagi w całym obszarze &!:
3
� = �
"� ij, j + bi = 0
ij ji
j=1
Ponadto spełnione jest prawo Hooke'a, które wiąże tensor naprężenia z wektorem
przemieszczenia za pośrednictwem tensora małych odkształceń:
3
E �ł �
1
� = �ł�ij (u)+ � (u)�ł gdzie �ij (u)= ("ui, j + "u )
"� �ł
ij �ł ij kk �ł j,i
1 +� 1 - 2� 2
�ł k =1 łł
Prawo Hooke'a może być równie dobrze zadane wzorem:
3
1 +� �
�ij = � + �
"�
ij ij kk
E E
k =1
(we wszystkich równaniach i,j,k=1,2,3)
Dwa sformułowania pochodne: przemieszczeniowe i naprężeniowe - pozwalają zredukować
liczbę niewiadomych pól skalarnych.
Zapis �(u) w formułach w ramce nr 2. oznacza, że naprężenia zostały wyrażone przez
�
�
�
przemieszczenia u. Podobnie zapis �(u) oznacza, że naprężenia zostały wyrażone przez
�
�
�
przemieszczenia u i w powyższym sformułowaniu są tylko trzy niewiadome funkcje skalarne:
u1(x), u2(x), u3(x), nie zaś 9, jak poprzednio.
3
Ramka 2. Przemieszczeniowe sformułowanie liniowego problemu teorii
sprężystości:
Znalezć wektorowe pole przemieszczeń u(x), takie że:
u(x)=u0(x) na części brzegu Su
i takie, że składowe tensora naprężenia obliczone za pośrednictwem związku
konstytutywnego:
E
1
�ł� � � 3 � gdzie �ij
� (u)= (u)+ (u)�ł (u)= ("ui, j + "u )
�ł " �ł
ij ij ij kk j,i
2
1+� 1- 2�
�ł k =1 łł
spełniają warunki równowagi:
3
w całym obszarze &!: � = �
"� ij, j + bi = 0
ij ji
j=1
oraz naprężeniowe warunki brzegowe (równowaga elementu w sąsiedztwie brzegu St):
3
na części brzegu St
"� ij (u)n j = ti0
j=1
Poniżej przedstawiono przykład sformułowania przemieszczeniowego. Jest to układ równań
Naviera. Jego wyprowadzenie wymaga wykonania następujących operacji:
" u � �=� �
�(u) prawo Hooke'a � �( �
� � � �(u))
� � � �
" Podstawienie �( �
� �(u)) do równań równowagi.
� �
� �
Otrzyma się w ten sposób równania równowagi wyrażone przez przemieszczenia:
3
"� ij, j (u)+ bi = 0
j=1
3 3
E �
(u)+ (u)�ł + bi = 0
�ł
"1 +� �ł�ij, j 1 - 2� � ij "� kk , j �ł
j=1 �ł k =1 łł
3 3
E 1 E �
(ui, + u )+ uk ,ki + bi = 0
"1+� 2 jj j,ij 1+� 1- 2� "
j=1 k =1
3 3
E 1 E � E 1
ui, + + uk + bi = 0
"1+� 2 jj �ł1+� 1- 2� 1+� 2 �ł ,ki
�ł �ł"
j=1 �ł łł
k=1
(zauważmy, że nie ma to znaczenia czy wskaznik sumowania od 1 do 3 nazywa się j czy k)
3 3
1 2(1 +� )b = 0
ui, jj + uk ,ki +
""
i
(1 - 2� ) E
j=1 k=1
Jest to układ trzech równań różniczkowych (kolejno dla i=1, 2, 3) z drugimi pochodnymi
cząstkowymi, określony w obszarze &! i z warunkami brzegowymi na Su. Sformułowanie to
wygodnie jest stosować jeśli warunki brzegowe zadane są jedynie na Su. Ewentualne warunki
brzegowe naprężeniowe powinny być wyrażone w przemieszczeniach w następujący sposób:
3
E �
�ł
(ui, j + ui, j )n + uk ,k ni �ł = pi
�ł " �ł
j
1+� 1- 2�
�ł k =1 łł
Problem liniowej teorii sprężystości w ujęciu przemieszczeniowym można teraz sformułować
tak:
4
Ramka 2.1. Przemieszczeniowe sformułowanie liniowego problemu teorii
sprężystości - równania Naviera:
Znalezć wektorowe pole przemieszczeń u(x), takie że:
ui=u0i na części brzegu Su
3
E �
�ł
oraz (ui, j + ui, j )n + uk ,k ni �ł = pi na części brzegu St
�ł " �ł
j
1+� 1- 2�
�ł k =1 łł
i takie, że składowe wektora przemieszczenia spełniają układ równań różniczkowych o
pochodnych cząstkowych (równania Naviera):
3 3
1 2(1 +� )b = 0
ui, jj + uk ,ki +
""
i
(1 - 2� ) E
j=1 k=1
Składowe tensora naprężenia można obliczyć za pośrednictwem związku
konstytutywnego:
3
E �ł �
� (u)= �ł�ij (u)+ � (u)�ł
"� �ł
ij �ł ij kk �ł
1 +� 1 - 2�
�ł k=1 łł
1
gdzie �ij (u)= ("ui, j + "u ) zaś u jest rozwiązaniem równań różniczkowych Naviera.
j,i
2
(Oczywiście naprężenia takie automatycznie spełniają równania równowagi oraz
naprężeniowe warunki brzegowe.)
Aby uzyskać sformułowanie naprężeniowe liniowego problemu teorii sprężystości, należy
wyeliminować przemieszczenia ze sformułowania wyjściowego. W tym celu należy
zróżniczkować dwukrotnie �11 względem x2 zaś �22 względem x1 następnie dodać dodać
stronami oba rownania:
�11,22 + � = u1,122 + u2,211 = ł
22,11 12,12
Podobnie można uzyskać dwa kolejne wzory:
�11,33 + �33,11 = ł
13,13
� + �33,22 = ł
22,33 23,23
Trzy następne otrzymuje sie przez wykonanie podobnych przekształceń na równaniach
definiujących ł
ł:
ł
ł
ł = u1,23 + u2,13
12,3
ł = u1,32 + u3,12
13,2
ł = u2,31 + u3,21
23,1
ł12,3 + ł - ł = u1,23 + u1,32
13,2 23,1
ł12,31 + ł - ł = u1,123 + u1,132 = 2�11,23
13,21 23,11
5
podobnie otrzymuje się dwa poniższe wzory:
ł + ł - ł = 2�
21,32 23,12 13,22 22,13
ł + ł - ł = 2�33,12
32,13 31,23 12,33
Równania powyższe nazywane są warunkami nierozdzielności odkształceń. Ich spełnienie
daje gwarancje znalezienia ciągłego i różnowartościowego pola przemieszczeń u, takiego, że:
1
�ij (u)= (ui, j + u )
j,i
2
Ramka nr 3. Naprężeniowe sformułowanie liniowego problemu teorii sprężystości:
Znalezć tensorowe pole naprężeń �
�(x), takie że:
�
�
spełnione są warunki równowagi:
3
w całym obszarze &!: � = �
"� ij, j + bi = 0
ij ji
j=1
oraz naprężeniowe warunki brzegowe
3
na części brzegu St
"� ij (u)n j = ti0
j=1
Odkształcenia wyznaczone dla tych naprężeń za pośrednictwem prawa Hooke'a:
3
1 +� �
�ij (�)= � + �
"�
ij ij kk
E E
k =1
powinny spełniać równania nierozdzielności w całym obszarze &!:
�11,22 + � = ł
22,11 12,12
�11,33 + �33,11 = ł
13,13
� + �33,22 = ł
22,33 23,23
ł12,31 + ł13,21 - ł = 2�11,23
23,11
ł + ł - ł = 2�
21,32 23,12 13,22 22,13
ł + ł - ł = 2�33,12
32,13 31,23 12,33
Zauważmy, że ponieważ � � �), w równaniach nierozdzielności w ramce nr 3. występują
�= � �
� �(�
� � �
tylko pola naprężeń spełniające równania równowagi i warunki naprężeniowe na części
brzegu St (takie pola naprężeń nazywamy statycznie dopuszczalnymi).
Cwiczenie: Przedstawić wszystkie równania występujące w wykładzie tak, aby występowały
w nich jawnie wielkości �x, �y, �z, �xy, �xz, �zy, �x, �y, �z, łxy, łxz, łzy, u, v, w. Porównać
otrzymany zapis z tym jaki jest podany w rozdziale 17 (Zadania i podstawowe równania teorii
sprężystości) podręcznika "Wytrzymałość Materiałów" (A. Jakubowicz, Z. Orłoś).
6

Wyszukiwarka