Wykład 6
Kinematyka ruchu obrotowego punktu materialnego
Ruch po okręgu
Rozważmy ruch punktu materialnego po okręgu. W tym przypadku położenie punktu
x, y, z
A na okręgu możemy również określić za pomocą współrzędnych w wybranym
dowolnie układzie kartezjańskim. Jednak dogodniej jest określić położenie punktu A na
okrÄ™gu za pomocÄ… kÄ…ta Õ (rys.VI.1). ChwilowÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… albo koÅ‚owÄ… nazywa siÄ™
pochodnÄ… kÄ…ta Õ wzglÄ™dem czasu t
" Õ dÕ
&ð
É = lim0 a" a" Õ
. (VI.1)
" t
" t dt
É = É = const
Udowodnimy, że jeżeli , czyli prędkość kątowa jest stała wtedy
0
Õ (t) = É Å" t + Õ
. (VI.2)
0 0
Tu Õ 0 - wartość kÄ…ta Õ w chwili poczÄ…tkowej t = t0 = 0 .
Istotnie po podstawieniu (VI.2) do wzoru (VI.1) otrzymujemy:
" Õ [É (t + " t) + Õ ]- [É t + Õ ] É Å" " t
0 0 0
É = lim0 = lim0 0 = lim0 0 = É = const . (VI.3)
0
" t " t " t
" t " t " t
Ruch po okręgu ze stałą prędkością kątową
nazywamy ruchem jednostajnym obrotowym.
Czas, po upływie, którego punkt materialny
wykonuje jeden obrót nazywamy okresem ruchu
obrotowego. Okres ruchu obrotowego oznaczamy
dużą literą T . Korzystając z definicji okresu, ze
t0 = 0
wzoru (VI.2) otrzymujemy ( ):
Õ (t0 + T ) a" 2Ä„ + Õ = É Å" T + Õ
.
0 0 0
Rys.VI.1. Ruch obrotowy
SkÄ…d mamy
2Ä„
T =
. (VI.4)
É
0
Wielkość odwrotna do okresu
55
1 É
0
½ = a"
. (VI.5)
0
T 2Ä„
nazywa się częstością ruchu obrotowego. A
atwo wyjaÅ›nić sens fizyczny czÄ™stoÅ›ci ½ 0 . W
t = T
czasie równym okresowi punkt materialny wykonuje jeden obrót. A zatem w jednostce
T = 1 10 0
czasu punkt materialny wykonuje ½ 0 = 1/T obrotów. Na przykÅ‚ad, jeżeli
sekundy,
to w czasie jednej setnej sekundy punkt wykonuje jeden obrót, a w czasie 1 sekundy punkt
materialny wykonuje 100 obrotów. WiÄ™c czÄ™stość ½ 0 = 1/T jest liczbÄ… obrotów punktu
- 1
materialnego w jednostce czasu. Częstość mierzymy w hercach ( Hz ). 1 Hz = 1 .
s
W ogólnym przypadku prÄ™dkość kÄ…towa É może zależeć od czasu. Zmiany prÄ™dkoÅ›ci
kątowej w czasie określa chwilowe przyspieszenie kątowe:
" É dÉ
&ð
² = lim0 a" a" É
. (VI.6)
" t
" t dt
Znajdziemy związek między chwilową prędkością liniową i chwilową prędkością kątową, określoną
wzorem (VI.1).
Niech w chwili poczÄ…tkowej t = t0 = 0 punkt
materialny znajduje się na okręgu w punkcie
t = " t
A , a w chwili - w punkcie B
(rys.VI.2). Jeżeli rozważamy bardzo mały
t = " t
czas , długość łuku jest w
AB
przybliżeniu równa długości cięciwy AB .
Przybliżenie to jest tym lepiej spełnione, im
" t
bardziej zmniejszmy odcinek czasowy .
Wtedy dla chwilowej liniowej prędkości
Rys.VI.2.
punktu możemy zapisać
AB
Å = lim0
. (VI.7)
" t
" t
Z rys.VI.2 widać, że
" Õ " Õ
AB = 2Å" AC = 2Å" r Å" sinëÅ‚ öÅ‚ H" 2Å" r Å" = r Å" " Õ
ìÅ‚ ÷Å‚ . (VI.8)
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Tu skorzystaliśmy z przybliżenia, że dla małych kątów siną H" ą .
Po podstawieniu (VI.8) do (VI.7) znajdujemy
56
" Õ
Å = r Å" lim0 = r Å" É
. (VI.9)
" t
" t
Ze wzoru (VI.9) otrzymujemy, że w przypadku ruchu punktu materialnego po okręgu
rð
É = const Å a" Å
ze stałą prędkością kątową , bezwzględna wartość prędkości liniowej jest
0
też stała.
rð
Z rys.VI.2 wynika, że gdy " t 0 wektor przemieszczenia " r dąży do stycznej w
punkcie A . A zatem prędkość chwilowa w punkcie A jest wektorem stycznym do krzywej w
rð
tym punkcie, czyli jest prostopadła do wektora wodzącego punktu r . Z rys.VI.2 wynika
rð
Å
również, że prędkość liniowa punktu materialnego poruszającego się po okręgu ciągle
zmienia swój kierunek. A zatem ruch po okręgu jest ruchem z przyspieszeniem.
Znajdziemy teraz przyspieszenie punktu materialnego poruszającego się po okręgu, w
rð
Å = const
przypadku, gdy prędkość linowa . Rozważmy znów dwa punkty A i B (rys.VI.3).
rð rð rð
" Å = Å - Å
Z podobieństwa trójkątów AOB i DBE (rys.VI.3) wynika, że wektor , który
B A
pokrywa się z wektorem ma długość
DE
" Õ
DE = 2Å" DF = 2 Å" Å Å" sinëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
. (VI.10)
" Õ
H" 2Å" Å Å" = Å Å" " Õ
2
A zatem dla długości wektora przyspieszenia możemy zapisać:
DE dÕ
a = lim0 = Å Å" = Å Å" É
. (VI.11)
" t
" t dt
Biorąc pod uwagę wzór (VI.9), ze wzoru (VI.10) mamy
2
Å
a = Å Å" É = . (VI.12)
r
Kierunek wektora przyspieszenia (VI.12) pokrywa siÄ™ z kierunkiem wektora
rð
rð rð rð
, który przy " t 0 Å
jest prostopadły do wektora prędkości w punkcie
" Å = Å - Å = DE
B A
rð
A (rys.VI.4). A zatem wektor przyspieszenia a punktu materialnego jest równoległy do
rð rð rð
a
wektora wodzÄ…cego r , ale zwrot wektora jest przeciwny do zwrotu wektora r . Dlatego
przyspieszenie to nosi nazwę przyspieszenia radialnego lub przyspieszenia dośrodkowego i
rð
ar
oznacza siÄ™ .
57
Rys.VI.3
Rys.VI.4
Podsumowując możemy powiedzieć, że ruch obrotowy punktu materialnego po okręgu
ze stałą prędkością odbywa się ze stałym dośrodkowym przyspieszeniem skierowanym ku
środkowi okręgu. Bez tego dośrodkowego przyspieszenia ciało (punkt materialny)
rð
rð
Å ar
poruszałoby się wzdłuż wektora prędkości . Istnienie dośrodkowego przyspieszenia
powoduje, że ciało ciągle  spada na środek okręgu i poruszający się punkt materialny
pozostaje na okręgu.
Przyspieszenie styczne i dośrodkowe
rð
rð
n = 1), (rys.VI.3) skierowany od punktu A
n
WprowadzajÄ…c jednostkowy wektor (
ku środkowi okręgu, wektor przyspieszenia dośrodkowego możemy zapisać w postaci:
2
rð Å rð
ar = Å" n . (VI.13)
r
rð
rð
ex
n
Jednostkowy wektor jest podobny do wektorów jednostkowych bazy układu odniesienia
rð
ey rð
ez
, i . Wektor ten wyznacza jedynie kierunek w przestrzeni. Jednak, w odróżnieniu od
rð rð
rð
ex ey rð
ez n
wektorów , i , wektor nie jest wektorem stałym i zmienia swój kierunek wraz ze
rð
n
zmianą położenia punktu materialnego na okręgu. Wektor jest skierowany do środka
rð
okręgu, a zatem ma kierunek przeciwny do kierunku wektora wodzącego r . Wprowadzając
jednostkowy wektor:
58
rð
rð r rð
nr = = - n
rð
, (VI.14)
r
przyspieszenie dośrodkowe możemy zapisać w postaci:
2
rð Å rð rð
2
ar = - Å" nr a" - É Å" r . (VI.15)
r
rð rð
(Å / r) = É r = r Å" nr (patrz wzór (VI.14)).
Tu uwzględniliśmy, że (patrz wzór (VI.9)) oraz
Wektor prędkości chwilowej punktu materialnego poruszającego się po okręgu, jak
widzieliśmy wyżej, jest wektorem stycznym do okręgu w punkcie gdzie znajduje się punkt
rð
nÕ
materialny. Wprowadzając jednostkowy wektor , styczny do okręgu w punkcie A
(rys.VI.3):
rð
rð Å
nÕ =
, (VI.16)
Å
wektor prędkości chwilowej dla ruchu po okręgu możemy zapisać w postaci:
rð rð rð
Å = Å Å" nÕ = É Å" r Å" nÕ .
(VI.17)
rð
rð
nÕ
nr
Jednostkowy wektor jak i wektor nie jest stałym wektorem i zmienia swój
kierunek przy zmianie położenia punktu materialnego na okręgu.
KorzystajÄ…c ze wzoru (VI.17) mamy
rð
rð
dnÕ
rð dÅ
ar = = Å Å" . (VI.18)
dt dt
Porównując wzór (VI.18) ze wzorem (VI.15), który wyprowadziliśmy rozważając
przypadek ruchu po okręgu ze stałą prędkością kątową, znajdujemy
rð
2
dnÕ
rð Å rð
ar = - Å" nr a" Å Å" . (VI.19)
r dt
Ze wzoru (VI.19) otrzymujemy ważny dla następnych rozważań wzór:
rð
dnÕ Å rð
= - Å" nr . (VI.20)
dt r
Chociaż wyprowadziliśmy wzór (VI.20) tylko na przykładzie ruchu po okręgu ze stałą
prędkością, okazuje się, że ten wzór jest słuszny w przypadku ruchu po dowolnej krzywej nie
r
będącej okręgiem. W tym przypadku jednak określa tak zwany promień krzywizny krzywej
59
w punkcie, w którym obliczamy przyspieszenie. Promień krzywizny określa o ile jest
zakrzywiona krzywa w danym punkcie. Dla okręgu promień krzywizny dla wszystkich
punktów jest taki sam i pokrywa się z promieniem okręgu. Dla prostej promień krzywizny
jest równy nieskończoności. Dla dowolnej krzywej im bardziej jest zakrzywiona krzywa w
otoczeniu wybranego punktu, tym mniejszy jest promień krzywizny. O promieniu krzywizny
krzywej będzie mową póz
niej na analizie matematycznej.
Skorzystamy teraz z matematycznego twierdzenia, że prawie dowolną funkcję
f (x + " x)
można przedstawić w postaci szeregu Taylora
df
f (x + " x) = f (x) + " x + O(" x2)
, (VI.21)
dx
O(" x2 )
tu oznacza wyrazy zawierajÄ…ce " x2," x3,Kð , a sÅ‚owo  prawie oznacza, że
f (x)
rozważamy taką funkcję dla której istnieje pierwsza (i drugie) pochodne.
Udowodnimy teraz jeden z podstawowych wzorów rachunku różniczkowego - wzór
na pochodnÄ… od iloczynu funkcji
d dh du
[u(t) Å" h(t)] = u(t)Å" + h(t) Å"
. (VI.22)
dt dt dt
Biorąc pod uwagę wzór (VI.21) oraz określenie pochodnej natychmiast otrzymujemy
d u(t + " t) Å" h(t + " t) - u(t) Å" h(t)
[u(t) Å" h(t)] = lim0 =
" t
dt " t
du dh
dh du
[u(t) + " t + O(" x2 )]Å" [h(t) + " t + O(" x2 )] - u(t) Å" h(t)
u(t) Å" + h(t) Å"
.
dt dt
= lim0 =
dt dt
" t
" t
Wróćmy teraz do ruchu punktu materialnego wzdłuż dowolnej krzywej na
płaszczyz
nie. W tym przypadku, korzystajÄ…c ze wzoru (VI.22) dla przyspieszenia punktu
materialnego znajdujemy
rð rð
rð
d[Å (t) Å" nÕ ] dnÕ
rð dÅ dÅ rð
a = a" = nÕ + Å Å" . (VI.23)
dt dt dt dt
Biorąc pod uwagę wzór (VI.20), wzór (VI.23) możemy zapisać w postaci
2
rð dÅ rð Å rð
a = nÕ - nr . (VI.24)
dt r
60
Ze wzoru (VI.24) wynika, że w przypadku ruchu po dowolnej krzywej ze zmienną w
czasie prędkością przyspieszenie zawiera dwa składniki:
2
rð Å rð
ar = - Å" nr (VI.25)
r
- przyspieszenie dośrodkowe, oraz
rð dÅ rð
at = Å" nÕ
(VI.26)
dt
- przyspieszenie styczne.
Wektor przyspieszenia dośrodkowego jest prostopadły do wektora prędkości punktu, a
zatem wywołuje zmiany kierunku wektora prędkości. Natomiast wektor przyspieszenia
stycznego jest równoległy do wektora prędkości punku, a więc zmienia tylko wartość
(długość) wektora prędkości.
r
Zadanie 1: punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu z prędkością, która
zmienia siÄ™ w czasie jak:
rð
Å a" Å = c Å" t
,
c
gdzie jest stała. Znajdziemy przyspieszenie dośrodkowe i przyspieszenie styczne.
Rozwiązanie: ze wzorów (VI.25) i (VI.26) otrzymujemy:
2 2
rð Å rð c2t rð
ar = - Å" nr = - Å" nr ,
r r
rð dÅ rð rð
at = Å" nÕ = c Å" nÕ
.
dt
Wielkości kątowe jako wektory. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów
Przy rotacji punktu materialnego po okręgu ruch punktu może zachodzić w dwie różne
strony: zgodnie z wskazówką zegara albo w przeciwną stronę. Dlatego, żeby rozróżnić te dwa
możliwe ruchy po okręgu wprowadza się wektor prędkości kątowej albo wektor prędkości
kołowej. Wektor ten wprowadzamy stosując reguły (rys.VI.5):
61
1) ze środka okręgu rysujemy oś obrotu -
prostą prostopadłą do płaszczyzny, w której
odbywa się ruch kołowy; 2) na osi obrotu ze
środka okręgu oznaczamy odcinek o długości
równej wartości prędkości kątowej; 3)
kierunek otrzymanego odcinka (strzałkę)
wybieramy w taki sposób abyśmy patrząc
Rys. VI.5. Wektor prędkości kątowej
wzdłuż niego (z tyłu strzałki) widzieli ruch obrotowy punktu odbywający się zgodnie ze
wskazówką zegara. Może powstać pytanie:  Czy wprowadzone w taki sposób wektory
rzeczywiście są wektorami?
Rys.VI.6
Dlatego, żeby odpowiedzieć na to pytanie musimy sprawdzić, czy tak wprowadzone
wektory spełniają prawa dotyczące wektorów, m.in. prawo dodawania wektorów, a w
rð rð
rð rð
szczególności prawo przemienności . A
atwo zauważyć z prostego przykładu
a + b = b + a
obrotu książki (rys.VI.6), że prawo to nie jest słuszne, w przypadku skończonych
rð
É
przemieszczeÅ„ kÄ…towych. Jednak wektor jest okreÅ›lony jako pochodna od kÄ…ta obrotu Õ ,
rð rð
Õ (t2 ) H" Õ (t1)
czyli dotyczy nieskończenie małych przemieszczeń kątowych ( )
rð rð
rð Õ (t2 ) - Õ (t1)
É = lim 0
.
" t = t2 - t1
t2 - t1
rð
Õ
Tu wektor ma zwrot wzdÅ‚uż osi obrotu, a wartość bezwzglÄ™dnÄ… równÄ… Õ .
Można udowodnić, że dla nieskończenie małych przemieszczeń kątowych prawo
rð rð rð rð
przemiennoÅ›ci jest sÅ‚uszne, czyli ¸ + ¸ = ¸ + ¸ . A zatem wprowadzenie wektorów
1 2 2 1
opisujÄ…cych przemieszczenia kÄ…towe jest uzasadnione.
62
Otrzymaliśmy wyżej następujące wzory, opisujące ruch obrotowy
rð rð rð
Å = Å Å" nÕ = É Å" r Å" nÕ ,
(VI.27)
rð dÅ rð dÉ rð
at = nÕ = r Å" nÕ
, (VI.28)
dt dt
2
rð Å rð rð
ar = - nr = - É Å" Å Å" nr . (VI.29)
r
rð rð rð rð
r, Å ,at ,ar ,
Rys. VI.7 przedstawia wektory
rð rð rð
É ,Ä… = dÉ / dt
dla obracajÄ…cego siÄ™ punktu
materialnego. Wzory (VI.27)  (VI.29)
dogodniej jest zapisać w postaci, w której
rð rð rð rð
r, Å ,at ,ar ,
zamiast skalarnych wielkości
rð rð rð
É ,Ä… = dÉ / dt
występują wielkości
rð rð rð rð rð rð rð
r,Å ,at , ar ,É ,Ä… = dÉ / dt
wektorowe . Ta
postać wzorów (VI.27)  (VI.29) będzie
szczególnie użyteczna dla przypadków, dla
Rys.VI.7
których oś obrotu jest osią ruchomą.
Dlatego, żeby wykonać takie przekształcenie wzorów (VI.27)  (VI.29) musimy
rð
rð
a
wprowadzić pojęcie iloczynu wektorowego dwóch wektorów i . Iloczynem wektorowym
b
rð rð rð rð
rð
rð rð rð rð
a
dwóch wektorów i , oznaczanym jako (albo [ ]) nazywamy wektor
b a × b a × b c = a × b
prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez te dwa wektory (rys.VI.8).
Rys. VI.8
63
rð
c
Wartość bezwzględna wektora określa równanie
rð
c = c = ab Å" sinÕ
, (VI.30)
rð rð
rð
rð rð
gdzie Õ jest mniejszym kÄ…tem zawartym miÄ™dzy wektorami a i b . Zwrot wektora
c = a × b
określa reguła prawoskrętnej śruby: kierunek poruszania się śruby prawoskrętnej (od wektora
rð
rð rð
a do wektora ) określa zwrot wektora (rys.VI.8).
c
b
Korzystając z określenia iloczynu wektorowego łatwo zapisać wzory (VI.27)  (VI.29)
rð rð rð rð rð rð rð
r,Å ,at , ar ,É ,Ä… = dÉ / dt
przez wektory
rð rð rð
Å = É × r , (VI.31)
rð rð rð
at = Ä… × r
, (VI.32)
rð rð rð
ar = É × Å
. (VI.33)
rð rð
Istotnie, iloczyn wektorowy É × r ma wartość bezwzglÄ™dnÄ… É Å" r i kierunek
rð
rð rð
nÕ
pokrywajÄ…cy siÄ™ ze zwrotem wektora . Podobnie, iloczyn wektorowy Ä… × r ma wartość
rð
(dÉ / dt) Å" r nÕ
bezwzględną i kierunek pokrywający się ze zwrotem wektora . Iloczyn
rð rð
É × Å
wektorowy ma wartość bezwzglÄ™dnÄ… É Å" Å i kierunek pokrywajÄ…cy siÄ™ ze zwrotem
rð
wektora - nr
.
Literatura do Wykładu 6.
1. Robert Resnik, David Halliday: Fizyka 1, Wydawnictwo PWN, Warszawa, 1994, str.
248  265.
2. Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna, t.1, PWN, Warszawa 1980, str. 44-53.
Zadania do Wykładu VI
1. Położenie kątowe punktu materialnego znajdującego się na obręczy obracającego się
koła określa wzór
1
2
Õ = Õ + É t + ² Å" t
. (VI.34)
0 0
2
a) Wyprowadzić wzór, który określa zależność prędkości kątowej od czasu; b)
udowodnić, że wzór (VI.34) opisuje ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem
kÄ…towym; c) Jaki sens majÄ… Õ 0 i É 0 w równaniu (VI.34).
2. Płyta gramofonowa obraca się z prędkością kątową 33 obr/min. Jaka jest prędkość
liniowa punktu płyty, w którym dotyka igła: a) na początku i b) na końcu odtwarzania?
64
Założyć, że odległości igły od osi obrotu wynoszą 15 cm na początku i 6 cm na końcu.
Odpowiedz
: a) 31 m/min; b) 12,4 m/min.
3. Położenie kątowe punktu materialnego znajdującego się na obręczy obracającego się
a
koÅ‚a okreÅ›la wzór Õ = at3 - bt . a) Jaki wymiar majÄ… wielkoÅ›ci i b ?. Znalez
ć wzory
na prędkość i przyspieszenie kątowe.
4. Obracające się wokół swojej osi koło, wskutek tarcia o oś, zaczyna hamować. Po
upÅ‚ywie 3 min jego prÄ™dkość kÄ…towa wynosi 0,7 prÄ™dkoÅ›ci kÄ…towej É 0 = 10 obr/min
na początku tej minuty. Przyjmując, że siły tarcia są stałe, obliczyć opóz
nienie kÄ…towe
koła. Odpowiedz
: -1 obr/min2.
5. Obracające się wokół swojej osi koło, wskutek tarcia o oś, zaczyna hamować. Po
É
upływie 1 min jego prędkość kątowa wynosi 0,9 prędkości kątowej na początku
0
tej minuty. Przyjmując, że siły tarcia są stałe, obliczyć prędkość kątową po upływie 3
min. Odpowiedz
: 0,7 É 0 .
6. Stałe przyspieszenie kątowe koła wynosi 1 rad/s2. Ile musi być równa prędkość
początkowa koła, aby w ciągu 2 s koło obróciło się o 3600. Odpowiedz
: 2,14 rad/s.
7. Jaka jest prędkość kątowa samochodu jadącego po torze kołowym o promieniu 90 m z
prędkością 60 km/h? Odpowiedz
: 0,185 rad/s.
8. Jaki jest stosunek przyspieszenia dośrodkowego związanego z obrotem Ziemi punktu
znajdującego się na równiku, do przyspieszenia Ziemi związanego z jej ruchem
dookoła Słońca? Przyjąć kołowe orbity. (Promień Ziemi wynosi około R H" 6 400 km,
a odległość Ziemi od Słońca wynosi około R H" 150 km). Odpowiedz
: 5,7.
106
²
9. Ciało obraca się wokół stałej osi ze stałym przyspieszeniem kątowym . Prędkość
początkowa kątowa równa się zeru. Udowodnić, że dla punktu znajdującego się w
2 2
r
odlegÅ‚oÅ›ci od osi obrotu przyspieszenia doÅ›rodkowe i styczne sÄ… równe ar = r² t
at = r²
i .
²
10. Punkt materialny obraca się wokół stałej osi ze stałym przyspieszeniem kątowym .
r
Odległość punktu od osi wynosi , a jego prędkość początkowa kątowa równa się
zeru. W pewnej chwili przyspieszenie wypadkowe (dośrodkowe + styczne) tworzy kąt
600 z przyspieszeniem stycznym. O jaki kąt obrócił się punkt materialny dookoła osi
do tej chwili? Odpowiedz
: Õ = 3 / 2 rad. Wskazówka: skorzystać z rozwiÄ…zania
zadania 9.
65