To jest wersja html pliku http://wm.atr.bydgoszcz.pl/kmrip/E-ksiazki_pliki/Ksiazka%202/R.I.pdf.G o o g l e automatycznie generuje wersję html dokumentu podczas indeksowania Sieci.Aby utworzyć łącze lub zakładkę do tej strony, użyj następującego adresu url: http://www.google.com/search?q=cache:rceXh5lT_HkJ:wm.atr.bydgoszcz.pl/kmrip/E-ksiazki_pliki/Ksiazka%25202/R.I.pdf+wyznaczenie+logarytmicznego+dekrementu&hl=pl Google nie jest w żaden sposób związany z autorami tej strony i nie odpowiada za jej treść.
Znalezione słowa zostały podświetlone: wyznaczenie logarytmicznego dekrementu
Page 1 I. ELEMENTY TEORII MODELOWANIA 1. WST P Słowo "model" powstało z łaci skiego słowa "modus" - "modulus", co znaczy: miara, obraz, sposób. Jego pierwotne znaczenie było zwi zane z budownictwem i u ywano go dla oznaczenia wzorca, lub przedmiotu podobnego do innego przedmiotu [14,26] . Pogl dowe obrazy rzeczywisto ci, hipotetycznie odtwarzaj ce rozmaite obiekty, zjawiska i sytuacje istniej ce w realnym wiecie, towarzyszyły badaczom od dawna. W ci gu ostatnich dwóch wieków, modelowanie stało si podstaw badania systemów w matematyce, fizyce, chemii, biologii, ekonomii i in. W ostatnim półwieczu modelowanie jest szeroko wykorzystywane równie w cybernetyce oraz w analizie dynamicznej maszyn [11,12,23, 43]. Opisywane w literaturze procedury bada naukowych i ich weryfikacji na drodze eksperymentu wykazuj , e terminu "model" u ywa si w dwóch ró nych znaczeniach, a mianowicie [43]: - dla oznaczenia teorii, która jest strukturalnie podobna do innej, co umo liwia przechodzenie od jednej teorii do innej za pomoc zwykłej zmiany terminologii; w tym znaczeniu model jest rodkiem poznania; - dla oznaczenia systemu, do którego odnosi si pewna teoria praktyczna lub teoretyczna dla uproszczonego odzwierciedlenia badanego systemu naturalnego; taki model jest przedmiotem poznania. Model jest realnie istniej cym lub wyobra onym obrazem, zast puj cym badany system naturalny (atom, cz steczk , mechanizm, system słoneczny itp.). Ten obraz odzwierciedla pewne, rzeczywiste lub hipotetyczne własno ci badanego systemu, jego budow i jest do niego podobny pod wzgl dem wybranych przez badacza osobliwo ci strukturalnych. Elementy i relacje zachodz ce w modelowanym systemie s odzwierciedlone w postaci innych elementów i relacji, typowych dla danej dziedziny bada . Model jest zatem z zało enia pewn idealizacj lub uproszczeniem rzeczywisto ci. Sam charakter i stopie uproszczenia zale y od wiedzy, potrzeb i wiadomo ci badacza i mo e si zmieniaź w zale no ci od celu bada . Wspóln dla teorii i modelu jest wła ciwo ź odnoszenia si do rzeczywisto ci, postrzeganej w uproszczonej, abstrakcyjnej formie. Opis sformalizowany, w którym s dokładnie ustalone: skład, struktura, elementy wej ciowe i reguły przekształcania staj si synonimem ilo ciowego zapisu, badanego systemu naturalnego. Je eli uda si uto samiź opis sformalizowany z do wiadczalnie potwierdzon rzeczywisto ci , to otrzymujemy model logiczno - matematyczny, lub po prostu model matematyczny, który odzwierciedla badany obiekt, zjawisko lub sytuacj . W naukach technicznych i ekonomicznych taki model bywa coraz cz ciej wykorzystywany do komputerowego symulowania funkcjonowania systemu, którego odzwierciedla dany model. W procesie poznania poszukuje nowych praw, przechodz c od hipotez do teorii, wykorzystuj c przy tym wiedz , do wiadczenie, intuicj oraz fantazj naukow . Modele buduje si i stosuje głównie wtedy, kiedy poznanie zmierzaj ce od hipotezy do sformułowania teorii nie ogranicza si do zbierania i opisywania poszczegó1nych izolowanych faktów, lecz uwzgl dnia równie przemy lany i dobrze zaprogramowany eksperyment. Jedna z definicji mówi, e: model jest to taki daj cy si pomy leź lub materialnie zrealizowaź układ, który odzwierciedlaj c lub odtwarzaj c przedmiot badania, zdolny jest zast powaź go tak, e jego badanie dostarcza nam nowej informacji o tym przedmiocie. Inna definicja mówi, e: model jest zast puj c oryginał, przyj t form reprezentacji, wykorzystywan do wyja nienia i przewidywania zachowania si oryginału w sposób adekwatny z punktu widzenia celu rozwa a . Wspó1n cech wszelkiego rodzaju modeli jest ich zdolno ź odzwierciedlania
Page 2 systemów naturalnych. Istota modelowania zasadza si na relacji równowa no ci mi dzy systemem a modelem. W metodyce modelowania rozró nia si dwa podstawowe sposoby odzwierciedlenia: homomorficzne i izomorficzne. Homomorfizm zapewnia podobie stwo składu i struktury modelu i systemu modelowanego, które pozwala na jednoznaczne odwzorowanie systemu badanego w model, podobny do niego pod wzgl dem działania. Izomorfizm za gwarantuje wzajemnie jednoznaczne podobie stwo składu i struktury modelu i systemu. Oznacza to, e na podstawie systemu mo na zbudowaź model, a na podstawie modelu mo na odtworzyź system. Takie podobie stwo odniesione do sposobu działania modelu i systemu modelowanego nazywa si izofunkcjonalizmem [26]. 2. KLASYFIKACJA MODELI W ka dej działalno ci człowieka, szczególnie w projektowaniu, wytwarzaniu i eksploatacji wykorzystuje si modele. Istnieje wiele definicji modeli. Oto niektóre z nich: 1) przez model rozumie si taki daj cy si pomy leź lub materialnie zrealizowaź układ, który odzwierciedlaj c lub odtwarzaj c przedmiot badania zdolny jest zast powaź go tak, ze jego badanie dostarcza nam nowej wiedzy o tym przedmiocie [17]; 2) model jest to narz dzie za pomoc którego mo na opisaź system i jego zachowanie si w ró nych warunkach zewn trznych [5]; 3) model jest teoretycznym opisem badania obiektów, który charakteryzuje si nast puj cymi cechami, tzn. jest [6]: - pewnym uproszczeniem rzeczywisto ci; - w sensie pewnego kryterium zbie ny z rzeczywisto ci ; - na tyle prosty, e mo liwa jest jego analiza dost pnymi metodami obliczeniowymi; - ródłem informacji o obiekcie bada . Budow modeli zajmuje si dyscyplina nauki nazywana identyfikacja [5,6]. Klasyfikacja modeli pozwala ustaliź, jak sposób modelowania zale y od celu bada i specyfiki badanego systemu. Klasyfikacja jest podstaw do okre lenia zasadniczych funkcji spełnianych przez modele, a mianowicie: - funkcji praktycznej, któr spełniaj modele jako przedmioty poznania naukowego; - funkcji teoretycznej, któr modele pełni jako szczególny obraz rzeczywisto ci, jednocz cy elementy logiczne i intuicyjne, konkretne i abstrakcyjne oraz ogó1ne i szczegółowe. Przyst puj c do tworzenia modelu nale y: - okre liź cel modelowania, zwi zane z tym wymagania i rodki u yte do budowy modelu; - ustaliź jaki segment, jakiego systemu, ma odzwierciedlaź model. Podj te decyzje s podstaw dla ustalenia postaci modelu, a w rezultacie dla okre lenia jego klasy. Proponuje si wyró niaź dwie główne klasy modeli: 1. modele strukturalne, które odzwierciedlaj wybrane elementy systemu oraz relacje mi dzy nimi; takie modele ukazuj lokalizacj geometryczn elementów oraz ich powi zania i słu do badania poprawno ci konstrukcji; maj one na ogół postaź rysunków zło eniowych lub schematów organizacyjnych; 2. modele funkcjonalne, które odzwierciedlaj wpływ wybranych elementów i relacji na sposób funkcjonowania i sterowania systemu; te modele mog przybieraź ró ne postacie, niekiedy zupełnie innej natury fizycznej ni modelowany system. Z praktycznego punktu widzenia, bardziej przydatny jest drugi rodzaj klasyfikacji. Przynale no ź do danej klasy zale y od rodków wykorzystanych do budowy modelu, przy uwzgl dnieniu sposobu odzwierciedlenia wybranych własno ci, procesów i zwiqzk6w zachodz cych w modelowanym systemie oraz celu bada , któremu jest podporz dkowany charakter poszukiwanych informacji. Według takich kryteriów, modele mo na podzieliź na cztery klasy:
Page 3 1. modele materialne (działaj ce, rzeczywiste), mog byź utworzone, specjalnie w celu wykonania bada , z istniej cych obiektów o okre lonym przeznaczeniu u ytkowym, przy zachowaniu ich fizycznej to samo ci z oryginałem. Podczas funkcjonowania, w wybranym segmencie własno ci, procesów i zwi zków, generuj one informacje poszukiwane przez badacza, a po zako czeniu bada mog byź nadal wykorzystywane zgodnie z ich przeznaczeniem. 2. modele idealne, które nie posiadaj tej samej co badany system natury fizycznej i nie s do niego podobne ani w sensie fizycznym, ani geometrycznym. Nazwa tych modeli nie wyra a ci le ich charakteru i wynika z istniej cej tradycji. Jako szczególny rodzaj takiego modelu idealnego mo na wyró niź model cybernetyczny. Jednak model cybernetyczny jest zbyt skomplikowany aby stanowiź przedmiot bezpo redniego poznania, mo e jednak stanowiź podstaw do utworzenia innego, bardziej uproszczonego modelu idealnego. 3. modele sformalizowane, które s reprezentacj modeli fizycznych na jeszcze wy szym poziomie abstrakcji. Tak reprezentacj mo na utworzyź wtedy, gdy poj cia wyst puj ce w modelu fizycznym dadz si wyraziź za pomoc znaków i relacji matematycznych lub logicznych. Cech modelu sformalizowanego jest zatem kompletny brak podobie stwa mi dzy elementami i relacjami, z których go zbudowano, a składem i struktur modelowanego systemu. Model jest umowny a nie pogl dowy i nie ma nic wspólnego z charakterem elementów i relacji tworz cych modelowany system [26]. Rozwój matematyki i fizyki przyczynił si do tego, e w naukach cisłych i technicznych, modele sformalizowane, zwane po prostu modelami matematycznymi, stanowi najbardziej reprezentatywn grup modeli abstrakcyjnych. S one zapisywane w postaci równa ró niczkowych, całkowych, deterministycznych lub probabilistycznych. Modelowanie matematyczne pozwala wnikaź w istot badanych systemów i udost pnia szczegółowemu badaniu wiele własno ci, procesów i zwi zków, które dot d wymykały si analizie. Badanie modeli matematycznych umo liwia uzyskanie warto ciowych informacji o systemach technicznych, niezb dnych m.in. do ich projektowania, wytwarzania i eksploatacji. 4. modele energetyczne s od niedawna uwzgl dniane jako oddzielna klasa ze wzgl du na "tworzywo", z którego s budowane. Taki model jest budowany w oparciu o przemiany energetyczne zachodz ce w systemie. Z uwagi na du e mo liwo ci i niski koszt, modele energetyczne s coraz powszechniej stosowane, zwłaszcza w naukach cisłych i technice. Rozwój komputeryzacji prac badawczych spowodował znaczne zwi kszenie mo liwo ci technik obliczeniowych. Pozwala to na badanie du ych modeli energetycznych oraz komputerow symulacj funkcjonuj cych systemów. 3. MODEL BLOKOWY Schematy blokowe, maj ce na celu przedstawienie kolejno ci zdarze lub wzajemne ich powi zania, maj wa ne zastosowanie zarówno w dziedzinie techniki jak i organizacji. Przy pracy na modelu fizycznym lub matematycznym skomplikowanego układu cz sto wygodnie jest uwidoczniź za pomoc schematu blokowego zale no ci i zwi zki mi dzy podukładami stanowi cymi składowe rozwa anego systemu. Umo liwiaj one łatwiejszy opis działania układu, uwydatniaj kolejno ź przyczyn i skutków, wskazuj c na mo liwo ź podziału analizy układu mi dzy podukłady studiowane oddzielnie [20]. Analiza dynamiczna w uj ciu schematów blokowych i ich modeli matematycznych w ko cowej fazie musi byź skumulowana, zespalaj c modele matematyczne dla potrzeb oceny własno ci dynamicznych całego układu. Podstaw do tworzenia szczegółowych modeli blokowych obiektów rzeczywistych jest model cybernetyczny, przedstawiony schematycznie na rys.1.1, umo liwiaj cy analiz zmian zachodz cych w systemie.
Page 4 U(t) ZMIANY STANU Y(t) DYNAMICZNEGO BADANEGO OBIEKTU S(t) Rys.1.1 Model cybernetyczny systemu W badaniach systemów technicznych w czasie "krótkim", wielko ci opisuj ce skład i struktur , zapisane symbolem S, traktuje si na ogół jako parametry, które podczas bada , pozostaj stałe. Iloczyny kartezja skie, które wyst puj w opisie modelu cybernetycznego s uporz dkowanymi zbiorami n-tek (par, trójek itd.), reprezentuj cych zdarzenia zachodz ce w systemie. Kolejne przej cia od jednego do nast pnego zdarzenia, tworz transformacje. W modelu s to transformacje wielko ci fizycznych, które odzwierciedlaj zmiany w czasie własno ci procesów i zwi zków zachodz cych w systemie. Z modelu cybernetycznego (rys.2) mo na wyprowadziź nast puj ce uproszczone relacje odwzorowania: G(t) : U(t) x S ął X(t) (1) Ś(t) : U(t) x S ął Y(t) (2) F(t) : X(t) x S ął Y(t) (3) Relacja (1) reprezentuje ogó1n notacj modelu cybernetycznego typu "wej cie - stan", natomiast relacje (2) i (3) reprezentuj ogó1ne notacje modeli typu "wej cie - wyj cie" oraz "stan-wyj cie". W modelu cybernetycznym systemu technicznego wielko ci fizyczne, które charakteryzuj wej cie, stan i wyj cie, s opisane za pomoc zmiennych, które najcz ciej s liniowo niezale nymi funkcjami czasu. Argument funkcji t∈T, reprezentuje o czasu "krótkiego", w przedziale T. Dla celów bada empirycznych oraz niekiedy - teoretycznych (np. w badaniach modeli układów automatycznej regulacji) te zmienne dzieli si na trzy zbiory, a mianowicie: 1). zmienne wej ciowe: u 1 (t), u 2 (t), ..., u N (t) – przedstawiaj ce wymuszenia na wej ciu modelu systemu, zapewniaj ce jego funkcjonowanie; 2). zmienne wewn trzne: x 1 (t), x 2 (t), ..., x n (t) - za pomoc których mo na opisaź badane stany lub własno ci systemu; 3). zmienne wyj ciowe: y 1 (t), y 2 (t), ..., y p (t) - opisuj ce objawy funkcjonowania na wyj ciu modelu systemu. Podczas funkcjonowania systemu wewn trzne ródła zaburze o sko czonej wydajno ci, wytwarzaj reakcje systemu, które ujawniaj si , mi dzy innymi, w postaci zmian stanu w czasie. Ten stan mo na zapisaź za pomoc wektora, którego współrz dnymi s zmienne wewn trzne modelu. Sko czony zbiór wszystkich mo liwych stanów tworzy przestrze stanów badanego systemu. Równocze nie, zmiany stanu wewn trznego powoduj , e na wyj ciu modelu pojawiaj si zewn trzne objawy funkcjonowania systemu, które mo na zapisaź w postaci wektora i przestrzeni wyj cia modelu cybernetycznego. Wzi te razem zmienne wej ciowe, wewn trzne oraz wyj ciowe całkowicie opisuj badany system i tworz zbiór zmiennych modelu. Zwi zek przyczynowo-skutkowy pomi dzy wej ciem, stanem i wyj ciem, uwzgl dniony w modelu cybernetycznym, mo na przedstawiź w postaci: G (t) [ u (t), s ] = x (t) (4) Ś (t) [ u (t), s ] = y (t) (5) F (t) [ x (t), s ] = y (t) (6) Relacje (4), (5) i (6) reprezentuj ró ne postacie modelu cybernetycznego. Ka da z nich mo e
Page 5 byź podstaw do utworzenia modelu fizycznego i matematycznego, badanego systemu technicznego. Relacja (5) okre la zale no ź wej cia od wyj cia i jest typowym zadaniem dotycz cym badania "czarnej skrzynki", natomiast relacja (6) przedstawia ogóln postaź zadania diagnostycznego. Zwi zek przyczynowo-skutkowy, który istnieje pomi dzy wej ciem oraz stanami i wyj ciem powoduje, ze dla celów modelowania matematycznego, a tak e dla identyfikacji i symulacji systemów technicznych, wielko ci stanu i wyj cia modelu cybernetycznego s traktowane ł cznie jako jedna kategoria. W takim przypadku, stany i wyj cie s reakcj systemu na wymuszenia wej ciowe; ta reakcja bywa niekiedy nazywana ogólnie stanem. 4. ZASADY MODELOWANIA MATEMATYCZNEGO Model fizyczny Skład i struktura modelu fizycznego odzwierciedla w uproszczonej formie fragmenty składu i struktury systemu, uwzgl dnione w modelu cybernetycznym i nale ce do badanego segmentu systemu. Model cybernetyczny systemu jest opisywany przez szereg zmiennych, znanych i nieznanych. W rezultacie wyboru badanego segmentu systemu oraz uproszcze dokonanych przez badacza, liczba zmiennych, i co za tym idzie reguł interakcji w modelu fizycznym, zostaje ograniczona. To ograniczenie mo e byź dokonane poprzez [2,17]: 1. pomijanie niektórych zmiennych i reguł interakcji. W badaniach systemów naturalnych wpływ pewnych zmiennych i ich wzajemnej zale no ci jest bardziej znacz cy, ni innych. Zakładaj c, e te drugorz dne czynniki w niewielkim stopniu wpływaj na funkcjonowanie systemu w badanym segmencie, mo na je pomin ź w ostatecznej wersji modelu fizycznego. 2. zast powanie kilku zmiennych deterministycznych przez jedn zmienn losow . W pierwszym etapie modelowania przyjmuje si model, w którym reguły interakcji s deterministyczne, a nast pnie wprowadza si czynnik losowy. 3. uogó1nienie zakresu jednej lub kilku zmiennych. W opisie modelu fizycznego uwzgl dnia si warto ź zmiennej dla pewnej chwili oraz zakres okre lony przez zbiór wszystkich warto ci jakie ta zmienna ma e przyjmowaź. 4. grupowanie elementów modelu cybernetycznego w zbiory i opis ka dego zbioru przez jedn zmienn uogólnion . Oznacza to, e zmienne modelu fizycznego b d okre laź pewne zbiory elementów modelu cybernetycznego. Zakresy tych zmiennych s na ogół mniejsze ni zakresy podstawowych zmiennych opisowych. Wykorzystuj c prawa fizyki oraz zasady modelowania te zmienne oraz elementy składu i struktury nale y zestawiź w relacjach matematycznych, które uwzgl dni reguły interakcji. W ten sposób mo na utworzyź sformalizowany opis modelu fizycznego, który jest ilo ciow reprezentacj : 1). własno ci, procesów i zwi zków uwzgl dnionych w modelu cybernetycznym, nale cych do badanego segmentu systemu; 2). fragmentów składu i struktury systemu odpowiedzialnych za ich realizacj . Utworzenie modelu fizycznego systemu technicznego wymaga gruntownej znajomo ci jego funkcjonowania, bez wzgl du na to, czy system istnieje w postaci materialnej, czy te jest tylko produktem wyobra ni twórcy. Model fizyczny jest abstrakcyjn modyfikacj modelu cybernetycznego, która odzwierciedla system tylko w badanym segmencie. Opis sformalizowany zawsze dotyczy takiego modelu fizycznego. Model matematyczny Zmienno ź w czasie obserwowanych w naturze zjawisk, obiektów i sytuacji jest obecnie powszechnie akceptowana. Konsekwencj tego jest dynamika systemów, która ujawnia si w postaci zmienno ci ich własno ci, składu i struktury oraz zachodz cych w nich
Page 6 procesów i zwi zków. Oznacza to, e zmienne wyst puj ce w modelach tych systemów, s zale ne od czasu. Ta zale no ź ma na ogół postaź funkcji, w których czas jest zmienn niezale n . Okre lenie czasu jako zmiennej niezale nej nie ma nic wspó1nego z fizycznymi przyczynami lub skutkami zmiennych zale nych, ale jest po dane dla odzwierciedlenia dynamiki modelowanego systemu. Sposób odzwierciedlenia dynamiki w modelu matematycznym zale y od fizycznego charakteru własno ci procesów i zwi zków zachodz cych w modelowanym segmencie. Dynamiczny model matematyczny pozwala badaź zachowanie systemu, zarówno w stanie równowagi jak i po zadziałaniu jakiego zaburzenia, np. wymuszenia na wej ciu, które spowoduje, e system przejdzie do innego stanu równowagi. Model dynamiczny, jako odzwierciedlenie systemu technicznego, jest szczegó1nie u yteczny, gdy badania dotycz : 1). stabilno ci, 2). procesów przejsciowych, takich jak np. rozruch czy zatrzymanie, 3). niestabilno ci, b d cej rezultatem zmian struktury systemu, a nie wymusze na wej ciu. W wi kszo ci przypadków uwzgl dnienie dynamiki systemu w opisie sformalizowanym jest konieczne dla zachowania wymaganej prawdziwo ci modelu matematycznego. Jednak w pewnych okoliczno ciach dynamika mo e zostaź pomini ta. Utworzony wtedy model statyczny jest uproszczeniem, które jest dopuszczalne pod warunkiem, ze badacz pragnie prze ledziź tylko pewne stany równowagi, osi gane w specyficznych warunkach. Czasoprzestrze , w której istniej i funkcjonuj systemy naturalne mo e byź modelowana w sposób ci gły lub dyskretny. Czas, który jest zmienn niezale n w funkcjach stanu, wej cia i wyj cia, jest wielko ci ci gł z natury. Tym niemniej, w modelach matematycznych systemów dynamicznych, czas mo e byź przedstawiony w sposób ci gły lub dyskretny. Poj cie "ci gły" oznacza, e wspomniane funkcje s okre lone w ka dej chwili, w ka dym punkcie na osi czasu. Poj cie "dyskretny" odnosi si do zbiorów warto ci okre lonych tylko dla pewnych chwil. Konsekwencj tego jest pewna sko czona odległo ź na osi czasu, mi dzy ró nymi elementami zbiorów stanu, wej cia lub wyj cia. Modelami matematycznymi systemów dyskretnych i ci głych s najcz ciej układy równa . Własno ci, procesy i zwi zki, które zostały odzwierciedlone w modelu fizycznym, s zapisywane w tych równaniach w postaci zale no ci matematycznych. Najprostsz zale no ci jest proporcjonalno ź, która da si zapisaź w postaci funkcji liniowej. Obrazem funkcji f(t) w układzie prostok tnych współrz dnych kartezja skich jest linia prosta. Ogó1nie bior c mo na stwierdziź, e je eli sformalizowany opis modelu fizycznego jest utworzony z funkcji liniowych, to uzyskany model matematyczny jest tak e liniowy. Liniowo źpozwala na utworzenie modelu matematycznego w postaci układu równa liniowych (algebraicznych lub ró niczkowych), zapewnia mo liwo ź wykonywania podstawowych operacji algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mno enie i dzielenie) oraz pozwala na wybór elementu zerowego, przy wektorowym opisie wej cia, stanu lub wyj cia systemu. Dlatego, model liniowy jest stosunkowo łatwy do rozwi zania na drodze analitycznej. Zło ono źbadanych systemów powoduje jednak, e zapisanie zale no ci za pomoc funkcji liniowych, przy równoczesnym zachowaniu wymaganego poziomu prawdziwo ci modelu, jest cz sto trudne lub wr cz niemo liwe. W konsekwencji model matematyczny musi byt nieliniowy i jego rozwi zanie mo e nastr czaź powa ne trudno ci. Aby uzyskaź rozwi zanie i osi gn ź cel bada , konieczna jest wtedy linearyzacja modelu, polegaj ca na zast powaniu, zale no ci nieliniowych - liniowymi. Zmienne opisowe modelu mo na sklasyfikowaź według dwóch kryteriów: fizycznego i matematycznego. Według kryterium fizycznego, mo na wyró niź trzy grupy zmiennych, przy czym
Page 7 dwie pierwsze grupy opisuj własno ci, procesy i zwi zki zachodz ce w systemie, jego dynamik i wzajemne oddziaływanie systemu i rodowiska. Te trzy grupy zmiennych to: 1. zmienne wej ciowe opisuj ce wymuszenia działaj ce na system; mo na je dodatkowo podzieliź na zmienne kontrolowane, zwane równie decyzyjnymi, na które badacz ma wpływ i niezale ne od badacza zmienne sytuacyjne, 2. zmienne stanu i wyj cia; niezale nie od "lokalizacji" w modelu fizycznym, charakteryzuj one nieznane reakcje systemu (ł cznie zwane niekiedy stanem), które interesuj badacza ze wzgl du na cel bada , 3. zmienne pomocnicze, opisuj ce po rednie zale no ci mi dzy zmiennymi wej ciowymi oraz reakcjami, a słu do uproszczenia zapisu zale no ci wyst puj cych w modelu. Według kryterium matematycznego, zmienne opisowe modelu mo na podzieliź na dwie grupy, a mianowicie: 1. funkcje czasu Z r (t), b d innej zmiennej niezale nej, które w sensowny sposób przyporz dkowuj ka demu zdarzeniu wielko ź o ustalonej nazwie i reprezentuj zmienne wej cia, wyj cia i stanu. Maj one bezpo redni wpływ na zachowanie badanego segmentu systemu; odpowiednio uporz dkowane w szereg, funkcje te tworz wektor: z(t) = [z 1 (t), z 2 (t), ..., z r (t), ..., z Γ1 (t)]T (7) W zale no ci ad fizycznego charakteru modelowanego systemu i przyj tego sposobu opisu, współrz dne z r (t), mog byź funkcjami zdeterminowanymi, probabilistycznymi lub stochastycznymi. Do opisu sformalizowanego dynamicznych zmian wielko ci fizycznych, zachodz cych podczas funkcjonowania systemu, wykorzystuje si pochodne po czasie wektora z(t) lub jego współrz dnych z r (t); 2. parametry s ξ , które s wielko ciami odgrywaj cymi szczegó1n rol w sformalizowanym opisie modelu fizycznego. Ich natura fizyczna czyni je zmiennymi, ale w danym modelu matematycznym pozostaj stałe. W badaniach systemów technicznych parametry te tworz zbiór wielko ci, które opisuj skład i struktur badanego segmentu systemu. Mo na z tych wielko ci utworzyź wektor: T s s s s s ] ,..., ,..., , [ 2 1 Ś = ξ (8) gdzie: ξ = 1 ,2, ..., Ś - sko czony ci g indeksów. Przytoczona klasyfikacja jest konsekwencj fizycznego charakteru modelowanego segmentu i celu bada oraz uproszcze poczynionych przy budowie modelu fizycznego. Zakładaj c, e istnieje operator Ψ(t), dla którego zmienne oraz parametry mo na zapisaź w postaci wektorów, to ogó1n postaź modelu matematycznego mo na przedstawiź jako zmodyfikowan form w postaci: 0 ], , )( , )( ), ( )[ ( 2 2 = Ψ ts dt t z d dt t dz t z t (9) Wyra enie to przedstawia ogóln , ró niczkow postaź zapisu modelu matematycznego, który jest odzwierciedleniem modelu fizycznego, badanego segmentu systemu technicznego. W zale no ci od postaci zmiennych opisowych, operatora Ψ(t) oraz parametrów s ξ , model mo e byź równaniem lub układem równa : algebraicznych, ró niczkowych zwyczajnych lub cz stkowych, pierwszego lub wy szego rz du; mo e to byź model deterministyczny, losowy, stochastyczny, statyczny lub dynamiczny, dyskretny lub ci gły, liniowy lub nieliniowy itd. U yteczny model matematyczny, powinien zapewniaź[26]: - istnienie i jednoznaczno ź rozwi zania równa , z których jest zbudowany, - mo liwo ź uzyskania wyników ilo ciowych, - mo liwo ź empirycznego porównania tych wyników z wielko ciami wytwarzanymi przez modelowany system. Modele matematyczne, uzyskane w rezultacie omówionego procesu modelowania,
Page 8 pozwalaj rozwi zywaź zadania analizy, identyfikacji i syntezy. Zadania analizy polegaj na wyznaczeniu zmiennych stanu i wyj cia modelu fizycznego w zale no ci od zmiennych wej ciowych. W praktyce s to zadania: 1). wyznaczania warto ci i przebiegów charakterystyk, okre laj cych zachowanie modelowanego systemu, 2). wyznaczania pewnych charakterystyk w funkcji parametrów lub zmiennych decyzyjnych, 3). badania stabilno ci i czuło ci modelu na zakłócenia; w rezultacie otrzymuje si informacje o wpływie oddziaływania wybranych wielko ci wej ciowych na charakterystyki systemu, 4). ocena systemu, która polega na porównaniu rzeczywistych charakterystyk z postawionymi wymaganiami, 5). badania poznawcze, maj ce na celu wykrycie nieznanych dot d praw i zale no ci, zachodz cych pomi dzy oddziaływaniem rodowiska i reakcj systemu. Zadania identyfikacji polegaj na wyznaczeniu takich parametrów i struktury modelu matematycznego, które dla danych zmiennych wej ciowych umo liwi otrzymanie przebiegów zmiennych stanu i wyj cia takich samych jak te, które wytwarza system. Informacje a rzeczywistych wielko ciach wej cia, stanu i wyj cia badanego systemu uzyskuje si na drodze empirycznej. Zadania syntezy polegaj na wyznaczaniu optymalnych warto ci parametrów i struktur modelu matematycznego lub zmiennych decyzyjnych oraz na sterowaniu procesami zachodz cymi w modelu. Zadania syntezy dostarczaj informacji dla zaprojektowania systemu technicznego, który b dzie realizowaź zadanie eksploatacyjne w sposób optymalny. Pewna grupa zada syntezy zajmuje si sterowaniem procesami eksploatacji istniej cych systemów. Rezultatem rozwi zywania zada nale cych do tej grupy s informacje, które umo liwiaj podejmowanie racjonalnych decyzji podczas sterowania systemu oraz zapewniaj optymalny sposób jego obsługiwania. 5. MODELE MATEMATYCZNE SYSTEMÓW TECHNICZNYCH Wielko ci charakteryzuj ce model fizyczny, wyra one za pomoc znaków oraz symboli matematycznych i zapisane w postaci odpowiednio sformułowanych warunków równo ci lub nierówno ci, stanowi jego opis sformalizowany. Te warunki to s dane i niewiadome zgodnie z prawami fizyki, które okre laj zachowanie systemu w wybranym do bada segmencie. Ogólnie bior c, opis sformalizowany modelu fizycznego systemu mechanicznego, polega na zapisaniu zgodnie prawami mechaniki, zale no ci które ł cz przyspieszenia z poło eniami oraz z pr dko ciami uogólnionymi i równocze nie wi ruch systemu z oddziaływaniami mechanicznymi, które gwarantuj realizacj tego ruchu. Wielko ci tworz ce współrz dne uogólnione oraz ich pochodne, a tak e siły i momenty s elementami podzbioru, który okre la przestrze zmiennych w modelu fizycznym. Ogóln postaź modelu matematycznego takiego systemu mo na zapisaź w postaci: 0 ), , , , , , , , , , , ( 2 2 2 2 = Ψ ts M M R P dt d dt d dt q d dt dq q R P ϕ ϕ ϕ (10) W zale no ci od celu bada , model mo e zostaź zapisany dla całego systemu lub dla poszczególnych elementów. Mo e on odzwierciedlaź system mechaniczny uwzgl dniaj c statyk , kinematyk lub dynamik własno ci, procesów lub zwi zków. Dla odzwierciedlenia statyki systemu, model (10) jest na ogół układem równa algebraicznych. Dla odzwierciedlenia kinematyki i dynamiki potrzebne s równania ró niczkowe pierwszego lub drugiego rz du, zwane równaniami ruchu. Aby wyznaczyź stan badanego systemu, model musi si składaź z tylu równa ruchu ile jest niewiadomych; rozwi zywanie modelu polega na całkowaniu tych równa . Rezultatem całkowania s funkcje czasu, które okre laj zmiany poszukiwanych wielko ci.
Page 9 Znaj c warunki pocz tkowe lub brzegowe mo na wyznaczyź ich warto ci. Całkuj c równania (10) mo na rozwi zywaź dwa typy zada . Zadania, których celem jest wyznaczenie głównego wektora oddziaływa dla danego ruchu systemu, nosz one miano pierwszego zadania mechaniki. W tym zadaniu, poszukiwane siły i momenty s nieznanymi zmiennymi. Dane s poło enia i pr dko ci wzgl dem współrz dnych uogólnionych elementów badanego systemu, które zostały uwzgl dnione w modelu fizycznym. Drugie zadanie mechaniki dotyczy przypadków wyznaczania ruchu systemu, gdy dane s oddziaływania. W tym zadaniu dane s siły i momenty, a poszukiwane poło enia i pr dko ci [20]. Zmienno ź w czasie jest jedn z najwa niejszych własno ci, która okre la dynamik systemów naturalnych. Istota dynamicznego zachowania polega na tym, e na wyj cie i stan systemu w chwili bie cej, maj wpływ wielko ci wej cia w chwilach wcze niejszych. System "pami ta" to co dzieje si wcze niej. Na przykład, wzrost ro liny w danej chwili lub przedziale czasu zale y od nasłonecznienia i opadów w okresie poprzedzaj cym obserwacj . Model matematyczny odzwierciedla t zdolno ź do "magazynowania" energii lub informacji i do ich "zwrotu" z pewnym opó nieniem. Badanie systemów naturalnych (a w szczególno ci - technicznych), z uwzgl dnieniem ich dynamiki, jest podstawowym zadaniem modelowania. Ze wzgl dów praktycznych, takie systemy s najcz ciej modelowane w uj ciu deterministycznym. Ta klasa matematycznych modeli technicznych systemów dynamicznych, które potocznie s nazywane modelami dynamicznymi, a tak e klasa modeli statycznych, które s specyficznym uproszczeniem modeli dynamicznych, b dzie tematem dalszych rozwa a . 5.1 Modele dynamiczne Zmienne uwzgl dnione w modelu fizycznym, tworz zbiór zmiennych opisowych modelu matematycznego. W rezultacie uproszcze poczynionych przy przej ciu od modelu cybernetycznego do fizycznego, liczno ź tego podzbioru b dzie mniejsza. Wektory wej cia, stanu i wyj cia w modelu matematycznym b d utworzone ze znacznie mniejszej liczby współrz dnych. Postulat kompletno ci modelu matematycznego wymaga aby te zmienne oraz zbiory , do których one nale były dokładnie opisane [26]. Podział zmiennych opisowych modelu według kryterium fizycznego na: wej ciowe, stanu i wyj ciowe, wynika nie tylko z kierunku przepływu strumieni materiałów czy energii. W badaniach systemów dynamicznych ten podział jest konsekwencj : zdolno ci do "magazynowania" energii lub informacji i do ich "zwrotu" z opó nieniem oraz zale no ci przyczynowo-skutkowych własno ci, procesów i zwi zków. Postulat obserwowalno ci, który zapewnia mo liwo ź weryfikacji modelu na podstawie pomiarów wykonywanych na modelowanym systemie wymaga, aby zmienne wyj ciowe mo na było obja niaź, obserwowaź i mierzyź (np. w badaniach dynamiki systemów technicznych mo na mierzyź siły, odkształcenia, przyspieszenia itp.). Modele matematyczne dynamicznych systemów technicznych s tworzone przy wykorzystaniu uznanych w fizyce praw lub zasad zachowania. Te prawa i zasady okre laj reguły interakcji i s podstaw układania równa , które przedstawiaj wzajemne zale no ci zmiennych wej cia, stanu i wyj cia. Deterministyczny model matematyczny składa si na ogół z układu równa i zawsze reprezentuje jedn lub kilka relacji odwzorowania wej cia, stanu i wyj cia. Postulat u yteczno ci modelu wymaga aby istniało jednoznaczne rozwi zanie takiego układu równa . Postaź równa jest zale na od celu modelowania, od składu i struktury modelu fizycznego, od własno ci, procesów i zwi zków, które zostały w nim odzwierciedlone, ale równie od przewidywanego sposobu ich rozwi zywania. Równania tworz ce model mog byź algebraiczne lub ró niczkowe, zwyczajne lub cz stkowe, pierwszego lub wy szego rz du,
Page 10 zawieraj ce funkcj niewiadom jednej lub wi cej zmiennych. 5.2 Modele statyczne Zale no ź systemu od czasu nie przes dza o tym, e jego model b dzie dynamiczny; wystarczy uwzgl dniź zale no ci tylko mi dzy wielko ciami u rednionymi i w opisie sformalizowanym czas mo e w ogó1e nie wyst powaź. Podstawiaj c pochodne zmiennych niezale nych od czasu, równe zero równanie (8) mo na przekształciź do postaci reprezentuj cej model statyczny: ą { z , s } = 0 (11) Modele statyczne wykorzystuje si do bada systemów o ci głym, powolnym przepływie materiałów i energii jak np.: funkcjonuj ce w cyklu rocznym systemy zbiorników retencyjnych zasilane opadami i odprowadzaj ce wod do rzek, systemy produkcji masowej itp. Modele statyczne dobrze odzwierciedlaj systemy zmienne w czasie, ale pozostaj ce w równowadze, np. konstrukcje mechaniczne. S one wykorzystywane w badaniach operacyjnych, słu cych do podejmowania decyzji w systemach sieciowych, np.: obsługi masowej, podziału ograniczonych zasobów, wyznaczania cie ek krytycznych przemieszczania si w sieci tak, aby koszty lub czas były minimalne. W modelach takich systemów zamiast zmiennych wej cia i wyj cia stosuje si zazwyczaj zmienne decyzyjne i funkcje celu. 5.3 Notacje modeli dynamicznych Podstaw opisu stanu dynamicznego jest tworzenie mo liwych typów modeli, a mianowicie: "wej cie - stan - wyj cie", który jest równowa ny typowi "wej cie-reakcja" oraz "wej cie-stan", "wej cie-wyj cie" i "stan-wyj cie". Ogóln notacj modelu typu "wej cie- stan -wyj cie" dla systemu dynamicznego, mo na uzyskaź zapisuj c odpowiednio relacj : ] , ), ( ), ( [ )( s t t x t u t y ψ = (12) W zale no ci tej, ψ - jest macierz , niezale n od czasu, która reprezentuje odwzorowanie współrz dnych wektora stanu i wej cia we współrz dne wektora wyj cia. W systemach technicznych parametrami s wielko ci opisuj ce skład i struktur systemu takie, jak np.: wymiary konstrukcyjne, współczynniki i warto ci charakteryzuj ce zachodz ce procesy itp. Zakładaj c, e zale no ź od parametrów zostanie w sposób niejawny uwzgl dniona w niezale nej od czasu macierzy ψ s równanie to mo na zapisaź w postaci: y(t) = ψ s [u(t),x(t)] (13) W postaci skalarnej równanie to przedstawia układ równa , którego charakter jest zale ny od postaci macierzy ψ s i współrz dnych wektorów. Aby utworzyź model typu "wej cie - stan", nale y okre liź taki najmniejszy zbiór zmiennych stanu, który w danej chwili t niesie cał informacj o przeszło ci systemu; niezmiennikiem jest liczba elementów tego zbioru. Ogó1n postaź modelu "wej cie - stan" mo na przedstawiź w postaci układu równa ró niczkowych rz du pierwszego: ] , ), ( ), ( [ )( s t t u t x G dt t dx = 0 )0 ( x x = (14) gdzie: G - jest macierz odwzorowania pochodnych współrz dnych wektora stanu we współrz dne tego wektora oraz wektora wej cia. Po prawej stronie równa nie wyst puj pochodne po czasie zmiennych modelu. Mog natomiast wyst powaź pochodne tych zmiennych wzgl dem zmiennych przestrzennych. Zakładaj c, e zale no ź od parametrów jest w sposób niejawny uwzgl dniona w macierzy G s układ równa (14) mo na upro ciź do postaci: )] ( ), ( [ )( t u t x G dt t dx s = 0 )0 ( x x = (15)
Page 11 Ze wzgl du na wyst powanie pochodnych (mog to byź równie pochodne rz du wy szego ni pierwszy), układ równa (15) dobrze odzwierciedla dynamik systemu. Jako cało ź, układy równa (15) i (13) tworz kompletny, deterministyczny model matematyczny badanego systemu dynamicznego. Model matematyczny typu "wej cie - wyj cie" zakłada, e system przekształca wektor wej cia w wektor wyj cia. Zakładaj c, e operator Ś działa jak funkcja ϕ (.) niezale na od czasu, model dla relacji "wej cie - wyj cie" mo na zapisaź w postaci równania ró niczkowego, wektorowego: 2 1 0 2 1 2 0 : ], , [ :) ( ], , [ :) ( , t t t gdzie t t t t y s t t t t u dt du ż ż ∈ = › ą ń Õ Ã À ∈ ą (16) Zgodnie z tym równaniem przebieg zmiennej wej ciowej w przedziale czasu [t 0 , t 2 ] ma wpływ na przebieg zmiennej wyj ciowej w przedziale czasu [t 1 , t 2 ], przy czym chwila t 0 jest czasami du o wcze niejsza od chwili t 1 . Zale no ź (16) zapisana za pomoc wielko ci skalarnych, przyjmuje postaź układu równa ró niczkowych, które poddaje si niekiedy przekształceniu Laplace'a, uzyskuj c ich algebraiczn reprezentacj , łatwiejsz do rozwi zania. Rezultat tego ma na ogół postaź transmitancji, która dobrze opisuje własno ci dynamiczne systemu. Model ten mo na równie badaź w dziedzinie cz stotliwo ci, wykorzystuj c transformacj Fouriera. Rozwi zanie modelu przedstawia wtedy funkcj transmitancji w dziedzinie cz stotliwo ci. Ta funkcja umo liwia wyznaczenie charakterystyk amplitudowych i fazowych w funkcji cz stotliwo ci, które dobrze opisuj zachowanie systemu dynamicznego. Model "wej cie - wyj cie" jest wykorzystywany w badaniach systemów typu "czarna skrzynka". Ten typ modelu mo e równie byź utworzony w postaci statycznej. 6. ZAŁO ENIA DO BADA MODELI Rzeczywiste układy mechaniczne to układy masowo – dyssypacyjno - spr yste opisywane za pomoc przemieszcze , ich pochodnych zwi zanych z odkształceniami oraz wywołuj cymi je siłami. Wielko ci opisuj ce s ze sob sprz one, s zmienne w czasie i nazywane s w dynamice maszyn sygnałami. Sygnały przemieszcze , pr dko ci i przyspiesze oraz działaj cych sił maj charakter uogólniony, tzn. przemieszczenia s zarówno translacyjne jak i rotacyjne, a siły s skupione i pary sił s reprezentowane przez ich momenty. Równania ruchu, opisuj ce drgania dyskretnego modelu fizycznego, maj w ogólnym przypadku postaź [20,26,36,54]: 0 ), ,... ,..., , , ,..., ,..., , , ,..., ,..., , , ,..., , ( 2 1 .. .. 2 .. 1 .. . 2 . 1 . 2 1 = t R R R R q q q q q q q q q q q F w i n i n i n k (17) gdzie: n - liczba stopni swobody, w – liczba wi zów, t – czas, R j – j-ta nieznana siła uogólniona (reakcja), q i – i-te przemieszczenie, i q . - i-ta pr dko ź uogólniona, i q .. - i-te przy pieszenie uogólnione. Przy modelowaniu dynamicznych własno ci układów mechanicznych stosuje si szereg uproszcze w zakresie opisu i zasad budowy modeli fenomenologicznych. W celu modyfikacji własno ci dynamicznych układów mechanicznych buduje si modele strukturalne, które odzwierciedlaj organizacj wewn trzn i zachowuj własno ci transformacyjne układu. Ka dy układ mechaniczny zło ony jest z elementów: masowych (punkty materialne, nieodkształcalne lub odkształcalne bryły), spr ystych (spr yny) i tłumi cych (np. tłumiki). Mówi si wi c o układach m, k, c (masowo – dyssypacyjno - spr ystych). Tylko w uproszczeniu mo na mówiź o modelu masowym, masowo-spr ystym lub masowo-
Page 12 dyssypacyjnym. Ka dy układ (model), posiadaj cy własno ci spr yste wytr cony z poło enia równowagi, b dzie realizował ruch przemienny wokół poło enia równowagi. Taki ruch nazywamy drganiami mechanicznymi. Drgania mechaniczne w zale no ci od: liczby stopni swobody układu, równania (równa ) opisuj cego ruch, sposobu wytr cenia z poło enia równowagi (sposobu wymuszenia), modelu układu, charakteru sygnału przemieszcze i kierunku ruchu dzielimy na [7,14,36,54]: - drgania układów o jednym stopniu swobody, o wielu stopniach swobody - drgania układów dyskretnych: o niesko czonej liczbie stopni swobody - drgania układów ci głych; - drgania liniowe; nieliniowe; - drgania autonomiczne (swobodne); nie autonomiczne (wymuszone: zewn trznie lub wewn trznie); - drgania zachowawcze (bez tłumienia); nie zachowawcze (z dyssypacj energii; lub z tłumieniem); - drgania zdeterminowane; stochastyczne; - drgania wzdłu ne, poprzeczne, translacyjne, rotacyjne (gi tne, skr tne), itp. Kluczem do okre lenia dynamiki obiektów czyli drga obiektów mechanicznych jest zatem znajomo ź mo liwych odpowiedzi układu dynamicznego, do którego mo na zredukowaź badany obiekt. 6.1 Drgania translacyjne i skr tne W praktycznych zastosowaniach na pocz tku rozwa a modelowane obiekty bada przedstawiane s jako elementarne modele drgaj ce o jednym stopniu swobody. Przykłady takich układów z wymuszeniem siłowym lub momentowym przedstawiono na rys.1.2 [a).model o wymuszeniu siłowym, b). model o wymuszeniu momentowym]. Czy wnioski płyn ce z analizy drga typu skr tnego s takie same jak dla drga typu translacyjnego? Rys.1.2 Schematy modeli fizycznych o jednym stopniu swobody dla drga translacyjnych a). oraz dla drga skr tnych b). Stosuj c zasad d’Alemberta dla ka dego z modeli otrzymuje si równania: model translacyjny a). model skr tny b). Ćł = + 0 bezwl i F F Ćł = + 0 bezwl sil i M M . .. 0 )( = ł ł ł x m x c kx t F 0 )( .. . = ł ł ł ϕ ϕ ϕ I C K t M ostatecznie za : )( . .. t F kx x c x m = + + )( . .. t M K C I = + + ϕ ϕ ϕ (18) Otrzymane równania, słuszne nie tylko dla układu o jednym stopniu swobody, s identyczne, a wi c wnioski płyn ce z analizy ich rozwi za b d równie identyczne.
Page 13 6.2 Wymuszenie siłowe i kinematyczne Dla tej samej ogólno ci rozwa a rozpatrzmy wymuszenia siłowe i kinematyczne przedstawione na rys.1.3. W pierwszym przypadku wymuszenie pochodzi od zadanej zewn trznej siły b d momentu, za w drugim przypadku mamy zadany ruch na torze (wymuszenie kinematyczne) [5]. Oba przypadki wymuszenia s modelowo równowa ne, a zadane przemieszczenie z(t) działaj c poprzez spr yn k i tłumik c jest ródłem siły równowa nej F(t), przy czym . )( zc kz t F + = . Wiedz c o tym mo na dalsze rozwa ania ograniczyź do drga translacyjnych z wymuszeniem siłowym, a wnioski przenosiź na dowolny ruch z dowolnym typem wymuszenia. Rys.1.3 Ilustracja równowa no ci wymuszenia siłowego a). i kinematycznego b) [5]. 6.3 Wyznaczanie parametrów zast pczych Podstawowe metody wyznaczania parametrów (cech) strukturalnych modeli układów mechanicznych to metody identyfikacji; prostej dla układów prostych i zło onej dla układów o wielu stopniach swobody. W przypadku prostych układów mechanicznych, niekoniecznie o małej liczbie stopni swobody, ale z łatwym podziałem na dyskretne elementy masowe, spr yste i tłumi ce najbardziej efektywna jest metoda analityczna oparta na znajomo ci geometrii i własno ci materiałowych elementów konstrukcyjnych układu. Metoda analityczna zawiera si w kilku etapach. Najpierw dokonuje si my lowej dyskretyzacji rzeczywistego układu mechanicznego. Ł czy si elementy w grupy o zbli onych cechach dominuj cych, np. o wyra nie przewa aj cych cechach masowych nad spr ystymi lub tłumi cymi. Elementy masowe traktuje si wi c jako nieodkształcalne bryły lub punkty materialne. Elementy bezmasowe ((spr yste i tłumi ce) najcz ciej traktowane jednocze nie jako spr ysto-tłumi ce s ujmowane jako odkształcalne. Tak poł czone elementy w grupy przedstawia si tylko jednym elementem zwanym zast pczym lub zredukowanym. Jest on reprezentowany tylko jednym parametrem zredukowanym, b d cym albo wprost parametrem strukturalnym, albo elementem pewnej kombinacji parametrów zredukowanych. Parametry zast pcze wyznacza si dla potrzeb analizy dynamiki układu, najcz ciej przy zało eniu równowa no ci dynamicznej grupy elementów konstrukcyjnych i elementu zast pczego. Równowa no ź dynamiczna oznacza równowa no ź energii ruchu elementów układu rzeczywistego i elementów zast pczych, co oznacza ich równowa no ź energii kinetycznej, potencjalnej i funkcji dyssypacji energii. 6.4 Wyznaczanie mas zast pczych Rzeczywiste elementy masowe s w ogólno ci bryłami nieodkształcalnymi, wi c ich energia kinetyczna jest sum energii kinetycznej ruchu post powego z pr dko ci V s rodka
Page 14 masy oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego dookoła osi chwilowego obrotu, przechodz cej przez rodek masy. 2 2 2 1 2 1 i i i i kz J V m E ω + = (19) Zast pczymi elementami masowymi mog byź albo punkty materialne, albo bryły doskonale sztywne. Zakłada si najcz ciej, e punkty materialne wykonuj ruch prostoliniowy, a bryły ruch obrotowy dookoła stałej osi. Dokonuj c redukcji masy korbowodu mechanizmu korbowo-tłokowego (rys.1.4) do dwóch punktów A i B pokrywaj cych si z osi sworznia wału korbowego O oraz z osi sworznia tłokowego przyjmuje si oznaczenia: - masa korbowodu m k , - długo ź korbowodu l k , - moment bezwładno ci J s wzgl dem osi przechodz cej przez rodek masy S odległy od osi A o a = A S oraz od osi B o b = B S, przy czym a + b = l k . Rys.1.4 Schemat mechanizmu korbowo - tłokowego. Równowa no ź dynamiczna energii zachodziź musi dla dowolnych warto ci V s ruchu post powego oraz ω ruchu obrotowego, a wi c równie dla ich szczególnych warto ci równych niejednocze nie zeru. Wynikaj st d równania równowa no ci mas oraz równowa no ci momentów bezwładno ci wzgl dem osi przechodz cej przez rodek masy S: B A k m m m + = dla ω = 0 (20) 2 2 b m a m J B A S + = dla V S = 0 (21) a st d warto ci mas zast pczych m A i m B : 2 2 2 b a b m J m k S A ł ł = (22) 2 2 2 a b a m J m k S B ł ł = (23) Warunek równowa no ci statycznej oznacza równowa no ź momentów statycznych układu rzeczywistego i zast pczego: 0 = ł b m a m B A (24) Spełnienie jednocze nie trzech warunków równowa no ci statycznej i dynamicznej wymaga zast pienia korbowodu trzema punktami materialnymi (A,S,B) i wówczas równania równowagi s nast puj ce: S B A k m m m m + + = 2 2 b m a m J B A S + = (25) 0 = ł b m a m B A Masy zast pcze w układzie tym przyjmuj postaź:
Page 15 ; k S A al J m = ; k S B bl J m = ab J m m S k S ł = (26) 6.5 Zast pcze sztywno ci modelowanych układów Je eli w układzie wyst puj ró ne elementy spr yste, nale y wówczas wyznaczyź zast pczy współczynnik spr ysto ci. Mo na tu rozwa yź dwa przypadki poł cze spr ystych – poł czenie równoległe i szeregowe. Zast pczy współczynnik spr ysto ci wyznacza si z warunku równowagi energii potencjalnych. Jak wynika z rys.1.5 energia potencjalna poł czenia równoległego przy przesuni ciu o x wynosi: 2 2 2 1 2 1 2 1 x k x k E P + = (27) Rys.1.5 Poł czenia spr yste: równoległe a). i szeregowe b). oraz sztywno ź zast pcza. Energia potencjalna układu zast pczego przy tym samym przesuni ciu wynosi: 2 2 1 x k E z P = (28) Po porównaniu tak opisanych energii otrzymuje si dla poł czenia równoległego: 2 1 k k z k + = (29) Dla poł cze szeregowych nadajemy przesuni cie x na ko cu spr yny o współczynniku k 2 . Spr yna o współczynniku spr ysto ci k 1 zostanie odkształcona o z i energia potencjalna obu spr yn wynosi: 2 2 2 1 ) ( 2 1 2 1 z x k z k E P ł + = (30) Poniewa w punkcie A jest równowaga dwóch sił: k 1 z = k 2 (x-z) , mo na wyznaczyź: x k k k z 2 1 2 + = (31) Po podstawieniu (4.14) do (4.13) i przekształceniu otrzymuje si : 2 2 1 2 1 2 1 x k k k k E P + = (32) Porównuj c dalej (27) i (32) otrzymuje si zast pczy współczynnik spr ysto ci dla poł czenia szeregowego: 2 1 2 1 k k k k k z + = (33) 6.6 Oszacowanie zast pczego tłumienia obiektu Parametr ten jest niezb dny przy oszacowaniu amplitudy odpowiedzi rezonansowej modelu b d szybko ci zaniku drga . Do jego wyznaczenia nale y z eksperymentu wyznaczyź logarytmiczny dekrement tłumienia ą, b d stopie tłumienia ξ oraz cz sto ź własn ω 0 , co cz sto wykorzystuje si do weryfikacji modelu.
Page 16 Realizacja eksperymentu testem impulsowym, polegaj cym na uderzeniowym wymuszeniu obiektu w punkcie spodziewanego działania wymuszenia i odbiorze odpowiedzi w punkcie redukcji R. Jako wynik uzyskuje si obraz drga zanikaj cych, przedstawiony na rys.1.6. ξ
= = ą 2 ln 3 1 A A ą =lnA 1 /A 3 =2 ξ Rys.1.6 Ilustracja do wyznaczenia logarytmicznego dekrementu tłumienia ą i zast pczego tłumienia c z . Wynikiem eksperymentu jest tu logarytmiczny dekrement tłumienia ą, b d stopie tłumienia ξ oraz cz sto ź własna ω 0 , co słu y do weryfikacji oblicze i badanego modelu. Drgania tłumione przedstawione na rys.4.5 s nieokresowe, jednak kolejne poło enia rodkowe i kolejne wychylenia s osi gane po jednakowych odst pach czasu. Zatem, okres drga tłumionych mo na wyznaczyź z zale no ci: 2 2 0 1 2 2 n T ł = = ω π ω π (34) który jest wi kszy od okresu drga tłumionych: 0 0 1 2 ω π = –T T (35) Dekrement logarytmiczny tłumienia, definiowany jako stosunek warto ci dwóch kolejnych maksymalnych amplitud, przyj to za miar tłumienia drga : 1 1 ) ( )( ln nT T t x t x = + = ą (36) Stopie tłumienia dla ułatwienia dalszej analizy mo na zapisaź w postaci: 0 ω ξ h c c kr = = oraz 1 , 2 = = = ξ gdy mk c c kr (37) Dla rys. 1.6 mo na napisaź: z z z zkr z kr k m c c c c c 2 = = = ξ (38) W takim razie dekrement logarytmiczny tłumienia wynosi: z z z z z z k m c k m c π π πξ = = = ą 2 2 2 (39) a z tego tłumienie zast pcze:
Page 17 z z z k m c π ą = (40) Znaj c zatem z eksperymentu dekrement logarytmiczny tłumienia ą oraz z dalszych oblicze zast pcz mas i sztywno ź (m z , k z ) mo na wyznaczyź warto ź zast pczego tłumienia c z w badanym modelu. Zagadnienia modelowania s specyficzne dla ró nych zastosowa , st d w dalszej cz ci tej ksi ki wielokrotnie przytaczane b d ró ne aspekty podziału i zasad modelowania, co stanowi doskonałe uzupełnienie podanych wcze niej zasad i specyfiki modelowania. 7. PODSUMOWANIE Modelowanie stanowi pierwszy etap formalnego uj cia zagadnie zwi zanych zarówno z analiz działania jak i syntez obiektów technicznych. Pozwala ono z okre lonym przybli eniem odtworzyź zasady organizacji i funkcjonowania obiektu, co dalej umo liwia uzyskanie informacji o samym modelowanym obiekcie. Celem modelowania jest uzyskanie wiarygodnego modelu matematycznego, który umo liwia prze ledzenie sposobów zachowania si obiektu w ró nych warunkach. Przy budowie modelu korzysta si głównie z praw i aksjomatów fizyki, wyra aj cych równowag sił, momentów, opisuj cych bilans sił, wydatków, przepływów, z równa ci gło ci i z zale no ci geometrycznych. Ka dy model fizyczny ma odpowiadaj cy mu model matematyczny. Modelem matematycznym obiektu mechanicznego jest najcz ciej układ równa ró niczkowych o pochodnych cz stkowych, a tak e równania całkowe, które opieraj si na bilansie energetycznym, materiałowym lub równaniach procesów fizyko-chemicznych. S one trudne do rozwi zania zarówno analitycznego jak i przybli onego (numerycznego). W modelach dyskretnych układów wyst puj równania ró niczkowe zwyczajne i st d te s one cz ciej stosowane w praktyce. Rzeczywiste układy mechaniczne s z reguły nieliniowe, gdzie o nieliniowo ci decyduj własno ci reologiczne materiału, wyst powanie luzów, nieliniowy charakter sił dyssypacyjnych i charakterystyk spr ystych elementów. Ograniczone mo liwo ci analizy nieliniowych równa ró niczkowych skłaniaj do stosowania modeli liniowych lub wykorzystania procedur linearyzacji. Rozpatrywanie układów jako liniowych ma sens z uwagi na to, e istnieje du a klasa obiektów mechanicznych, które z dopuszczaln dla praktyki dokładno ci mog byź reprezentowane przez modele liniowe. Istnieje wiele sposobów tworzenia modeli obiektów, w wyniku czego powstaj ró ne modele, w ród których wymieniź nale y: modele strukturalne, modele funkcjonalne oraz modele badawcze (modele ideowe, modele analityczne). Najogólniej podobie stwo mi dzy modelem a oryginałem mo e polegaź na podobie stwie strukturalnym, ukazuj cym wspólne cechy budowy wewn trznej modelu i obiektu, lub na podobie stwie funkcjonalnym, w którym istotna jest zbie no ź ich wła ciwo ci. Zasadno ź działa zwi zanych z budow i wykorzystaniem modeli zale y od ich jako ci, czym zajmuje si dyscyplina nauki nazywana identyfikacj , która mo e dotyczyź zarówno budowy modeli obiektu jak i odtworzenia stanu badanego obiektu. LITERATURA 1. Awrejcewicz J.: Drgania deterministyczne układów dyskretnych. WNT, Warszawa 1996. 2. Bendat J.S., Piersol A.G.: Metody analizy i pomiaru sygnałów losowych. PWN, Warszawa, 1996. 3. Bishop R.D., Gladwell G.M., Michaelson S.: Macierzowa analiza drga . PWN, Warszawa, 1972. 4. Bishop R.E.D., Johnson D.C.: The mechanics of vibration. Cambridge University Press, 1960. 5. Cempel C.: Drgania mechaniczne - wprowadzenie. Politechnika Pozna ska, 1982.
Page 18 6. Cempel C.: Wibroakustyka stosowana. Warszawa, PWN, 1989. 7. Cempel C.: Podstawy wibroakustycznej diagnostyki maszyn. WNT, Warszawa, 1982. 8. Cempel C.: Modele diagnostyki wibroakustycznej. DMRiP, Borówno,1994 (s.25-44). 9. Cempel C.: Niezawodno ź symptomowa i jej zastosowanie w drganiowej diagnostyce maszyn. Zeszyty Naukowe, Politechnika Pozna ska, Nr 34, 1990 (s.157-169). 10. Cempel C.: Vibroacoustical Condition Monitoring. Ellis Hor. Ltd., Chichester, New York, 1991. 11. Cempel C.: Teoria In ynierii Systemów, skrypt, Zakład Dynamiki i Wibroakustyki Systemów, Politechnika Pozna ska, 2000. 12. Cholewa W., Kici ski J.: Diagnostyka techniczna. Odwrotne modele diagnostyczne. Wydawnictwo Politechniki l skiej, Gliwice 1997. 13. Chmielewski T., Zembaty Z.: Podstawy dynamiki budowli. Arkady, Warszawa 1998. 14. Dietrych J.: System i konstrukcja. WNT, Warszawa, 1985. 15. Dietrych M. ii : Podstawy konstrukcji maszyn. WNT, Warszawa 1995, tom 1. 16. Dobry M. W.: Optymalizacja przepływu energii w systemie człowiek - narz dzie - podło e. Politechnika Pozna ska, Rozprawy nr 330, Pozna , 1998. 17. Eykhoff P. : Identyfikacja w układach dynamicznych. BNIn . Warszawa.1980. 18. Fritzen C. P., Kiefer T.: Lokalization and Correction of Errors in Analytical Models. Proceedings of the l Oth International Modal Analisis Conference, San Diego, CA, 1999, pp.1064-1071. 19. Giergiel J., Uhl T.: Identyfikacja układów mechanicznych. PWN, Warszawa, 1990. 20. Giergiel J. : Drgania mechaniczne. AGH, Kraków 2000. 21. Grifin M.J.: Handbook of human vibration. Academic Press, 1990. 22. Gutowski R., Swietlicki W.: Dynamika i drgania układów mechanicznych. PWN,Warszawa, 1986. 23. Harris C. M.: Shock and Vibration Handbook. Third Edition, McGraw-Hill Book Company, 1988. 24. Kaczmarek J.: Podstawy teorii drga i dynamiki maszyn. Wy sza Szkoła Morska, Szczecin 1993. 25. Konderla P., Kasprzak T.: Komputerowe metody w teorii spr ysto ci. Dolno l skie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław 1997. 26. Kurowski W.: Modelowanie obiektów technicznych. R kopis opracowania, Płock 2001. 27. Ka mierczak H., Kromulski J.: Identyfikacja i minimalizacja obci e dynamicznych w maszynach rolniczych metodami eksperymentalnej analizy modalnej. Projekt Badawczy nr 708819101 Raport Ko cowy, PIMR 1993. 28. Ka mierczak H., Kromulski J.: Identyfikacja własno ci dynamicznych i obci e eksploatacyjnych maszyn w zastosowaniu do diagnostyki (na przykładzie prasy Z224). Prace PIMR, XXXVIII, Pozna 1993, Nr 2, str. 70-87. 29. Ka mierczak H., Kromulski J.: Metody identyfikacji parametrycznej w zastosowaniu do diagnostyki konstrukcyjnej. Problemy Eksploatacji 6/93 MCNEMT Radom 1993. 30. Ka mierczak H.: Analiza dynamiczno ci konstrukcji metod eksperymentalnej analizy modalnej. I Szkoła Analizy Modalnej, AGH Kraków, 11-12 grudnia 1995. 31. Ka mierczak H.: Zadawanie wymuszenia w eksperymentalnej analizie modalnej w aspekcie minimalizacji bł dów modelowania. Szkoła Analizy Modalnej, Szczyrk, 1999. 32. Kici ski J., Materny P.: Symulacyjne katalogi relacji diagnostycznych dla bazy wiedzy systemu. KDT. Warszawa, 2000. 33. Kruszewski J., Wittbrodt E.: Drgania układów mechanicznych w uj ciu komputerowym. Tom I. Zagadnienia Liniowe, WNT, Warszawa, 1992. 34. Kucharski T.: Metoda obliczania odpowiedzi dynamicznych układów opisanych równaniami o zmiennych w czasie parametrach. I Krajowa Konferencja U ytkowników MATLAB-a, AGH-Kraków, 1995. 35. Morel J.: Drgania maszyn i diagnostyka ich stanu technicznego. Polskie Towarzystwo Diagnostyki Technicznej, Warszawa, 1994.
Page 19 36. Morrison F.: Sztuka modelowania układów dynamicznych. WNT, Warszawa, 1996. 37. Muller L., Wilk A.: Teoria podobie stwa w badaniach modeli fizycznych i matematycznych. Wydawnictwo Politechniki l skiej, Gliwice 1997. 38. Rakowski G., Kacprzyk Z.: Metoda elementów sko czonych w mechanice konstrukcji. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1993. 39. Tylicki H.: Optymalizacja procesu prognozowania stanu technicznego pojazdów mechanicznych. Rozprawa habilitacyjna nr 86, ATR Bydgoszcz, 1999. 40. Uhl T.: Historia i rozwój analizy modalnej. Materiały z obchodów 70-lecia urodzin i 45- lecia pracy naukowej prof. dr hab. in . Józefa Giergiela oraz V Szkoly Analizy Modalnej, s. 294-305., Kraków 200. 41. Uhl T., Batko W.: Wybrane problemy diagnostyki maszyn. CCATIE, Kraków, 1996. 42. Uhl T.: Komputerowo wspomagana identyfikacja modeli konstrukcji mechanicznych. WNT, Warszawa 1997. 43. Zeigler B.: Teoria modelowania i symulacji. PWN.1984. 44. Zienkiewicz O.C.: Metoda elementów sko czonych. Arkady, Warszawa 1972. 45. ółtowski B.: Identyfikacja diagnostyczna obiektów technicznych. Zagadnienia Eksploatacji Maszyn. Z.1 (105). PAN. 1996. 46. ółtowski B.: Podstawy diagnostyki maszyn. Wyd. ATR, Bydgoszcz, 1996. 47. ółtowski B., świk Z.: Leksykon diagnostyki technicznej. Wyd.ATR,1996. 48. ółtowski B.: Uwarunkowania klasyfikacji stanów w diagnostyce maszyn. Diagnostyka, niezawodno ź i bezpiecze stwo. Radom–Krynica. KBM PAN 4’97 (27), (s.37 – 51). 49. ółtowski B.: Vibrodiagnosis experiments of machines. COMADEM. Sheffield'96,UK. 50. ółtowski B.: Diagnostic identification of real objects (part I). COMADEM 97. Helsinki. Finland. 1997.(Vol.2, s.224-235). 51. ółtowski B.: Diagnosis experiments of machines. LAMDAMAP’97, Huddersfield, UK, 1997. (s.43-55). 52. ółtowski B.: Diagnostic identification of machines (part II). ISROMAC-7. Dynamics II. vol. B Honolulu. HAWAII. USA. 1998 (s.832-840). 53. ółtowski B.: Application of modal analysis to diagnosis of machines. ISPE. Trynidad. and Tobago. 2000. 54. ółtowski B.: Badania dynamiki maszyn. ATR, Bydgoszcz 2002.