Parametry zmiennej losowej
Ka\
da zmienna losowa jest w pełni opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa (funkcję gęstości
prawdopodobieństwa lub dystrybuantę).
Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia pewnych charakterystyk liczbowych rozkładu
zmiennych losowych ( nie dających pełnego opisu zmiennej losowej! ).
Wartość przeciętna, wartość oczekiwana, wartość średnia, nadzieja matematyczna
zmiennej losowej X
Oznaczamy symbolem: E( X ) , EX , m , µ .
Jeśli X jest zmienną losową typu skokowego:
Ç = {x1, x2,..., xn,...} p(xk ) = P(X = xk )
przy czym i szereg "| xk | p(xk ) ,
k
E(X ) =
"x P(xk )
k
jest zbie\
ny, to:
k
xk " Ç
gdzie sumowanie względem k jest rozciągnięte na wszystkie wartości k , dla których .
|
Jeśli X jest zmienną losową typu ciągłego o gęstości f( ) i zbie\
na jest całka: , to:
+"x | f (x)dx
!1
"
E(X ) = xf (x)dx
+"
-"
dF(x) = f (x)dx
Jeśli F(x)  dystrybuanta zmiennej losowej X , to , czyli mo\
na określić wartość
"
E(X ) = xdF(x)dx
+"
oczekiwanÄ… jako:
-"
Interpretacja:
Wartość przeciętna jest parametrem wskazującym jaki punkt jest punktem  środkowym
rozkładu, punktem wokół, którego grupują się wartości zmiennej losowej.
Własności wartości oczekiwanej
Twierdzenie 1
Wartość oczekiwana iloczynu zmiennej losowej i stałej jest równa iloczynowi wartości oczekiwanej
tej zmiennej losowej i tej stałej:
E(aX ) = a Å" E(X ) gdzie a = const
Dowód:
Dla zmiennej losowej skokowej przyjmującej n wartości xk z prawdopodobieństwem
P( X = xk ), k = 1, 2,..., n. Iloczyn zmiennej losowej X oraz stałej a jest nową zmienną losową skokową
Y = aX. Zmienna losowa Y przyjmuje n wartości: yk = axk, k=1, 2,..., n. Poniewa\
zmienna losowa Y
przyjmuje wartości yk wtedy i tylko wtedy gdy zmienna losowa X przyjmuje wartość xk, więc:
P(Y = yk ) = P(X = xk ) dla k = 1,2,...,n . Wobec powy\
szego:
n n
E(aX ) = EY = P(Y = yk ) = Å" xkP(X = xk ) = a Å" E(X )
"y "a
k
k =1 k =1
Twierdzenie 2
E(a) = a
Wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej: , gdzie: a = const.
Twierdzenie 3
Wartość oczekiwana sumy zmiennych losowych X i Y jest równa sumie wartości oczekiwanych tych
zmiennych losowych:
E(X + Y ) = EX + EY
Wniosek 1:
Wartość oczekiwana kombinacji liniowej dowolnej skończonej liczby zmiennych losowych
jest równa kombinacji liniowej wartości oczekiwanych tych zmiennych losowych:
E(a1X1 + a2X2 + ... + ak Xk ) = a1EX1 + a2EX2 + ... + akEXk
Wniosek 2:
Niech zmienne losowe X1, X2, ... , Xk mają jednakowe wartości oczekiwane równe C, czyli:
EX1 = EX2 = ... = EXk = C
, to wartość oczekiwana średniej arytmetycznej tych zmiennych losowych
wynosi równie\
C:
X1 + X2 + ... + Xk
öÅ‚
EëÅ‚ = C
ìÅ‚ ÷Å‚
k
íÅ‚ Å‚Å‚
Twierdzenie 4
Wartość oczekiwana iloczynu niezale\
nych zmiennych losowych jest równa iloczynowi ich wartości
oczekiwanych:
E(X Å"Y ) = EX Å" EY
Twierdzenie 5
Wartość oczekiwana modułu zmiennej losowej jest nie mniejsza ni\
moduł wartości oczekiwanej tej
zmiennej losowej:
E | X | e" | EX |
Przykład 1
Rzut kostkÄ…  zmienna losowa typu skokowego:
xi 1 2 3 4 5 6
pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
6
1 1 1 7
E(X ) = pi = 1Å" + 2 Å" + ... + 6 Å" = = 3,5
"x
i
6 6 6 2
i =1
Wartość oczekiwana jest ró\
na od wartości przyjmowanych przez zmienną losową: xi = 3 lub 4 .
Momenty zmiennej losowej
Definicja:
E(X - a)n
Wartość oczekiwaną w postaci: gdzie: n = 0, 1, 2, ...
nazywamy n  tym momentem zmiennej losowej X względem liczby a . Jeśli a = 0, mamy do czynienia z
momentami względem zera, które skrótowo są nazywane momentami lub momentami zwykłymi.
Momentem n  tego rzędu zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną postaci:
n
Ä…n = E(X )
Dla zmiennej losowej typu skokowego przyjmującej wartości xk ( k = 1, 2, ... , K ) z prawdopodobieństwami
P(X = xk ) = pk
:
K K
n n n
Ä…n = EX = P(X = xk ) = pk
"xk "xk
k =1 k =1
Dla zmiennej losowej typu ciągłego:
"
n
Ä…n = EX = xn f (x)dx
+"
-"
Dla n = 1 moment zwykły jest wartością oczekiwaną: ą1 = EX
Wniosek 3:
n
E(aX )n = anEX E(aX ) = aEX
( wynika z twierdzenia: )
Przykład 2
Rzut kostką jak w przykładzie 1.
6
1 91 1
2 2
Ä…2 = EX = P(X = xi ) = (12 + 22 + ... + 62) = = 15
"x
i
6 6 6
i =1
6
1 441 1
3 3
Ä…3 = EX = P(X = xi ) = (13 + 23 + ... + 63) = = 73
"x
i
6 6 2
i =1
Definicja:
Momenty względem wartości oczekiwanej EX nazywamy momentami centralnymi :
µn = E(X - EX )n
gdzie: n = 0, 1, 2, ...
P(X = xi ) = pi
Dla zmiennej losowej typu skokowego o wartościach xi i prawdopodobieństwach :
µn = E(X - EX )n =
"(x - m)n pi gdzie: m = EX - wartość oczekiwana.
i
Dla zmiennej losowej typu ciągłego:
"
µn = E(X - EX )n = ( - m)n f (x)dx
+"x
-"
Ze względów praktycznych największe znaczenie ma drugi moment centralny związany z wariancją
zmiennej losowej.
Wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej
Wartość oczekiwana jest parametrem wskazującym punkt  środkowy rozkładu
prawdopodobieństwa. Po\
ądane byłoby wprowadzenie innego parametru za pomocą, którego mo\
na by
charakteryzować rozproszenie (rozrzut) wartości zmiennej losowej względem wartości oczekiwanej EX .
Jednym z takich parametrów jest wariancja.
WariancjÄ™ zmiennej losowej X oznaczamy jednym z symboli:
2
V (X ) Var(X ) D2(X ) Ã
, , ,
i określamy jako:
2
V (X ) = E(X - EX )2 = E(X - 2EX + (EX )2) =
2 2
= E(X ) - 2EXEX + (EX )2 = E(X ) - (EX )2
Czyli:
2
V (X ) = E(X - EX )2 = EX - (EX )2
Wariancja jest drugim momentem centralnym zmiennej losowej X , czyli dla k = 2 .
Dla zmiennej losowej typu skokowego, wynosi:
V (X ) = E(X - m)2 = - m)2 pi
"(xi
i
Dla zmiennej losowej typu ciągłego:
"
V (X ) = E(X - m)2 = ( - m)2 f (x)dx
+"x
-"
Wariancja zmiennej losowej jest średniokwadratowym odchyleniem zmiennej losowej od jej wartości
oczekiwanej i jest jednym z podstawowych parametrów, które mówią o rozproszeniu zmiennej losowej.
Z wariancjÄ… zmiennej losowej zwiÄ…zana jest inna miara rozproszenia, a mianowicie odchylenie
standardowe zmiennej losowej, zwane te\
dyspersjÄ…:
à = V (X )
Własności wariancji:
Twierdzenie 6
Dla dowolnej wartości liczbowej a zachodzi równość:
E(X - a)2 = E(X - EX )2 + (a - EX )2
Jeśli a = 0 , to otrzymujemy:
2 2
E(X - EX )2 = EX - (EX )2 = Ä…2 -Ä…1
WariancjÄ™ zmiennej losowej X mo\
na więc wyrazić przez pierwszy i drugi moment.
Twierdzenie 7
V (a) = 0
Wariancja stałej jest równa zeru: a = const
Twierdzenie 8
Wariancje zmiennych losowych X oraz X + a , gdzie a  dowolna stała, są jednakowe:
V (X + a) = V (x)
Twierdzenie 9
Wariancja iloczynu zmiennej losowej i stałej jest równa iloczynowi kwadratu stałej i wariancji tej
zmiennej losowej:
V (aX ) = a2V (X )
Twierdzenie 10
X1, X2,..., Xn
Je\
eli istniejÄ… wariancje zmiennych losowych niezale\
nych: , to wariancja sumy
tych zmiennych losowych te\
istnieje i jest równa sumie wariancji poszczególnych zmiennych losowych:
V (X1 + X2 + ... + Xn ) = V (X1) +V (X2) + ... +V (Xn )
Twierdzenie 11
Wariancja ró\
nicy zmiennych losowych niezale\
nych jest równa sumie wariancji poszczególnych
zmiennych losowych:
V (X1 - X2) = V (X1) +V (X2)
Twierdzenie 12
Wariancja sumy zmiennej losowej X i stałej a jest równa wariancji zmiennej losowej X :
V (X + a) = V (X )
Wniosek 4:
V (X ) e" 0
Wniosek 5:
V (X ) = 0 P(X = c) = 1
Jeśli , to istnieje takie c , \
e prawdopodobieństwo:
Wniosek 6:
Wariancja dowolnej kombinacji liniowej zmiennych losowych niezale\
nych wyra\
a siÄ™ wzorem:
2 2 2
V (c1X1 + c2X2 + ... + cn Xn ) = c1V (X1) + c2V (X2) + ... + cnV (Xn )
Przykład 3
Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa dany tabelą:
xk 0 1 2 3 4
pk 0,2 0,1 0,1 0,3 A
Znalez
ć stałą A, a następnie obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję tej zmiennej losowej.
pk = 0,2 + 0,1+ 0,1+ 0,3 + A = 1 , czyli: 0,7 + A = 1, stÄ…d: A = 1- 0,7 = 0,3
"
k
m = EX = pk = 0 Å" 0,2 +1Å" 0,1+ 2 Å" 0,1+ 3Å" 0,3 + 4 Å" 0,3 = 2,4
"xk
k
2
à =
"(x - m)2 pk = (0 - 2,4)2 Å" 0,2 + (1- 2,4)2 Å" 0,1+ ... + (4 - 2,4)2 Å" 0,3 = 2,98
k
Prostszy sposób:
2 2
à = EX - (EX )2 = 02 Å" 0,2 +12 Å" 0,1+ ... + 42 Å" 0,3 - (2,24)2 = 8 - 5,02 = 2,98
Standaryzacja zmiennej losowej
Często spotykaną operacją odnoszącą się do zmiennych losowych jest operacja jej standaryzacji
(normowania). W wyniku standaryzacji zmiennej losowej X otrzymujemy nowÄ… zmiennÄ… losowÄ… np. Y
określoną wzorem:
X - EX
Y =
à (X )
gdzie: - odchylenie standardowe zm. l. X .
à (X )
Zmienna losowa Y charakteryzuje siÄ™ tym, \
e jej:
EY = 0
- wartość oczekiwana wynosi zero:
V (Y ) = 1
- wariancja zaÅ› wynosi jeden: .
Parametry pozycyjne zmiennej losowej
Parametry pozycyjne zmiennej losowej wprowadza się dla porównania ró\
nych rozkładów
prawdopodobieństwa ze sobą.
Definicja:
xp
Kwantylem rzędu p ( 0 < p < 1 ) zmiennej losowej X nazywamy liczbę spełniającą warunki:
P( X d" xp ) e" p
- dla zmiennej losowej typu skokowego:
P( X e" xp ) e" 1- p
i:
F(xp ) d" p d" F(x+)
lub:
p
F(xp ) = p
- dla zmiennej losowej typu ciągłego:
x
p "
czyli: oraz:
+"f (x)dx = p +"f (x)dx = 1- p
-" x
p
f(x)
F(xp)=p
xp
x
F(x)
1
0,75
p
0,5
0,25
xp
x
xp P(X < xp ) = p
Kwantyl rzędu p zmiennej losowej X , to taka wartość , \
e .
Definiuje siÄ™:
x1/ 4 F(x1/ 4) = 0,25
Kwantyl dolny zmiennej losowej ( rzędu ź) :
x3 / 4 F(x3/ 4) = 0,75
Kwantyl górny zmiennej losowej ( rzędu 3/4) :
Definicja:
Me
Medianą zmiennej losowej X nazywamy liczbę spełniającą związki:
1
P(X d" Me) e"
- dla zmiennej losowej typu skokowego:
2
1
P(X e" Me) e"
i:
2
f (x) F(x)
- dla zmiennej losowej typu ciągłego o gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuancie :
1
F(Me) =
, czyli:
2
x=Me "
1 1
lub
+"f (x)dx = 2 +"f (x)dx = 2
-" x=Me
Mediana jest kwantylem rzÄ™du ½ ( p = ½ ) . Dla rozkÅ‚adów symetrycznych mediana jest równa wartoÅ›ci
oczekiwanej.
Mediana nie musi mieć wartości z zakresu wartości przyjmowanych przez zmienną losową.
Inaczej mówiąc, medianą mo\
e być wartość liczbowa, której zmienna losowa nie przyjmuje!
Przykład 4
Wyznaczyć medianę zmiennej losowej X o rozkładzie prawdopodobieństwa typu skokowego danym
tabelÄ…:
xk 2 5 7 10
P(X=xk) 1/9 2/9 5/9 1/9
Mediana Me zmiennej losowej typu skokowego to liczba xp spełniająca warunki:
P(X d" xp ) e" 1/ 2 P(X e" xp ) e" 1/ 2
i , czyli:
P(X d" 7) = 1/ 9 + 2/9 + 5/9 = 8/9 > 1/ 2
i:
P(X e" 7) = 5/ 9 +1/9 = 6/9 > 1/ 2
Zatem Me = 7 spełnia powy\
sze warunki.
Rozkład symetryczny zmiennej losowej
Spośród ró\
nych rozkładów zmiennej losowej wyró\
nia się tzw. rozkład symetryczny.
Zmienna losowa ma rozkład symetryczny, je\
eli istnieje taka wartość a , \
e dla dowolnego x , dystrybuanta
spełnia zale\
ność:
F(x + a) = 1- F(a - x)
.
Po zró\
niczkowaniu względem x otrzymujemy warunek jaki musi spełniać gęstość prawdopodobieństwa
rozkładu symetrycznego:
f (x + a) = f (a - x)
Wartość a  nazywamy środkiem symetrii.
Jeśli a = 0 , to mamy rozkład symetryczny względem zera.
Jeśli zmienna losowa ma rozkład symetryczny, to środek symetrii pokrywa się z wartością oczekiwaną tej
zmiennej losowej: EX = a .
Centralne momenty nieparzyste zmiennej losowej o rozkładzie symetrycznym są wszystkie równe zeru.
Zadania
1. Obliczyć wartość oczekiwaną, momenty rzędu drugiego i trzeciego dla równomiernego rozkładu
prawdopodobieństwa opisanego zale\
nością:
Å„Å‚ 1
ôÅ‚b - a dla a d" x d" b
f (x) =
òÅ‚
ôÅ‚0 dla x "[a,b]
ół
2. Sprawdzić, czy funkcja określona zale\
nością:
Å„Å‚0 dla x 0
d"
ôÅ‚
ôÅ‚1
ôÅ‚
f (x) = x dla 0 < x < 2
òÅ‚2
ôÅ‚
ôÅ‚0 dla x e" 2
ôÅ‚
ół
jest gęstością prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej X . Jeśli tak, obliczyć wartość
oczekiwaną, moment rzędu n oraz wariancję tej zmiennej losowej.
3. Obliczyć wartości oczekiwane zmiennych losowych określonych na doświadczeniach losowych:
a) wyrzucenie parzystej liczby oczek,
b) wyrzucenie nieparzystej liczby oczek.
4. Wyznaczyć medianę zmiennej losowej o rozkładzie prawdopodobieństwa danym tabelą:
xk 1 3 5 10
P( X = xk ) 1/4 1/4 1/4 1/4
5. Obliczyć medianę zmiennej losowej X o funkcji gęstości prawdopodobieństwa danej wzorem:
1
f (x) = e- x / c dla x
"(0,") c > 0
, .
c
6. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa dany tabelą:
xk -2 -1 0 2 3
P( X = xk ) 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2
a) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej,
2
Y = X -1
b) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej ,
P(-1< X d" 2) P(-3 < X d" 2,5)
c) obliczyć oraz ,
d) obliczyć medianę zmiennej losowej X.
7. Rzucamy dwoma kostkami do gry. Je\
eli suma oczek jest równa 2 to otrzymujemy 12 zł, je\
eli suma
oczek jest równa 3 to otrzymujemy 6 zł, a w ka\
dym pozostałym przypadku płacimy 1 zł. Niech
zmienna losowa X oznacza wygranÄ….
a) Podać rozkład zmiennej losowej X i wyznaczyć jej dystrybuantę F.
b) Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.
8. Zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości:
Å„Å‚0 dla x < -1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚- x dla -1 d" x < 0
f (x) =
òÅ‚
ôÅ‚Cx2 dla 0 d" x < 1
ôÅ‚
ôÅ‚0 dla x e" 1
ół
a) Wyznaczyć stałą C.
b) Wyznaczyć dystrybuantę F( x ).
P(X d" 1/ 2) P(X > -1/3)
c) Obliczyć prawdopodobieństwa , .
d) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X.