Sterowanie manipulatorów

Sterowanie z zastosowaniem regulatorów
Sterowanie w pętli zamkniętej z zastosowaniem regulatora PD.
Rys. 11. Schemat blokowy układu zamkniętego z regulatorem PD
Na rys. 11 pokazano schemat blokowy układu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym w
układzie regulacji z regulatorem PD. Wejście V(�s)� jest tu określone zależnością:
d
V(�s)� =� KP[�q�mk (�s)�-�q�mk (�s)�]�-� KD sq�mk (�s)�
gdzie:
KP - współczynnik wzmocnienia działania proporcjonalnego (P),
KD - współczynnik wzmocnienia działania różniczkującego (D).
Stosując transformatę Laplace a do równania dynamiki członu o postaci:
&�
Jkq�&� +� Bkq�&� =� uk -� dk ,
mk mk
przy zastosowaniu sygnału sterującego ze sprzężeniem zwrotnym V(�s)� według powyższej
reguły, równanie układu zamkniętego ma postać:
KK rk
P d
q�mk (�s)� =� q�mk (�s)�-� D(�s)�
P(�s)� P(�s)�
gdzie p(�s)� jest wielomianem charakterystycznym pętli zamkniętej
p(�s)� =� Jk s2 +� (�Bk +� KKD )�s +� KKP
Układ zamknięty będzie stabilny dla dodatnich współczynników KP i KD oraz
ograniczonych zakłóceń, a uchyb nadążania będzie równy:
Jk s2 +� (�Bk +� KK )�s rk
d D d
E(�s)� =� q�mk (�s)�-�q�mk (�s)� =� q�mk (�s)�+� D(�s)�
p(�s)� p(�s)�
Jeśli na wejściu zostanie podany skok jednostkowy o wartości:
d
q�mk
d
q�mk (�s)� =�
s
to przy stałym zakłóceniu o wartości
D
D(�s)� =�
s
uchyb w stanie ustalonym można wyznaczyć z twierdzenia o wartości granicznej, uchyb ten
będzie miał wartość:
rk D
eĄ� =� lim sE(�s)� =�
s��0
KK
P
1
Uchyb sterowania jest zależny od współczynnika przełożenia przekładni i maleje dla
mniejszych jego wartości a więc dla większych wartości współczynnika redukcji prędkości,
ponadto uchyb maleje ze wzrostem współczynnika wzmocnienia KP . Warto również zwrócić
uwagę, że wartość zakłócenia D jest w stanie ustalonym związana z działaniem siły
grawitacji, której wpływ jest zależny od bieżącej konfiguracji, ale w stanie ustalonym wpływ
ten jest stały.
Jakość sterowania z zastosowaniem regulatora PD
Układ zamknięty z regulatorem PD jest drugiego rzędu i odpowiedz na skok jednostkowy
można określić z wykorzystaniem częstości własnej w�0 i współczynnika tłumienia układu z� .
Zakładając wartości wymagane w�0 i z� współczynniki wzmocnień KP i KD można
wyznaczyć z zależności:
(�Bk +� KK )� KK
2 D P 2 2
s +� s +� =� s +� 2z�w�0 s +� w�0 ,
J J
k k
a stąd:
2
w�0 Jk 2z�w�0 J -� Bk
k
KP =� , KD =�
K K
W układach regulacji napędów robotów przyjmuje się z� =� 1 co powoduje, że odpowiedz jest
tłumiona ze współczynnikiem o wartości krytycznej co zapewnia najszybszą odpowiedz
nieoscylacyjną. W tym wypadku częstość w�0 jest pulsacją graniczną pasma przenoszenia.
Przykład:
Na rys. 12 pokazano schemat blokowy układu drugiego rzędu.
Rys. 11. Schemat blokowy układu zamkniętego z regulatorem PD
Potraktujemy ten układ jako układ przykładowy, więc zaniechano oznaczeń dotyczących
numeracji członu oraz uproszczono opis zakłócenia. Wielomian charakterystyczny pętli
zamkniętej ma postać:
p(�s)� =� s2 +� (�1+� KD )�s +� KP
d
Załóżmy, że q� =� 10 i że na układ nie działa zakłócenie (d=0). Dla typowej w
serwomechanizmach robotów wartości tłumienia z� =� 1, żądane wzmocnienia regulatora PD
przy różnych wartościach częstości własnych w�0 zapisano w tabeli:
Tabela 1.
w�0 KP KD
4 16 7
8 64 15
2
12 144 23
q�(�s)� KP +� KDs
G(�s)� =� =�
d
q� (�s)� s +� (�KD +�1)�s +� KP
d
Układ poddano działaniu skoku jednostkowego q� =� 10 ��1(�t)�, odpowiedzi czasowe układu na
to wymuszenie pokazano na rys. 12.
Rys. 12. Odpowiedzi czasowe układu tłumionego krytycznie z regulatorem PD
d
na skok q� =� 10 ��1(�t)�.
Załóżmy, że w kolejnym eksperymencie na ten sam układ działa zakłócenie d=40. Zakładając
że wzmocnienia regulatora PD przyjęto jak w tabeli 1, odpowiedzi układu na taki sam skok
d
jednostkowy q� =� 10 ��1(�t)� pokazano na rys. 13.
Rys. 13. Odpowiedzi czasowe układu tłumionego krytycznie z regulatorem PD
d
na skok q� =� 10 ��1(�t)� w obecności zakłócenia d=40.
3
Uchyb w stanie ustalonym przy działaniu zakłócenia jest mniejszy przy większych
wzmocnieniach. Zwiększając wzmocnienia można teoretycznie uzyskać szybszą odpowiedz,
jednak w praktyce szybkość odpowiedzi jest ograniczona przez wartość graniczną, gdyż
wartość prądu silnika (a więc i wartość rozwijanego momentu mechanicznego na wale) jest
ograniczona konstrukcyjnie - silnik jest zabezpieczony przez ograniczenie wartości prądu w
układzie sterowania aby nie uległ awarii, natomiast dodatkowym czynnikiem który ogranicza
szybkość odpowiedzi jest podatność wału silnika i przekładni redukującej prędkość kątową.
4

Wyszukiwarka