Metrologia Elektroniczna WYKAAD Przetwarzanie analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe, próbkowanie, kwantowanie, kodowanie i odtwarzanie sygnałów pomiarowych Algorytmy cyfrowego przetwarzania sygnałów Przetworniki A/C i C/A , budowa, zasada działania, właściwości Pomiary mocy i energii Przetworniki U/f, Karty pomiarowe, kondycjonery, elementy torów cyfrowego przetwarzania Interfejsy i systemy transmisji danych pomiarowych Komputerowe systemy pomiarowe, platformy sprzętowe Oprogramowanie systemów pomiarowych Środowisko LabVIEW Literatura 1. Gajda J., Szyper M.: Modelowanie i badania symulacyjne systemów pomiarowych, Kraków, Jartek, 1998. 2. Gołębiowski J., Graczyk A., Prohuń T.: Laboratorium Komputerowych Systemów Pomiarowych, Wydaw. Politechniki Aódzkiej, Aódz, 2004. 3. Lyons R.G.: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WkiA, W-wa, 2000. 4. Miłek M.: Pomiary wielkości nieelektrycznych metodami elektrycznymi, Wyd. Politechniki Zielogórskiej, Zielonagóra, 1998, 5. Sidor T.: Elektroniczne przetworniki pomiarowe, AGH Uczelniane Wyd. Naukowo-Dydaktyczne, Kraków, 2006,. 6. Stabrowski M.: Cyfrowe przyrządy pomiarowe, PWN, Warszawa, 2002 7. Tumański Sł.: Technika pomiarowa, WNT, Warszawa , 2007 8. Świsulski D.: Systemy pomiarowe , laboratorium, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk, 2001. 16. 9. Winiecki W.: Organizacja komputerowych systemów pomiarowych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1997. 10. Zieliński T.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, WKiA, Warszawa, 2007 Przesyłanie sygnałów w systemach pomiarowych Liniowy system dyskretny Termin liniowy definiuje specjalną klasę systemów, gdzie sygnał wyjściowy jest superpozycją lub sumą pojedynczych składowych, stanowiących odpowiedzi systemu na podawane na jego wejście pojedyncze składowe sygnału wejściowego. Sytuację tę możemy symbolicznie przedstawić za pomocą następującego wyrażenia: x1(n) y1(n) Podanie innego sygnału wejściowego x2(n), daje sygnał wyjściowy y2(n) systemu wyrażony jako x2(n) y2(n) x1(n) + x2(n) y1(n) + y2(n) c1x1(n) + c2 x2(n)c1 y1(n) + c2 y2(n) Sygnałem ciągłym w czasie jest funkcja x(t), której dziedziną jest każdy punkt pewnego przedziału osi czasu. Sygnałem dyskretnym w czasie jest funkcja x[n], której dziedziną jest zbiór liczb całkowitych. Sygnał niesinusoidalny i okresowy (spełniający warunki Dirichleta) może być przedstawiony w postaci szeregu Fouriera. + " x(t) = A0 + Ak cos(k0t + k ) " k-1 Przekształcenie Fouriera + " X ( j) = x(t)e- jtdt +" - " + " 1 jt x(t) = X ( j)e d +" 2Ą - ciągłe - " Dyskretna transformacja Fouriera (DFT) Sygnał ciągły przedstawiony w postaci ciągu próbek w czasie. Stosowane DFT i FFT Dla danego ciągu N próbek o czasie próbkowania ts, całkowity czas analizowanego sygnału wynosi Nts. Obl. transformacji dla postaci dyskretnej funkcji n=N-1 F() = f (n"ts)e- jnts " 0 -zmiana dotyczy granic całkowania, - zastąpienia całki sumą. Modyfikacja polega na uwzględnieniu tylko częstotliwości będących wielokrotnościami pulsacji podstawowej 0 = m "0 oraz przeskalowaniu transformaty (podzielenie przez czas trwania sygnału Nts) N-1 1 F(m"0) = f (n"ts)e- j0"m"n"ts " N 0 Dla przypadku, gdy okres (funkcji okresowej) T=Nts, to podstawowa częstotliwość wynosi 1/Nts, a transformata Fouriera będzie różna od zera tylko dla wielokrotności tej częstotliwości. Korzystnie jest przyjąć, że 2Ą 0 = N " ts N -1 1 F(m0 ) = f (n" ts )e- j"2Ą "m"n/ N " N 0 2Ą j N oznaczając W = e N-1 1 -m"n F(m0) = f (n"ts)W " N 0 Postać DFT, funkcja okresowa o okresie N Określanie częstotliwości prążków widma DFP sygnału stałego Proces przetwarzania analogowo-cyfrowego składa się z trzech operacji: próbkowania, kwantowania i kodowania. Konwersja analogowo-cyfrowa Konwersja analogowo-cyfrowa Prawo Shannona, twierdzenie Nyquista Prawo Shannona, twierdzenie Nyquista 1 f = p Tp Proces próbkowania Proces próbkowania Wejściowy sygnał sinusoidalny Próbkowanie sygnału przy częstotliwości fs = 2fa Niejednoznaczność częstotliwości: a) ciąg wartości o czasie dyskretnym, b) dwa różne przebiegi sinusoidalne, które przechodzą przez punkty tego ciągu dyskretnego Efekty niejednoznaczności częstotliwości: a) próbkowanie przebiegu sinusoidalnego o częstotliwości 7 kHz z szybkością próbkowania 6 kHz, b) próbkowanie przebiegu sinusoidalnego o częstotliwości 4 kHz z szybkością próbkowania 6 kHz, Próbkowanie sygnału przy częstotliwości fS < 2fa pojawia się aliasing Szerokie widmo danego sygnału Widmo próbkowane: fS > 2fm - widmo powtarza się co fs Widmo próbkowane : fS < 2fm - nakładanie się widm powoduje interferencję Matematyczna reprezentacja procesu próbkowania Analogowy sygnał wejściowy Próbkowana postać sygnału wejściowego Wynik mnożenia sygnału analogowego przez funkcję Diraca Zakładamy , że funkcja f(x) ma transformatę F() Rozpatrujemy iloczyn funkcji f(x) i ciągu okresowych funkcji Diraca " f = (t - nTs ) " - " TS okres próbkowania " y(t) = f (t) f (t) = f (t) " (t - nTs ) = - " " = f (nTs ) (t - nTs ) " - " " f (t) " (t) = f ( ) (t - )d +" - " f (t) "! F ( ) f (t)" (t) "! F( ) f (t) " g(t) "! F( )G( ) F( )"G( ) "! 2Ąf (t)g(t) " f = (t - nTs ) f (t) "! F () " - " F() " ( - n0) = F( - n0 ) 1 y(t) = f (t) f (t) "! F()" F () = Fy () 2Ą " 2Ą F () = " ( - n0) Ts n=- " 2Ą 0 = Ts " " 1 2Ą 1 Fy () = F() " " ( - n0) = Ts "F( - n0) 2Ą Ts - " - " Na rysunku przedstawiono funkcję Fs(), przy czym k = 1/TS. Aby na jej podstawie znalezć funkcję F() należy pomnożyć Fs(), przez funkcję bramkującą H(). Urządzenia dokonujące tego mnożenia w dziedzinie częstotliwości (rozdzielania częstotliwości) są nazywane filtrami. Transformata Fy =Fs() przebiegu próbkowanego Funkcja H() potrzebna do odtworzenia F() z Fs() Funkcja próbkująca f (t) nie musi być ciągiem idealnych impulsów. W rzeczywistości może być ona dowolną funkcją okresową. Idealny ciąg impulsów ma tę zaletę, że próbkowana f(t) zajmuje minimum przestrzeni na osi czasu. (Dla idealnych impulsów, czas próbkowania jest równy zeru). Twierdzenie o próbkowaniu Twierdzenie Shannona (tw. o próbkowaniu) mówi, że jeśli transformata Fouriera pewnej funkcji czasu jest zerem dla || > m, a wartości tej funkcji są znane dla t = nTs (dla wszystkich całkowitych n), przy czym Ts<Ą /m, to funkcja czasu jest dokładnie określona dla każdej wartości t. Czyli f(t) może być jednoznacznie określona na podstawie ciągu jej wartości branych w równych odstępach czasu. Znając wartości funkcji w dyskretnych punktach, znamy ją dokładnie we wszystkich punktach między nimi. Górna granica Ts wynosząca Ą /m jest znana jako okres próbkowania Nyąuista. Rozważmy funkcję f(t) = sin 0t dla niej m = 0. Stąd wynika, że transformata Fouriera nie zawiera składników o częstotliwości większej niż m. Twierdzenie o próbkowaniu mówi, że f(t) może być dokładnie odtworzoną, gdy znamy jej wartości dla t = nTs, przy czym Ts < Ą /m = Ą /0 Sinusoida próbkowana w miejscach zerowych Biorąc pod uwagę górną granicę, a więc Ts = Ą/0. z wykresu sin t widzimy, iż może się zdarzyć, że każdy punkt próbkowania przypadnie na przejście f(t) przez zero tzn., że każda próbka będzie miała wartość zero. Oczywiście w tym przypadku f(t) nie może być odtworzone. Załóżmy, że próbkujemy z częstotliwością dwa razy większą niż minimalna. Okres próbkowania wynosi więc Ts = Ą/20. Możemy oczywiście odtworzyć funkcję na podstawie tych próbek. Na poniższym rysunku przedstawiono próbkowaną funkcję f(t) = sin 0t . Próbki otrzymane dla przebiegu funkcji f(t) = sin 0t można otrzymać także dla na przykład przebiegu piłokształtnego z powyższego rysunku. Jednak widmo częstotliwości przebiegu piłokształtnego nie jest ograniczone przez m (w rzeczywistości, zawiera ono nieskończenie wielkie częstotliwości). Nie spełnione by były więc warunki twierdzenia o próbkowaniu. Można zatem jednoznacznie określić przebieg na podstawie wartości jego próbek, jeśli mamy pewność, że warunki twierdzenia o próbkowaniu (Ts < Ą /m) zostały zachowane w procesie tworzenia przebiegu próbkowanego. W praktyce wszystkie realnie istniejące sygnały mają transformaty Fouriera będące w przybliżeniu równe zeru powyżej pewnej częstotliwości. Nie istnieje fizyczne urządzenie mogące przenosić nieskończenie wielkie częstotliwości ponieważ wszystkie przewody mają indukcyjność, a wszystkie obwody - pojemności pasożytnicze. Wszystkie interesujące nas sygnały mają transformaty Fouriera przyjmujące wartość zero powyżej pewnej częstotliwości odcięcia. Widmo sygnału spróbkowanego Zjawisko aliasingu Xc( j) = 0 dla > g f e" 2 fg e" 2g p p
p g d" 2 < 2g p
p g > 2 Filtr antyaliasingowy Widmo każdego sygnału fizycznego wraz ze wzrostem częstotliwości ma charakter malejący, przyjmując wartości pomijalnie małe powyżej pewnej częstotliwości fg różnej dla różnych sygnałów. Ponadto, często znane jest pasmo, w którym zawarta jest użyteczna informacja. Idealny filtr antyaliasingowy
p = f 2
p p g = g < 2 2 Rzeczywisty filtr antyaliasingowy f = f + fstop ! fstop = f - f p pass p pass Przykład Zakres częstotliwości użytecznej = 5kHz Tłumienie widma powyżej 5kHz = 15dB/oct 50dB - minimalne tłumienie aliasingu w paśmie użytecznym x = y = 15dB/oct y = 15dB + Astop e" 50dB ! Astop e" 50dB -15dB = 35dB Odtwarzanie sygnałów analogowych Xc( j) = 0 dla > g e" 2g p # ś# p f # ś# p ź# sinś# t ś# ź# sinś# t ś# ź# Tp ź# f 2 # ś# p # # # # ś# ź# hr (t) = = = sincś# t ź# p f 2 p # # t t Tp 2 hr (0) = 1 hr (nTp ) = 0 dla n = ą1,ą2,...