Przykład rozwiązania kraty MES - Elem ent kratowy o 2 stopniach swobody 1
10 kN
3
EA=10 MN
y
4m
2
3
x
0.001m 1
1 2
3m
Definicja macierzy sztywności i transformacji
ORIGIN := 1
EA -EA
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
l l
ëÅ‚cos sin 0 0 öÅ‚
T(cos, sin) := k(EA, l) :=
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 cos sin -EA EA
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
l l
íÅ‚ Å‚Å‚
Macierz topologii i dane wejściowe
x1 y1
2 2
ëÅ‚1 2 öÅ‚
x1 := 3 y1 := 0 l1 := x1 + y1 cos1 := sin1 :=
ìÅ‚2 ÷Å‚
l1 l1
top := 3
ìÅ‚ ÷Å‚
x2 y2
2 2
íÅ‚1 3 Å‚Å‚ x2 := -3 y2 := 4 l2 := x2 + y2 cos2 := sin2 :=
l2 l2
x3 y3
2 2
EA := 1e4 x3 := 0 y3 := 4 l3 := x3 + y3 cos3 := sin3 :=
l3 l3
Budowa macierzy Boole'a
i := 1 .. 2
B2(4, 6) := 0 B3(4, 6) := 0
B1(4, 6) := 0
B2i, 2Å" top2, 1-1 +i := 1 B3i, 2Å" top3, 1-1 +i := 1
B1i, 2Å" top1, 1-1 +i := 1 ( ) ( )
( )
B2i+2, 2Å" top2, 2-1 +i := 1 B3i+2, 2Å" top3, 2-1 +i := 1
B1i+2, 2Å" top1, 2-1 +i := 1 ( ) ( )
( )
ëÅ‚1 0 0 0 0 0 öÅ‚ ëÅ‚0 0 1 0 0 0 öÅ‚ ëÅ‚1 0 0 0 0 0 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚0 1 0 0 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚0 0 0 1 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚0 1 0 0 0 0 ÷Å‚
B1 = B2 = B3 =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
ìÅ‚0 0 0 1 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚0 0 0 0 0 1 ÷Å‚ ìÅ‚0 0 0 0 0 1 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
08-12-02 Opracowanie: P.Pluciński, ITIwIL PK
Przykład rozwiązania kraty MES - Elem ent kratowy o 2 stopniach swobody 2
Obliczenie macierzy transformacji i macierzy sztywności dla elementów
T1 := T(cos1, sin1) K1 := T1TÅ"k(EA, l1)Å"T1
3 3
ëÅ‚ öÅ‚
3.33333 × 10 0 -3.33333 × 10 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0
ëÅ‚1 0 0 0 öÅ‚
T1 = K1 =
ìÅ‚0 0 1 0 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚-3.33333 × 10 0 3.33333 × 10 0
÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
T2 := T(cos2, sin2) K2 := T2TÅ"k(EA, l2)Å"T2
720 -960 -720 960
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚-960 1.28 × 103 960 -1.28 × 103÷Å‚
ëÅ‚-0.6 0.8 0 0 öÅ‚
T2 = K2 =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 -0.6 0.8
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚-720 960 720 -960 ÷Å‚
3 3
ìÅ‚ ÷Å‚
960 -1.28 × 10 -960 1.28 × 10
íÅ‚ Å‚Å‚
T3 := T(cos3, sin3) K3 := T3TÅ"k(EA, l3)Å"T3
ëÅ‚0 0 0 0 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚0 2.5 × 103 0 -2.5 × 103÷Å‚
ëÅ‚0 1 0 0 öÅ‚
T3 = K3 =
ìÅ‚0 0 0 1 ÷Å‚ ìÅ‚0 0 0 0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
ìÅ‚0 -2.5 × 10 0 2.5 × 10 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Agregacja macierzy sztywności
K := B1TÅ"K1Å"B1 + B2TÅ"K2Å"B2 + B3TÅ"K3Å"B3
3 3
ëÅ‚ öÅ‚
3.33333 × 10 0 -3.33333 × 10 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
0 2.5 × 10 0 0 0 -2.5 × 10
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
ìÅ‚ ÷Å‚
K =
ìÅ‚-3.33333 × 10 0 4.05333 × 10 -960 -720 960 ÷Å‚
3 3
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 -960 1.28 × 10 960 -1.28 × 10
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 -720 960 720 -960
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 3
0 -2.5 × 10 960 -1.28 × 10 -960 3.78 × 10
íÅ‚ Å‚Å‚
Budowa wektora obciążeń węzłowych
0
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
P6 := 0 P6 := -10 P =
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚-10Å‚Å‚
08-12-02 Opracowanie: P.Pluciński, ITIwIL PK
Przykład rozwiązania kraty MES - Elem ent kratowy o 2 stopniach swobody 3
Wektor obciążenia kinematycznego
0
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
Qwb := 0 Qwb := -0.001 Qwb = S := P - KÅ"Qwb
ìÅ‚ ÷Å‚
- 3
6 4
ìÅ‚-1 × 10 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
0
íÅ‚ Å‚Å‚
Warunki brzegowe (1 - zablokowany stopień swobody)
ëÅ‚1 öÅ‚
ìÅ‚1 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚0 ÷Å‚
war :=
ìÅ‚ ÷Å‚
1
ìÅ‚1 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚0 Å‚Å‚
Uwzględnienie warunków brzegowych
i := 1 .. 6 I := identity(6) Idi, i := wari Ip := I - Id KK := IpÅ"KÅ"Ip + Id SS := IpÅ"S
ëÅ‚1 0 0 0 0 0 öÅ‚
0
ëÅ‚1 0 0 0 0 0 öÅ‚ ëÅ‚0 0 0 0 0 0 öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚0 1 0 0 0 0 ÷Å‚
ìÅ‚0 1 0 0 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚0 0 0 0 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚0 0 4.05333 × 103 0 0 960 ÷Å‚
-0.96
ìÅ‚0 0 0 0 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚0 0 1 0 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Id = Ip = KK = SS =
ìÅ‚0 0 0 1 0 0 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚0 0 0 0 1 0 ÷Å‚ ìÅ‚0 0 0 0 0 0 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 0 0 1 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚0 0 0 0 0 0 Å‚Å‚ íÅ‚0 0 0 0 0 1 Å‚Å‚ íÅ‚-11.28 Å‚Å‚
íÅ‚0 0 960 0 0 3.78 × 10 Å‚Å‚
Rozwiązanie układu równań
- 1
Q := KK Å"SS + Qwb R := KÅ"Q - P
Wektor przemieszczeń węzłowych i wektor reakcji
0
ëÅ‚ öÅ‚
-1.66667
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
7.77778
ìÅ‚ ÷Å‚
- 4
ìÅ‚ ÷Å‚
5 × 10 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Q = R =
ìÅ‚ ÷Å‚
- 3 2.22222
ìÅ‚ ÷Å‚
-1 × 10
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1.66667
ìÅ‚ ÷Å‚
0
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
- 15
ìÅ‚ ÷Å‚
- 3
íÅ‚-1.77636 × 10 Å‚Å‚
íÅ‚-3.11111 × 10 Å‚Å‚
08-12-02 Opracowanie: P.Pluciński, ITIwIL PK
Przykład rozwiązania kraty MES - Elem ent kratowy o 2 stopniach swobody 4
Powrót do elementów - obliczenie sił przywęzłowych w elementach
f1 := T1Å"(K1Å"B1Å"Q) f2 := T2Å"(K2Å"B2Å"Q) f3 := T3Å"(K3Å"B3Å"Q)
2.77778 7.77778
ëÅ‚-1.66667 öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
f1 = f2 = f3 =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1.66667
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚-2.77778 Å‚Å‚ íÅ‚-7.77778 Å‚Å‚
2.77778
-
7.77778
-
+
1.66667
08-12-02 Opracowanie: P.Pluciński, ITIwIL PK