Praca domowa z analizy matematycznej nr 2
Zadanie 1. Zbadać monotoniczność ciągów:
(n+2)!
(a) an = ,
3n
(n2+3)
(b) an = ,
n
"
n
(c) an = .
n+2
Zadanie 2. Obliczyć granice ciągów:
2n3-4n-1
(a) lim ,
6n+3n2-n3
n"
(n-1)(n+3)
(b) lim ,
3n2+5
n"

"
"
(c) lim n + 2 - n ,
n"

" "
(d) lim 3n2 + 2n - 5 - n 3 ,
n"

" "
3 3
(e) lim n 2 - 2n3 + 5n2 - 7 ,
n"
4n-1-5
(f) lim ,
4n-7
n"
2n
( )
3
(g) lim .
(3n-1)3
n"
Zadanie 3. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice:
"
n
(a) un = 3n + 2n,
"
n
(b) un = 10n + 9n + 8n,
-n -n -n
n
3 3 5
(c) un = + + .
2 4 6
an
1
Zadanie 4. Wiedząc, że lim 1 + = e obliczyć granice:
an
n"
n
3
(a) lim 1 - ,
n
n"
n
n+5
(b) lim ,
n
n"
-n+3
4
(c) lim 1 - ,
n
n"
-4n3
n3+7
(d) lim ,
n3-5
n"
1
 n
1
(e) lim ln 1 + ,
n
n"
(f) lim n (ln(n + 1) - ln(n)),
n"
n!
2
n!-2
(g) lim ,
n!+3
n"
1-n2
n2
(h) lim ,
n2-2
n"
2"n+1
"
"n-1
(i) lim .
n+5
n"
Zadanie 5. Na podstawie definicji granicy ciągu wykazać, że:
3n-1 3
(a) lim = ,
4n+5 4
n"
n+1 1
(b) lim = ,
3n+1 3
n"
1
(c) lim = 0,
n+5
n"
"
2
"n +1+1
(d) lim = 1.
n2+1-1
n"
Zadanie 6. Znalez
ć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an:

1 2 n-1
(a) lim + + · · · + ,
n2 n2 n2
n"

(2n-1)2
12 32
(b) lim + + · · · + ,
n3 n3 n3
n"
1
wskazówka: skorzystać ze wzoru 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1),
6
12+22+···+n2
(c) lim ,
3n3+2n+1
n"

1 1 1
(d) lim + + · · · + ,
1·2 2·3 n(n+1)
n"
13+23+···+n3
(e) lim ,
n4
n"
2
n(n+1)
wskazówka: skorzystać ze wzoru 13 + 23 + · · · + n3 = ,
2

1 1 1 1
(f) lim 1 - 1 - 1 - · · · 1 - ,
22 32 42 n2
n"
1 k-1 k+1
wskazówka: każdy czynnik postaci 1 - zapisać w postaci ,
k2 k k

2n n
(g) lim (sin n!)n n + ,
2
+1 3n+1 1-3n
n"
1 1
1+ +···+
2 2n
(h) lim ,
1 1
1+ +···+
n"
3 3n
"
"
n2+1+ n
"
(i) lim ,
4
n3+n-n
n"
2
"
n
2+1
(j) lim .
2+(-1)n
n"
Zadanie 7. Obliczyć:
n
(a) lim sin (5n - 8),
n2+1
n"

"
"
(b) lim sin ( n + 3) - sin ( n) ,
n"
1+2+···+n
(c) lim cos (n!).
n4-3
n"
3