Artur Noga
Instytut Elektroniki
Politechnika ÅšlÄ…ska w Gliwicach
REPETYTORIUM MATEMATYCZNE
Algebra wektorów
Reprezentacja wektorów: A = Ax1x + Ay1y + Az1z.
Długość wektora: |A| = A = A2 + A2 + A2.
x y z
A
Wektor jednostkowy: 1A = .
A
Mnożenie wektora przez skalar: ąA = ąAx1x + ąAy1y + ąAz1z.
Dodawanie i odejmowanie wektorów: A ą B = (Ax ą Bx)1x + (Ay ą By)1y + (Az ą Bz)1z.
Iloczyn skalarny:
A · B = AB cos ,
AB
A · B = (Ax1x + Ay1y + Az1z) · (Bx1x + By1y + Bz1z) = AxBx + AyBy + AzBz.
Własności iloczynu skalarnego:
A · B = B · A,
(Ä…A) · (²B) = Ä…²(A · B),
A · (B + C) = A · B + A · C,
(A + B) · (C + D) = A · C + A · D + B · C + B · D.
Warunek prostopadÅ‚oÅ›ci dwóch wektorów: A · B = 0.
Iloczyn wektorowy:
A × B = AB sin 1n,
AB
A × B = (Ax1x + Ay1y + Az1z) × (Bx1x + By1y + Bz1z)
= (AyBz - AzBy)1x + (AzBx - AxBz)1y + (AxBy - AyBx)1z.
1x 1y 1z
A × B = Ax Ay Az = (AyBz - AzBy)1x + (AzBx - AxBz)1y + (AxBy - AyBx)1z.
Bx By Bz
Własności iloczynu wektorowego:
A × B = -B × A
(Ä…A) × (²B) = Ä…²(A × B)
A × (B + C) = A × B + A × C
(A + B) × (C + D) = A × C + A × D + B × C + B × D
A × (B × C) = B(A · C) - C(A · B)
(A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) - (A · D)(B · C)
(A × B) × (C × D) = (A × B · D)C - (A × B · C)D
Warunek równolegÅ‚oÅ›ci dwóch wektorów: A × B = 0.
Iloczyn mieszany: A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B)
Układy współrzędnych - wektory jednostkowe
Współrzędne kartezjańskie (x, y, z): 1x, 1y, 1z
WspółrzÄ™dne cylindryczne (r, Ć, z): 1Á, 1Ć, 1z
WspółrzÄ™dne sferyczne (r, ¸, Ć) : 1r, 1¸, 1Ć
Reprezentacja wektorów
Współrzędne kartezjańskie:
A = Ax1x + Ay1y + Az1z
A = A(x, y, z) = Ax(x, y, z)1x + Ay(x, y, z)1y + Az(x, y, z)1z
1
Współrzędne cylindryczne:
A = AÁ1Á + AĆ1Ć + Az1z
A = A(Á, Ć, z) = AÁ(Á, Ć, z)1Á + AĆ(Á, Ć, z)1Ć + Az(Á, Ć, z)1z
Współrzędne sferyczne:
A = Ar1r + A¸1¸ + AĆ1Ć
A = A(r, ¸, Ć) = Ar(r, ¸, Ć)1r + A¸(r, ¸, Ć)1¸ + AĆ(r, ¸, Ć)1Ć
Przeliczanie składowych wektora pomiędzy układami
kartezjański cylindryczny
x = Á cos Ć Á = x2 + y2
y
y = Á sin Ć Ć = arctan
x
z = z z = z
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
FÁ cos Ć sin Ć 0 Fx Fx cos Ć - sin Ć 0 FÁ
ðÅ‚FĆûÅ‚ ðÅ‚- sin Ć cos Ć 0ûÅ‚ · ðÅ‚FyûÅ‚ ðÅ‚FyûÅ‚ ðÅ‚sin Ć cos Ć 0ûÅ‚ · ðÅ‚FĆûÅ‚
= =
Fz 0 0 1 Fz Fz 0 0 1 Fz
kartezjański sferyczny
x = r sin ¸ cos Ć r = x2 + y2 + z2
z
y = r sin ¸ sin Ć ¸ = arccos
x2 + y2 + z2
y
z = r cos ¸ Ć = arctan
x
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Fr sin ¸ cos Ć sin ¸ sin Ć cos ¸ Fx Fx sin ¸ cos Ć cos ¸ cos Ć - sin Ć Fr
ðÅ‚F¸ûÅ‚ ðÅ‚cos ¸ cos Ć cos ¸ sin Ć - sin ¸ûÅ‚ · ðÅ‚FyûÅ‚ ðÅ‚FyûÅ‚ ðÅ‚sin ¸ sin Ć cos ¸ sin Ć cos Ć ûÅ‚ ðÅ‚F¸ûÅ‚
= = ·
FĆ - sin Ć cos Ć 0 Fz Fz cos ¸ - sin ¸ 0 FĆ
cylindryczny sferyczny
Á = r sin ¸ r = Á2 + z2
z
Ć = Ć ¸ = arccos
Á2 + z2
z = r cos ¸ Ć = Ć
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
FÁ sin ¸ cos ¸ 0 Fr Fr sin ¸ 0 cos ¸ FÁ
ðÅ‚FĆûÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚F¸ûÅ‚ ðÅ‚F¸ûÅ‚ ðÅ‚cos ¸ 0 - sin ¸ûÅ‚ · ðÅ‚FĆûÅ‚
= 0 0 1ûÅ‚ · =
Fz cos ¸ - sin ¸ 0 FĆ FĆ 0 1 0 Fz
Nieskończenie małe elementy drogi, powierzchni i objętości
układ kartezjański:
dl = dx1x + dy1y + dz1z
ds = dsx + dsy + dsz = dydz1x + dxdz1y + dxdy1z
dV = dxdydz
układ cylindryczny:
dl = dÁ1Á + ÁdĆ1Ć + dz1z
ds = dsÁ + dsĆ + dsz = ÁdĆdz1Á + dÁdz1Ć + ÁdĆdÁ1z
dV = ÁdÁdĆdz
układ sferyczny:
dl = dr1r + rd¸1¸ + r sin ¸dĆ1Ć
ds = dsr + ds¸ + dsĆ = r2 sin ¸d¸dĆ1r + r sin ¸drdĆ1¸ + rdrd¸1Ć
dV = r2 sin ¸drd¸dĆ
2
Gradient
Gradient funkcji pola skalarnego dla układu kartezjańskiego, cylindrycznego i sferycznego:
"V "V "V
"V = 1x + 1y + 1z
"x "y "z
"V 1 "V "V
"V = 1Á + 1Ć + 1z
"Á Á "Ć "z
"V 1 "V 1 "V
"V = 1r + 1¸ + 1Ć
"r r "¸ r sin ¸ "Ć
Dywergencja
Dywergencja funkcji pola wektorowego dla układu kartezjańskiego, cylindrycznego i sferycznego:
"Ax "Ay "Az
" · A = + +
"x "y "z
1 " 1 "AĆ "Az
" · A = (ÁAÁ) + +
Á "Á Á "Ć "z
1 " 1 " 1 "AĆ
" · A = (r2Ar) + (sin ¸A¸) +
r2 "r r sin ¸ "¸ r sin ¸ "Ć
Rotacja
Rotacja funkcji pola wektorowego dla układu kartezjańskiego, cylindrycznego i sferycznego:
1x 1y 1z
"Az "Ay "Ax "Az "Ay "Ax
" " "
" × A = = - 1x + - 1y + - 1z
"x "y "z
"y "z "z "x "x "y
Ax Ay Az
1Á Á1Ć 1z
1 1 "Az "AĆ "AÁ "Az 1 "(ÁAĆ) "AÁ
" " "
" × A = = - 1Á + - 1Ć + - 1z
"Á "Ć "z
Á Á "Ć "z "z "Á Á "Á "Ć
AÁ ÁAĆ Az
1r r1¸ r sin ¸1Ć
1
" " "
" × A = =
"r "¸ "Ć
r2 sin ¸
Ar rA¸ r sin ¸AĆ
1 "(sin ¸AĆ) "A¸ 1 1 "Ar "(rAĆ) 1 "(rA¸) "Ar
= - 1r + - 1¸ + - 1Ć
r sin ¸ "¸ "Ć r sin ¸ "Ć "r r "r "¸
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego
A · ds = " · Adv
S V
Twierdzenie Stokesa
A · dl = (" × A) · ds
C S
Wybrane tożsamości analizy wektorowej
" × ("V ) = 0
" · (" × A) = 0
"(UV ) = U"V + V "U
" · (V A) = A · "V + V " · A
" · (A × B) = B · (" × A) - A · (" × B)
" × (A × B) = A(" · B) - B(" · A) + (B · ")A - (A · ")B
"(A · B) = A × (" × B) + B × (" × A) + (B · ")A + (A · ")B
" · "V = "2V
3
z
dSz=dxdy 1z
z
płaszczyzna
stałego z
z1
1z
,
P(x ,y z3)
1 2
1x 1y
dSy=dxdz 1y
dz
y1 y
płaszczyzna
dx
dSx=dydz 1x
stałego x y
x1
płaszczyzna
dy
stałego y dV=dxdydz
x x
Rys. 1: Reprezentacja punktu oraz elementy objętości i powierzchni w kartezjańskim układzie współrzędnych
z
płaszczyzna
z
dSz = d d 1z
stałego z
dS =d dz 1
z1 1z
d
1
dz
1
dS = d dz 1
płaszczyzna
stałego
z
y1
y
1
x1 y
powierzchnia
dV= d d dz
walcowa stałego
1
x
x
Rys. 2: Reprezentacja punktu oraz elementy objętości i powierzchni w cylindrycznym układzie współrzędnych
z
powierzchnia
stożkowa stałego
kÄ…ta Z
płaszczyzna
stałego kąta
1r
rd
1
r1 1
y
ds =rsin drd 1
r
Y
d
powierzchnia
sferyczna o stałym
x promieniu r 2
dV=r sin drd d
X
Rys. 3: Reprezentacja punktu oraz elementy objętości i powierzchni w sferycznym układzie współrzędnych
4
d
d
1
d
1
rd
rsin
rd
=
s
d
d
s
r
=
2
r s
in
d
d
r
d
1
r
rs
in
1
d