Matematyka zadania rozwiązane krok po kroku i inne
1. Liczby wymierne dodatnie Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Borys miał 15 krówek, 20 irysów i 45 landrynek. Cukierki każdego rodzaju dzielił na równe części i wkładał do torebek. Ile było torebek, jeśli w każdej znajdowało się tyle samo cukierków? A. 1 lub 5 B. 1, 5 lub 10 C. 5 lub 15 D. 5 , 10 lub 15 Zadanie 2 Liczbę trzycyfrową zapisano dwukrotnie obok siebie, otrzymując liczbę sześciocyfrową. Ile razy tak otrzymana liczba jest większa od początkowej liczby trzycyfrowej? A. 10100 B. 11 C. 101 D. 1001 Zadanie 3 Mirek, który na Ziemi waży 75 kg , na Marsie ważyłby 0,38 tego, co na Ziemi, a na Jowiszu o 169,5 kg więcej niż na Marsie. Ile na Jowiszu ważyłaby Mirka, skoro na Ziemi waży 60 kg ? A. 229,5 kg B. 282,5 kg C. 146,7 kg D. 158,4 kg Zadanie 4 1 Znajdz liczbę, która jest o tyle samo większa od , co mniejsza od 1,25. 4 Zadanie 5 Stop, z którego odlewa się posążki, składa się z miedzi, cyny i żelaza w stosunku 10 : 6 : 4 . Uzupełnij tabelę, wpisując właściwe ilości składników potrzebnych do odlania posążka o masie 350 g . Miedz Cyna Żelazo 1 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Marek i Jurek mierzyli odległość między sosną i brzozą za pomocą kijów. Kij Marka miał długość 70 cm , a Jurka 60 cm . W czasie mierzenia końce kijów chłopców, nie licząc momentu rozpoczęcia, pokryły się dziesięć razy. Odległość między sosną i brzozą jest równa: A. 42 m B. 84 m C. 0,42 m D. 8,4 m Zadanie 2 Stosunek mleka do kakao w napoju czekoladowym jest równy 12 :16 . Jaką część napoju stanowi mleko? 3 3 2 4 A. B. C. D. 4 7 3 5 Zadanie 3 1 Suma liczby 1 i liczby do niej odwrotnej jest większa od iloczynu tych liczb o: 4 A. 1,64 B. 0,0775 C. 2,5 D. 1,05 Zadanie 4 Prawdą jest, że: 1 1 I. 1 + 2 > 4 Ą% TAK Ą% NIE 3 2 1 5 5 II. 3 - 2 = Ą% TAK Ą% NIE 4 8 8 1 1 III. 0,6 < Ą% TAK Ą% NIE 3 5 2 IV. 4 : 2 ł1 Ą% TAK Ą% NIE 5 Zadanie 5 2 W pewnej szkole wszystkich chłopców uprawia sport, a 0,375 z nich trenuje piłkę nożną. 3 Jaka część wszystkich chłopców w szkole nie trenuje piłki nożnej? 2 ODPOWIEDZI Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Borys miał 15 krówek, 20 irysów i 45 landrynek. Cukierki każdego rodzaju dzielił na równe części i wkładał do torebek. Ile było torebek, jeśli w każdej znajdowało się tyle samo cukierków? A. 1 lub 5 B. 1, 5 lub 10 C. 5 lub 15 D. 5 , 10 lub 15 Liczba torebek jest wspólnym dzielnikiem liczb 15 , 20 i 45 . Wypisujemy dzielniki tych liczb. D15 = 1, 3, 5,15 { } Wspólne dzielniki tych liczb to 1 i 5 . D20 = 1, 2, 4, 5,10, 20 { } D45 = 1, 3, 5, 9,15, 45 { } Odpowiedz: A. Zadanie 2 Liczbę trzycyfrową zapisano dwukrotnie obok siebie, otrzymując liczbę sześciocyfrową. Ile razy tak otrzymana liczba jest większa od początkowej liczby trzycyfrowej? A. 10100 B. 11 C. 101 D. 1001 Niech początkową liczbą będzie 100a +10b + c , gdzie a , b , c pewne cyfry i a cyfra różna od zera. Otrzymana liczba sześciocyfrowa to 100000a +10000b +1000c +100a +10b + c . Wtedy: 100000a +10000b +1000c +100a +10b + c = =100100a +10010b +1001c =1001(100a +10b + c) Zadanie można rozwiązać w prostszy sposób. Wybieramy dowolną liczbę trzycyfrową, np. 100 i tworzymy liczbę sześciocyfrową 100100. Znajdujemy iloraz tych liczb: 100100 :100 = 1001. Z treści zadania wnioskujemy, że szukany iloraz będzie taki sam dla każdej liczby 3 trzycyfrowej, zatem także dla liczby 100. Odpowiedz: D. Zadanie 3 Mirek, który na Ziemi waży 75 kg , na Marsie ważyłby 0,38 tego, co na Ziemi, a na Jowiszu o 169,5 kg więcej niż na Marsie. Ile na Jowiszu ważyłaby Mirka, skoro na Ziemi waży 60 kg ? A. 229,5 kg B. 282,5 kg C. 146,7 kg D. 158,4 kg Obliczamy, ile Mirek ważyłby na Marsie. 75 0,38 = 28,5 (kg) Obliczamy, ile Mirek ważyłby na Jowiszu. 28,5 +169,5 = 198 (kg) 198 Jednemu kilogramowi na Ziemi odpowiada kg na Jowiszu, zatem 60 kg na Ziemi 75 198 odpowiada 60 kg na Jowiszu. 75 Obliczamy, ile Mirka ważyłaby na Jowiszu. 4 198 4198 60 = =158, 4 (kg) 5 5 75 Odpowiedz: D. Zadanie 4 1 Znajdz liczbę, która jest o tyle samo większa od , co mniejsza od 1,25. 4 Szukana liczba to średnia arytmetyczna liczb 1 +1,25 0,25 +1,25 4 1 = = 0,75 i 1,25. 2 2 4 Odpowiedz: Jest to liczba 0,75. Zadanie 5 Stop, z którego odlewa się posążki, składa się z miedzi, cyny i żelaza w stosunku 10 : 6 : 4 . Uzupełnij tabelę, wpisując właściwe ilości składników potrzebnych do odlania posążka o masie 350 g . Miedz Cyna Żelazo 4 Składniki stopu są w stosunku 10 : 6 : 4. 10 + 6 + 4 = 20 Masę stopu dzielimy więc na 20 równych 350 : 20 = 17,5 (g) części. Masa miedzi to 10 z tych części. 1017,5 = 175 (g) Masa cyny to 6 z tych części. 17,5 6 = 105 (g) Masa żelaza stanowi 4 z tych części. 17,5 4 = 70 (g) Odpowiedz: Miedz 175 g , cyna 105 g , żelazo 70 g . Zadania do samodzielnego rozwiązania 3 1. A. 2. B. 3. D. 4. I NIE, II TAK, III NIE, IV TAK. 5. . 4 5 2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Liczby n = 0 , a =1, m =-10 oraz i =-6 uporządkowano od najmniejszej do największej. Zaznacz tę kolejność. A. n , i , m , a B. a , m , i , n C. i , n , a , m D. m , i , n , a Zadanie 2 Liczba - 0,25 nie jest wynikiem działania: A. -1: (- 4) 5 1 D. - 0,5 : 2 B. 1- C. - 0,5 4 2 Zadanie 3 4 5 Aby otrzymać -1 , liczbę należy odjąć od: 5 6 19 19 29 29 A. - 2 B. 2 C. D. - 30 30 30 30 Zadanie 4 1 Suma dwóch liczb, z których pierwsza jest o 1 mniejsza od drugiej, jest równa - 3,5. 2 Oblicz iloczyn tych liczb. Zadanie 5 Pan Izydor hoduje kaczki, gęsi i kury. W sumie ma 312 ptaków. Najmniej ma kaczek, a najwięcej kur. Liczby kaczek, gęsi i kur to kolejne wielokrotności 13 . Ile kur ma pan Izydor? 6 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Które z poniższych działań daje najmniejszy wynik? 1 1 1 1 1 1 ć A. (- 2)(- 2)- B. - 2 - 2 C. ć- 2 + D. : - - 2
2 2 2 2 2 2 Ł ł Ł ł Zadanie 2 Ile z liczb: 6,5, -3,5 , 8,5 , -1, -5, 2 leży na osi liczbowej w odległości mniejszej niż 6 od 2 ? A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 Zadanie 3 Pomyślano o pewnej liczbie, pomnożono ją przez 10, a następnie wynik podzielono przez 5 . Do wyniku dodano 3 , sumę tę pomnożono przez -2 i otrzymano liczbę przeciwną do pomyślanej. Liczba, o której pomyślano, to: A. 2 B. - 2 C. 1 D. -1 Zadanie 4 4 Oblicz trzecią część wartości wyrażenia 0,1+ : -2 . ( ) 5 Zadanie 5 10 1- : 2 2 0,1 Znajdz liczbę, której 1 jest równe wartości wyrażenia . -2,4 : 0,8 + 2,8 : -0,7 ( ) 3 7 ODPOWIEDZI Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Liczby n = 0 , a =1, m =-10 oraz i =-6 uporządkowano od najmniejszej do największej. Zaznacz tę kolejność. A. n , i , m , a B. a , m , i , n C. i , n , a , m D. m , i , n , a Dowolna liczba dodatnia jest większa od -10 < -6 < 0 < 1 każdej liczby ujemnej. Zatem największa liczba to 1. Z dwóch liczb ujemnych ta jest mniejsza, która leży dalej od zera na osi liczbowej. Zatem najmniejsza liczba to -10. Odpowiedz: D. Zadanie 2 Liczba - 0,25 nie jest wynikiem działania: 5 1 A. -1: (- 4) B. 1- C. - 0,5 D. - 0,5 : 2 4 2 Wykonujemy każde z działań. 1 -1: (- 4) = = 0,25 ą -0,25 4 5 1 1- = - = -0,25 4 4 1 - 0,5 = -0,5 0,5 = -0,25 2 - 0,5 : 2 = -0,25 Odpowiedz: A. 8 Zadanie 3 4 5 Aby otrzymać -1 , liczbę należy odjąć od: 5 6 19 19 29 29 A. - 2 B. 2 C. D. - 30 30 30 30 5 4 5 9 5 54 25 29 Poszukiwana liczba jest o większa od -1 + = - + = - + = - 6 5 6 5 6 30 30 30 4 ć -1 .
5 Ł ł Odpowiedz: D. Zadanie 4 1 Suma dwóch liczb, z których pierwsza jest o 1 mniejsza od drugiej, jest równa - 3,5. 2 Oblicz iloczyn tych liczb. Obliczamy większą z tych liczb. 1 - 3,5 +1 - 3,5 +1,5 - 2 2 = = = -1 2 2 2 Obliczamy mniejszą z tych liczb. 1 1 -1-1 = -2 2 2 Obliczamy iloczyn tych liczb. 1 1 ć -1 - 2 = 2
2 2 Ł ł 1 Odpowiedz: Iloczyn tych liczb wynosi 2 . 2 Zadanie 5 Pan Izydor hoduje kaczki, gęsi i kury. W sumie ma 312 ptaków. Najmniej ma kaczek, a najwięcej kur. Liczby kaczek, gęsi i kur to kolejne wielokrotności 13 . Ile kur ma pan Izydor? Z treści zadania wynika, że gęsi jest o 13 więcej niż kaczek, a kur jest o 26 ( 213 = 26 ) więcej niż kaczek. Gdyby gęsi było o 13 mniej, a kur o 26 mniej, to gęsi i kur byłoby tyle, ile kaczek. 9 Jeśli od 312 odejmiemy sumę liczb 13 i 26 312 - (13 + 26) 312 - 39 273 = = = 91 3 3 3 oraz otrzymany wynik podzielimy przez 3 , dowiemy się, ile było kaczek. Obliczamy, ile kur ma pan Izydor. 91+ 26 = 117 Odpowiedz: pan Izydor ma 117 kur. Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. B. 2. C. 3. B. 4. -0,1. 5. 7 . 10 3. Potęgi Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Wiadomo, że 210 = 1024 . Która z podanych liczb jest największa? 2 2 A. 222 B. 222 C. 22 D. (222) Zadanie 2 Jeżeli 92 = 81, 992 = 9801, 9992 = 998001, 99992 = 99980001, to liczba 999992 jest równa: A. 9998800001 B. 9999880001 C. 9999800011 D. 9999800001 Zadanie 3 a Równość (113) :112 = 1110 jest prawdziwa, gdy liczba a jest równa: A. 6 B. 4 C. 9 D. 10 Zadanie 4 Zaznacz, która z nierówności jest prawdziwa, a która fałszywa. 15 15 I. 0,6 > 0,3 Ą% PRAWDA Ą% FAASZ ( ) ( ) 15 15 1 1 ć ć II. < Ą% PRAWDA Ą% FAASZ
2 3 Ł ł Ł ł 0 (- 0,25) 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Ile wynosi kwadrat liczby 9 ? A. 18 B. 36 C. 27 D. 81 Zadanie 2 Ile trójek należy dodać, żeby wynik dodawania był równy 34 ? A. 12 B. 27 C. 81 D. 9 Zadanie 3 3 Jeśli (1212) = 12m , to: A. 6 B. 4 C. 9 D. 10 Zadanie 4 Połącz słowny zapis liczb z ich zapisem liczbowym. A. sto milionów I. 10-2 B. jedna miliardowa II. 10-9 C. jedna setna III. 106 D. tysiąc tysięcy IV. 108 Zadanie 5 Wzorując się na podanych równościach, uzupełnij tabelę. Pierwsza liczba Druga liczba Równość 1 2 12 +1 = 22 - 2 2 3 22 + 2 = 32 - 3 3 4 32 + 3 = 42 - 4 4 5 42 + 4 = 52 - 5 5 6 7 n n +1 12 ODPOWIEDZI Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Wiadomo, że 210 = 1024 . Która z podanych liczb jest największa? 2 2 A. 222 B. 222 C. 22 D. (222) Szacujemy wartości potęg o podstawie 22 . 222 < 302 = 900 2 222 = 224 < 304 = 810000 ( ) 2 2 Obliczamy 22 . 22 = 24 = 16 Szacujemy wartość potęgi 222 . 222 = 22+20 = 22 220 = 4210+10 = 4210 210 4210 210 > 410001000 = 4000000 Wybieramy największą z otrzymanych liczb. 16 < 900 < 810000 < 4000000 Odpowiedz: B. Zadanie 2 Jeżeli 92 = 81, 992 = 9801, 9992 = 998001, 99992 = 99980001, to liczba 999992 jest równa: A. 9998800001 B. 9999880001 C. 9999800011 D. 9999800001 Należy zauważyć, jak w kolejnych potęgach zmieniają się cyfry. W każdej potędze cyfrą jedności jest 1. Liczba zer wzrasta o jeden, cyfra 8 pozostaje bez zmian, a liczba dziewiątek zwiększa się o jeden. Zatem w potędze liczby 999992 powinna 999992 = 9999800001 znalezć się jedna cyfra 1, cztery cyfry 0 , jedna cyfra 8 i cztery cyfry 9 . Odpowiedz: D. 13 Zadanie 3 a Równość (113) :112 = 1110 jest prawdziwa, gdy liczba a jest równa: A. m = 15 B. m = 9 C. m = 4 D. m = 36 a Potęgując potęgę, mnożymy wykładniki. L = 113 :112 = ( ) Dzieląc potęgi o tych samych podstawach, =113a :112 =113a-2 odejmujemy wykładniki. Aby lewa strona była równa prawej, 113a-2 =1110 wykładniki potęg muszą być równe. 3a - 2 =10 3a =12 a = 4 Odpowiedz: B. Zadanie 4 Zaznacz, która z nierówności jest prawdziwa, a która fałszywa. 15 15 I. 0,6 > 0,3 Ą% PRAWDA Ą% FAASZ ( ) ( ) 15 15 1 1 ć ć II. < Ą% PRAWDA Ą% FAASZ
6 3 Ł ł Ł ł 15 15 III. (6,0) < (3,0) Ą% PRAWDA Ą% FAASZ 12 12 IV. (6,3) > (3,6) Ą% PRAWDA Ą% FAASZ 15 15 Z dwóch potęg o jednakowych wykładnikach 0,6 > 0,3, stąd (0,6) > (0,3 ) ta jest większa, której podstawa jest większa. 15 15 1 1 ć ć 1 1 <
< , stąd 6 3 6 3 Ł ł Ł ł 15 15 6,0 > 3,0, stąd (6,0) > (3,0) 12 12 6,3 > 3,6 , stąd (6,3) > (3,6) Odpowiedz: I PRAWDA, II PRAWDA, III FAASZ, IV PRAWDA. 14 Zadanie 5 Oblicz. -2 1 1 2 ć1 ć : + 3-1
0 1 4 2 3 -0,25 Ł ł ( ) ją na ułamek niewłaściwy. Każda liczba podniesiona do potęgi 4 3 1 2 1 = + = + =1 9 2 3 3 3 pierwszej daje tę samą liczbę. Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej jest równa 1. Odpowiedz: 1. Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. D. 2. B. 3. D. 4. A IV, B II, C I, D III. 5. n2 + n = (n +1)2 - (n +1) . 15 4. Pierwiastki Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Cyfra jedności sumy 25 + 49 to: A. 5 B. 7 C. 4 D. 2 Zadanie 2 Która z liczb: 0,36 , 0,09 , 0,0064 , 0,000081 jest największa? D. 0,000081 A. 0,36 B. 0,09 C. 0,0064 Zadanie 3 Ile wynosi długość krawędzi sześcianu o objętości 27dm3 ? A. 9dm B. 6dm C. 3dm D. 18dm Zadanie 4 Oblicz pierwiastek kwadratowy z czwartej potęgi liczby cztery. Zadanie 5 3 3 16 + -128 Zapisz wyrażenie w najprostszej postaci. 3 3 2 + 2 16 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 1 Liczba 3 jest: 16 A. większa od 3 B. mniejsza od 3 C. równa 3 D. większa od 4 Zadanie 2 Liczba 16 to: A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 Zadanie 3 Po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka w liczbie 245 otrzymujemy: A. 7 5 B. 5 7 C. 3 5 D. 5 3 Zadanie 4 3 Odległość na osi liczbowej między liczbami 64 i - 64 jest równa: A. 4 B. - 8 C. - 12 D. 12 Zadanie 5 Zaznacz, które równości są prawdziwe, a które fałszywe. I. 3 4 = 3 4 Ą% PRAWDA Ą% FAASZ II. 3 + 4 = 3 + 4 Ą% PRAWDA Ą% FAASZ 3 3 III. = Ą% PRAWDA Ą% FAASZ 4 4 IV. 4 -3 = 4 - 3 Ą% PRAWDA Ą% FAASZ 17 ODPOWIEDZI Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Cyfra jedności sumy 25 + 49 to: A. 5 B. 7 C. 4 D. 2 Obliczamy pierwiastki i dodajemy je. 25 + 49 = 5 + 7 = 12 Cyfra jedności danej liczby to pierwsza cyfra Cyfra jedności 12 to 2 . z prawej strony. Odpowiedz: D. Zadanie 2 Która z liczb: 0,36 , 0,09 , 0,0064 , 0,000081 jest największa? D. 0,000081 A. 0,36 B. 0,09 C. 0,0064 Obliczamy pierwiastki. 0,36 = 0,6 0,09 = 0,3 0,0064 = 0,08 0,000081 = 0,009 Porównujemy otrzymane liczby. 0,6 > 0,3 > 0,08 > 0,009 Odpowiedz: A. Zadanie 3 Ile wynosi długość krawędzi sześcianu o objętości 27dm3 ? A. 9dm B. 6dm C. 3dm D. 18dm Objętość sześcianu o krawędzi a jest równa a3 = 27 3 a3 . a = 27 18 a = 3 a = 3dm Odpowiedz: C. Zadanie 4 Oblicz pierwiastek kwadratowy z czwartej potęgi liczby cztery. Obliczamy czwartą potęgę liczby cztery. 44 = 256 Obliczamy pierwiastek kwadratowy z 256 = 16 czwartej potęgi liczby cztery. Odpowiedz: 16. Zadanie 5 3 3 16 + -128 Zapisz wyrażenie w najprostszej postaci. 3 3 2 + 2 3 3 3 3 Wyłączamy czynniki przed znaki 16 = 8 2 = 8 2 = 23 2 pierwiastków. 3 3 3 3 -128 = (- 64) 2 = - 64 2 = -43 2 3 3 Dodajemy i dzielimy. 16 + -128 23 2 - 43 2 - 23 2 = = = -1 3 3 2 + 2 23 2 23 2 Odpowiedz: -1. Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. B. 2. C. 3. A. 4. D. 5. I PRAWDA, II FAASZ, III PRAWDA, IV FAASZ. 19 5. Procenty Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Stosunek masy srebra do masy złota w pewnym stopie jest równy 3: 2 . Ile procent srebra jest w tym stopie? A. 30% B. 10% C. 60% D. 50% Zadanie 2 Ile wynosi masa ciała Krystyny, jeśli po obiedzie zwiększyła się o 1% ? A. 1,10 początkowej masy ciała C. 11,0 początkowej masy ciała B. 1,01 początkowej masy ciała D. 0,10 początkowej masy ciała Zadanie 3 Janek ma 180 cm wzrostu i jest o 20% wyższy od Janki. Dziewczyna: A. jest prawie o 10 cm niższa od Janka C. jest o 30 cm niższa od Janka B. ma 160 cm wzrostu D. ma niecałe 150 cm wzrostu Zadanie 4 Rano na pałacowym dziedzińcu zjawili się muszkieterzy. Do królewskich komnat udało się 10% z nich, a 50% pozostałych wsiadło na konie i odjechało. Na dziedzińcu pozostało tylko dziewięciu muszkieterów. Ilu muszkieterów zjawiło się rano na dziedzińcu? Zadanie 5 Pewien naukowiec uzyskał 40 tys. zł rocznego dochodu ze sprzedaży wynalezionego przez siebie wehikułu czasu. Niestety, od połowy tej kwoty musiał zapłacić podatek o wartości 19% . Oblicz dochód naukowca po odliczeniu podatku. 20 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 3 Witek zjadł całego arbuza. Ile procent arbuza pozostało mu jeszcze do zjedzenia? 20 A. 17% B. 80% C. 75% D. 85% Zadanie 2 Pizzę podzielono na dwie części w stosunku 3 :1. Ile procent całej pizzy stanowi jej większa część? A. 3% B. 30% C. 75% D. 40% Zadanie 3 Basia na początku roku szkolnego miała 150 cm wzrostu, a na końcu 160 cm . O ile procent urosła w ciągu tego roku? A. więcej niż 60% B. więcej niż 6% C. mniej niż 6% D. mniej niż 1% Zadanie 4 Na choince wisi 30 bombek: białe i czerwone. Liczba czerwonych bombek stanowi 20% liczby białych bombek. Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe. I. Czerwonych bombek jest o 20 mniej niż białych. Ą% PRAWDA Ą% FAASZ II. Białych bombek jest pięć razy więcej niż czerwonych. Ą% PRAWDA Ą% FAASZ III. Jest sześć bombek czerwonych i 14 białych. Ą% PRAWDA Ą% FAASZ IV. Białych bombek jest nie więcej niż 15. Ą% PRAWDA Ą% FAASZ Zadanie 5 Do 35 g wody dolano 5g czystego kwasu octowego. Oblicz stężenie procentowe tak otrzymanego roztworu. 21 ODPOWIEDZI Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Stosunek masy srebra do masy złota w pewnym stopie jest równy 3: 2 . Ile procent srebra jest w tym stopie? A. 30% B. 10% C. 60% D. 50% Jeśli masę stopu podzielimy na pięć ( 3+ 2 ) 3 60 = = 60% 5 100 równych części, to trzy z tych części stanowi srebro. Odpowiedz: C. Zadanie 2 Ile wynosi masa ciała Krystyny, jeśli po obiedzie zwiększyła się o 1% ? A. 1,10 początkowej masy ciała C. 11,0 początkowej masy ciała B. 1,01 początkowej masy ciała D. 0,10 początkowej masy ciała Masa ciała Krystyny jest równa 101% 101 101% = = 1,01 100 (100% +1% =101%) początkowej masy. Odpowiedz: B. Zadanie 3 Janek ma 180 cm wzrostu i jest o 20% wyższy od Janki. Dziewczyna: A. jest prawie o 10 cm niższa od Janka C. jest o 30 cm niższa od Janka B. ma 160 cm wzrostu D. ma niecałe 150 cm wzrostu Wzrost Janka stanowi 120% wzrostu Janki. 180 180 = = 150 (cm) 120% 1,2 Obliczamy wzrost Janki. Odpowiedz: C. 22 Zadanie 4 Rano na pałacowym dziedzińcu zjawili się muszkieterzy. Do królewskich komnat udało się 10% z nich, a 50% pozostałych wsiadło na konie i odjechało. Na dziedzińcu pozostało tylko dziewięciu muszkieterów. Ilu muszkieterów zjawiło się rano na dziedzińcu? Obliczamy, jaki procent 9050 45 100% -10% 50% = 90%50% = = = 45% ( ) 100100 100 muszkieterów pozostał na dziedzińcu. Dziewięciu muszkieterów to 45% (czyli 0,45) wszystkich muszkieterów. Obliczamy, ilu muszkieterów 9 = 20 0,45 zjawiło się rano na placu. Odpowiedz: Na placu zjawiło się 20 muszkieterów. Zadanie 5 Pewien naukowiec uzyskał 40 tys. zł rocznego dochodu ze sprzedaży wynalezionego przez siebie wehikułu czasu. Niestety, od połowy tej kwoty musiał zapłacić podatek o wartości 19% . Oblicz dochód naukowca po odliczeniu podatku. Obliczamy, ile złotych podatku zapłacił 40000 19 ć 19% = 20000 = 3800 (zł)
2 100 Ł ł naukowiec. Obliczamy dochód po odliczeniu podatku. 40000 - 3800 = 36200 (zł) Odpowiedz: Po odliczeniu podatku dochód naukowca wynosi 36200 zł. Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. D. 2. C. 3. B. 4. I PRAWDA, II PRAWDA, III FAASZ, IV FAASZ. 5. 12,5% . 23 6. Wyrażenia algebraiczne Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Julia kupiła 5 kg gruszek po x zł za kilogram i 2 kg jabłek po y zł za kilogram. Podała kasjerce banknot stuzłotowy. Ile reszty otrzymała? A. 100 -5x + 2y D. 100 + 5x - 2y B. 100 - 2 2,5x + y C. 100 - 2 2,5x - y ( ) ( ) Zadanie 2 Pole trójkąta o bokach a , b i c wyraża się wzorem P = p p - a p -b p - c , gdzie ( )( )( ) a + b + c p = . Pole trójkąta o bokach 6 , 10 i 8 jest równe: 2 A. 48 B. 24 D. 120 C. 12 2 Zadanie 3 Jeśli spośród trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych największa jest liczba n , to najmniejsza z tych liczb wynosi: A. n - 2 B. n - 4 C. n + 2 D. n + 4 Zadanie 4 Ciastka w cenie x zł za kilogram zmieszano z ciastkami o 5 zł droższymi w stosunku 3 : 2 , 3x + 2(x + 5) otrzymując kilogram mieszanki. Określ, co opisuje wyrażenie . 5 Zadanie 5 Czy działania wykonano poprawnie? I. (5 - x)- (x - 2) = 5 - x - x - 2 = 3 - 2x Ą% TAK Ą% NIE II. - 3(a - b)+ 3a = -3a + b + 3a = b Ą% TAK Ą% NIE 2 2 III. x +1 = x +1 x +1 = x +x + x +1= x2 + 2x +1 Ą% TAK Ą% NIE ( ) ( )( ) IV. 2(x +1) - 2(x -1) = 2x + 2 - 2x + 2 = 4 Ą% TAK Ą% NIE 24 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 m Jeżeli p = , to: V m p B. V = A. V = mp C. V = D. V = p - m p m Zadanie 2 Po wykonaniu redukcji wyrazów podobnych wyrażenie 5x - 2y + 3x - 8x + y ma postać: A. - y B. - 8x + 3y C. 0 D. x - y Zadanie 3 Ile wynosi średnia arytmetyczna trzech liczb, z których pierwsza to m , a każda następna jest dwukrotnie większa od poprzedniej? 5m 3m + 4 7m B. C. D. A. m + 2 3 3 3 Zadanie 4 Wyrażenie, które dla x = 2 ma wartość 2 , to: x3 I. x 2 - 2 Ą% TAK Ą% NIE III. Ą% TAK Ą% NIE 2 x II. x2 2 Ą% TAK Ą% NIE IV. Ą% TAK Ą% NIE 2 Zadanie 5 Samochód i rowerzysta wyruszyli jednocześnie z tego samego miejsca. Rowerzysta jechał z km prędkością x , a samochód cztery razy szybciej. Po dwóch godzinach jazdy samochód h km km zwiększył prędkość o 10 , a rowerzysta zmniejszył o 1 . Uzupełnij zdania, wpisując h h odpowiednie wyrażenia algebraiczne. Samochód w ciągu pierwszych dwóch godzin przejechał drogę długości & & km . Rowerzysta przejechał drogę długości (4x - 2) km w ciągu & & godzin. Po trzech godzinach jazdy samochód znajdował się w odległości & & km od rowerzysty. 25 ODPOWIEDZI Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Julia kupiła 5 kg gruszek po x zł za kilogram i 2 kg jabłek po y zł za kilogram. Podała kasjerce banknot stuzłotowy. Ile reszty otrzymała? A. 100 -5x + 2y D. 100 + 5x - 2y B. 100 - 2 2,5x + y C. 100 - 2 2,5x - y ( ) ( ) Obliczamy, ile kosztowały gruszki i jabłka. 5x + 2y Obliczamy, ile reszty otrzymała Julia. 100 - 5x + 2y =100 - 2 2,5x + y ( ) ( ) Odpowiedz: B. Zadanie 2 Pole trójkąta o bokach a , b i c wyraża się wzorem P = p p - a p -b p - c , gdzie ( )( )( ) a + b + c p = . Pole trójkąta o bokach 6 , 10 i 8 jest równe: 2 A. 48 B. 24 D. 120 C. 12 2 Obliczamy połowę obwodu trójkąta. a + b + c 6 +10 + 8 p = = =12 22 Obliczamy pole, korzystając z podanego P = 12 12 - 6 12 -10 2 -8 ( )( )( ) wzoru. P = 12624 = 1444 =122 = 24 Odpowiedz: B. Zadanie 3 Jeśli spośród trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych największa jest liczba n , to najmniejsza z tych liczb wynosi: A. n - 2 B. n - 4 C. n + 2 D. n + 4 Kolejne liczby parzyste różnią się o 2 . n największa liczba 26 n - 2 środkowa liczba n - 2 - 2 = n - 4 najmniejsza liczba Odpowiedz: B. Zadanie 4 Ciastka w cenie x zł za kilogram zmieszano z ciastkami o 5 zł droższymi w stosunku 3 : 2 , 3x + 2(x + 5) otrzymując kilogram mieszanki. Określ, co opisuje wyrażenie . 5 Ciastka zmieszano w stosunku 3 : 2 , co oznacza, że trzy z pięciu części stanowią tańsze 3 ciastka, a dwie z pięciu części droższe ( x + 5 zł za kilogram). Tańsze ciastka ważą kg , a 5 2 droższe kg . 5 3 2 3x + 2 x + 5 3 2 ( ) Wyrażenie x + x + 2 opisuje cenę 1 kg ( ) x + x + 5 = ( ) 5 5 5 5 5 mieszanki. Odpowiedz: Podane wyrażenie opisuje cenę kilograma mieszanki. Zadanie 5 Czy działania wykonano poprawnie? I. (5 - x)- (x - 2) = 5 - x - x - 2 = 3 - 2x Ą% TAK Ą% NIE II. - 3(a - b)+ 3a = -3a + b + 3a = b Ą% TAK Ą% NIE 2 2 III. x +1 = x +1 x +1 = x +x + x +1= x2 + 2x +1 Ą% TAK Ą% NIE ( ) ( )( ) IV. 2(x +1) - 2(x -1) = 2x + 2 - 2x + 2 = 4 Ą% TAK Ą% NIE Odejmując sumę, zmieniamy w nawiasie (5 - x)- (x - 2) = 5 - x - x + 2 = 7 - 2x znaki na przeciwne. Mnożąc sumę przez liczbę, mnożymy każdy - 3(a - b)+ 3a = -3a + 3b + 3a = 3b jej składnik przez tę liczbę. Odpowiedz: I NIE, II NIE, III TAK, IV TAK. 27 Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. B. 2. A. 3. D. 4. I NIE, II NIE, III TAK, IV NIE. 5. 8x , 4 , 9x +11. 28 7. Równania Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Liczba -1 jest rozwiązaniem równania: A. a +1= a B. 2a +1= a D. -1- a = 2a C. 3 a -1 = 0 ( ) Zadanie 2 Obie strony równania 2y - 4 = 6y podzielono przez 2 , a następnie do obu stron dodano 6 . Które równanie otrzymano? A. y + 4 = 3y + 6 B. y + 2 = 3y + 6 C. y + 2 = y + 6 D. y +1= 3y + 2 Zadanie 3 Kisząc ogórki, do słoja zawierającego 0,75 kg tych warzyw dodaje się jedną łyżeczkę soli. Ile łyżeczek soli trzeba dodać do beczki zawierającej 12 kg ogórków? A. 14 B. 16 C. 9 D. 12 Zadanie 4 Długość pokoju Majki na planie wykonanym w skali 1: 200 jest o 1,5cm większa niż na planie wykonanym w skali 1:500 . Oblicz długość pokoju Majki, układając i rozwiązując odpowiednie równanie. Zadanie 5 Pani Krystyna ma dwa razy więcej szali niż kapeluszy. Każdy szal i kapelusz ma inny kolor. Pani Krystyna może założyć szal i kapelusz na osiem sposobów. Oblicz, ile kapeluszy i ile szali ma pani Krystyna. 29 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Wskaż równanie, które ma tylko jedno rozwiązanie. 1 11
A. 3x -1 = 3ć x - C. 3ć x -1 = 2ć x -1
3 32 Ł ł Ł ł Ł ł 1 1 1 1 11
x - x - D. 3ć x -1 = 2ć x - 3 3 2 2 B. = 32 Ł ł Ł ł 23 Zadanie 2 Dwa ptysie kosztują tyle samo co trzy napoleonki. Jeżeli za trzy ptysie i dwie napoleonki zapłacono 13 zł, to: A. napoleonka jest o złotówkę droższa od ptysia B. napoleonka jest złotówkę tańsza od ptysia 3 C. cena napoleonki stanowi ceny ptysia 2 D. napoleonka jest dwukrotnie tańsza od ptysia Zadanie 3 Które równania stanowią parę równań równoważnych? A. x + 5 = x i x -5 = 5 C. 2x = 4 i 4 = x D. x - 2 = 4 i x - 4 = 2 B. x =1 i x2 =1 Zadanie 4 Lucjan i Emil wyruszyli rowerami jednocześnie z tego samego miejsca, ale w przeciwnych km kierunkach. Lucjan jechał z prędkością o 6 większą niż Emil. Emil jechał z prędkością h km 12 . Po jakim czasie odległość między nimi będzie równa 75 km ? h Zadanie 5 Na wierzbie rosło 40 owoców x gruszek i y jabłek. Zawiał wiatr i spadło osiem gruszek oraz połowa jabłek. Ela potrząsnęła drzewem i spadła połowa pozostałych gruszek oraz połowa pozostałych jabłek razem dziewięć owoców. Zapisz podane informacje w postaci układu równań. 30 ODPOWIEDZI Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Liczba -1 jest rozwiązaniem równania: A. a +1= a B. 2a +1= a D. -1- a = 2a C. 3 a -1 = 0 ( ) Aby sprawdzić, czy liczba jest rozwiązaniem a +1= a równania, należy wstawić liczbę do równania -1+1ą -1, L ą P w miejsce niewiadomej i określić, czy lewa 2a +1= a strona równania jest równa prawej. Do 2 -1 +1= -1, L = P ( ) każdego z równań wstawiamy a = -1. 3 a -1 = 0 ( ) 3 -1-1 ą 0 , L ą P ( ) -1- a = 2a -1- -1 ą 2 -1 , L ą P ( ) ( ) Odpowiedz: B. Zadanie 2 Obie strony równania 2y - 4 = 6y podzielono przez 2 , a następnie do obu stron dodano 6 . Które równanie otrzymano? A. y + 4 = 3y + 6 B. y + 2 = 3y + 6 C. y + 2 = y + 6 D. y +1= 3y + 2 Dzieląc obie strony równania przez 2 , 2y - 4 = 6y dzielimy każdy wyraz równania przez 2 . 2y 4 6y - = 2 2 2 y - 2 = 3y Do obu stron równania dodajemy 6 . y - 2 + 6 = 3y + 6 Redukujemy wyrazy podobne. y + 4 = 3y + 6 Odpowiedz: A. 31 Zadanie 3 Kisząc ogórki, do słoja zawierającego 0,75 kg tych warzyw dodaje się jedną łyżeczkę soli. Ile łyżeczek soli trzeba dodać do beczki zawierającej 12 kg ogórków? A. 14 B. 16 C. 9 D. 12 Oznaczmy przez x szukaną liczbę łyżeczek liczba łyżeczek masa ogórków soli. Zapisujemy treść zadania w postaci 1 0,75 proporcji. x 12 1 0,75 = x 12 Przekształcamy równanie, mnożąc na 0,75x =112 krzyż , i rozwiązujemy je. 12 x = =16 0,75 Odpowiedz: B. Zadanie 4 Długość pokoju Majki na planie wykonanym w skali 1: 200 jest o 1,5cm większa niż na planie wykonanym w skali 1:500 . Oblicz długość pokoju Majki, układając i rozwiązując odpowiednie równanie. Oznaczmy przez x długość pokoju Majki na 200xcm długość pokoju Majki obliczona planie wykonanym w skali 1: 200. Skala ze skali 1:200 1: 200 oznacza, że 1cm na planie 500(x -1,5)cm długość pokoju Majki odpowiada 200cm w rzeczywistości. Skala obliczona ze skali 1:500 1:500 oznacza, że 1cm na planie odpowiada 500cm w rzeczywistości. Układamy i rozwiązujemy równanie. 500(x -1,5) = 200x 500x -750 = 200x 500x - 200x = 750 300x = 750 x = 2,5 32 Obliczamy rzeczywistą długość pokoju. 2002,5 = 500 cm ( ) 500cm = 5m Odpowiedz: Długość pokoju Majki jest równa 5m . Zadanie 5 Pani Krystyna ma dwa razy więcej szali niż kapeluszy. Każdy szal i kapelusz ma inny kolor. Pani Krystyna może założyć szal i kapelusz na osiem sposobów. Oblicz, ile kapeluszy i ile szali ma pani Krystyna. Oznaczmy przez x liczbę kapeluszy. Wtedy x2x = 8 2x opisuje liczbę szali. Kapelusze i szale 2x2 = 8 :2 można założyć na x 2x sposobów (czyli na x2 = 4 osiem sposobów). Szukamy liczby naturalnej, która x = 2 podniesiona do kwadratu jest równa 4 . 2x = 22 = 4 Odpowiedz: pani Krystyna ma dwa kapelusze i cztery szale. Zadania do samodzielnego rozwiązania x + y = 40
1. D. 2. B. 3. D. 4. 2,5 godziny. 5. . x - 8 y + = 9
2 4 33 8. Wykresy funkcji Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Jakim wzorem możemy zapisać zależność między podanymi w tabeli wielkościami x i y ? A. y = -2x C. y = 2x x 0 -2 1 2 y B. y = 2 - x D. y = x + 2 0 3 2 4 Zadanie 2 Jeżeli funkcja jest określona za pomocą poniższej tabeli, to jaką wartość musi przyjąć a , aby punkt a, - 4 należał do wykresu tej funkcji? ( ) x -0,4 A. a = 1 C. a = -4 2 -1 4 y -10 B. a = -1 D. a = 0,4 2 -4 1 Zadanie 3 Wykres funkcji y = x - 5: A. przecina oś OX w punkcie 0, 5 ( ) B. przecina oś OY w punkcie -5, 0 ( ) C. przecina osie układu współrzędnych w dwóch punktach D. nie przecina osi układu współrzędnych Zadanie 4 Współrzędne x i y punktu P = -2,6 spełniają warunek: ( ) I. y > x Ą% TAK Ą% NIE III. 3x = -y Ą% TAK Ą% NIE II. x + y > 0 Ą% TAK Ą% NIE IV. y - 3x = 0 Ą% TAK Ą% NIE Zadanie 5 1 1 x ć Do wykresu funkcji danej wzorem y = - 2 , ( m ą 0) należy punkt P = , - . Znajdz
m 2 2 Ł ł liczbę m . 34 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Wiadomo, że M = 4, 4 , I = -1, 3 , R = 2,2 , K = -3, -1 i A = 6, 1 . Ile punktów ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) wspólnych z osiami układu współrzędnych ma wielokąt MIRKA? A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 Zadanie 2 Funkcja jest określona następująco: każdej liczbie x wyrażającej obwód koła 22 przyporządkowujemy liczbę r równą promieniowi tego koła. Jeśli przyjmiemy Ą = , to 7 jaki będzie wzór tej funkcji? 44 7 7 44 A. r(x) = x B. r(x) = x C. r(x) = D. r(x) = 7 44 44x 7x Zadanie 3 Pęd bambusa miał wysokość 4 cm . W ciągu tygodnia jego wysokość zwiększała się o 5 cm dziennie. Zależność wysokości bambusa y od liczby dni (x) można opisać wzorem: ( ) A. y = 4x + 5 B. y = 4 + 5x C. y = 5x - 4 D. y = 4x - 5 Zadanie 4 Zaznacz w układzie współrzędnych trzy punkty, których współrzędne x i y spełniają warunek y - x = 3. Zadanie 5 Przekątne równoległoboku IZKA leżą na osiach układu współrzędnych i przecinają się w połowie długości w punkcie 0, 0 . Przekątna IK ma długość 12, a bok IZ ma długość 10 . ( ) Narysuj ten wielokąt i oblicz jego pole. 35 ODPOWIEDZI Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Jakim wzorem możemy zapisać zależność między podanymi w tabeli wielkościami x i y ? A. y = -2x C. y = 2x x 0 -2 1 2 y B. y = 2 - x D. y = x + 2 0 3 2 4 Zauważmy, że y - x = 2 . y = x + 2 Odpowiedz: D. Zadanie 2 Jeżeli funkcja jest określona za pomocą poniższej tabeli, to jaką wartość musi przyjąć a , aby punkt a, - 4 należał do wykresu tej funkcji? ( ) x -0,4 A. a = 1 C. a = -4 2 -1 4 y -10 B. a = -1 D. a = 0,4 2 -4 1 Zauważmy, że dla każdej zapisanej w tabeli 4 y = ( x ą 0) wzór opisujący funkcję x pary liczb x i y zachodzi związek xy = 4 . Wstawiamy do wzoru funkcji y = -4 . 4 -4 = x -4x = 4 x = -1 a = -1 Odpowiedz: B. 36 Zadanie 3 Wykres funkcji y = x - 5: A. przecina oś OX w punkcie 0, 5 ( ) B. przecina oś OY w punkcie -5, 0 ( ) C. przecina osie układu współrzędnych w dwóch punktach D. nie przecina osi układu współrzędnych Wykres funkcji przecina oś OX w punkcie, 0 = x -5 którego druga współrzędna jest równa zero. x = 5 5, 0 współrzędne punktu przecięcia ( ) wykresu funkcji z osią OX Wykres funkcji przecina oś OY w punkcie, y = 0 - 5 = -5 którego pierwsza współrzędna jest równa 0,- 5 współrzędne punktu przecięcia ( ) zero. wykresu funkcji z osią OY Odpowiedz: C. Zadanie 4 Współrzędne x i y punktu P = -2,6 spełniają warunek: ( ) I. y > x Ą% TAK Ą% NIE III. 3x = -y Ą% TAK Ą% NIE II. x + y > 0 Ą% TAK Ą% NIE IV. y - 3x = 0 Ą% TAK Ą% NIE 6 > -2 , więc y > x P = -2,6 , więc x =-2, y = 6 ( ) x + y = -2 + 6 = 4 > 0 3x = 3 (-2) = -6 = -y y - 3 x = 6 - 3(- 2) = 6 + 6 = 12 ą 0 Odpowiedz: I TAK, II TAK, III TAK, IV NIE. 37 Zadanie 5 1 1 x ć Do wykresu funkcji danej wzorem y = - 2 , ( m ą 0) należy punkt P = , - . Znajdz
m 2 2 Ł ł liczbę m . Punkt P należy do wykresu funkcji, zatem 1 1 2 - = + 2 podstawiając współrzędne tego punktu do 2 m wzoru funkcji, otrzymamy równość. 1 1 - = + 2 2m 2 2m 2m 2m - = + 4m 2 2m -m = 4m +1 -5m =1 1 m =- 5 1 Odpowiedz: m = - . 5 Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. D. 2. B. 3. B. 4. np. 1, 4 , -2,1 , 0, 3 . 5. 96 . ( ) ( ) ( ) 38 9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa Zadania rozwiązane krok po kroku Informacje do zadań 1 3 Zapytano kilka osób, ile godzin dziennie oglądają telewizję. Wyniki zapisano w tabeli. Liczba godzin 0 3 1 2 4 Liczba osób 5 3 7 1 4 Zadanie 1 Mediana zebranych danych jest równa: A. 4 B. 2 C. 2,5 D. 3,5 Zadanie 2 Średnia liczba godzin, którą zapytane osoby spędzają przed telewizorem, jest równa: A. 3,55 B. 3,5 C. 2,5 D. 2,55 Zadanie 3 Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana spośród ankietowanych osoba ogląda telewizję przynajmniej dwie godziny dziennie, jest równe: A. 0,75 B. 0,25 C. 0,5 D. 0,15 Zadanie 4 W bombonierce jest 50 czekoladek, w tym 15 miętowych. Wyjmujemy jedną czekoladkę. Oblicz prawdopodobieństwo: a) wyciągnięcia innej czekoladki niż miętowa, b) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy trzy osoby już wyjęły czekoladki z bombonierki, ale żadna nie była miętowa, c) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy pięć osób już wyjęło czekoladki z bombonierki i dwie z nich były miętowe. 39 Zadanie 5 Patryk zdaje ustny egzamin z języka starogreckiego. Na stole leży 20 zestawów z pytaniami, w tym cztery zestawy zawierają pytania, na które chłopiec zna odpowiedzi, a sześć zestawów można wymienić na inne ( zestawy szczęścia ). Przed Patrykiem zdawała jedna osoba i wyciągnęła zestaw z pytaniami, na które Patryk nie znał odpowiedzi. Czy podane zdania są prawdziwe, czy fałszywe? Zaznacz właściwą odpowiedz. A. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu Ą% PRAWDA Ą% FAASZ z pytaniami, na które zna odpowiedzi, wzrosło. B. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu Ą% PRAWDA Ą% FAASZ z pytaniami, na które nie zna odpowiedzi, zmalało. C. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu Ą% PRAWDA Ą% FAASZ szczęścia nie zmieniło się. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Przed domem rosną dwie brzozy, jedna lipa, trzy świerki i cztery sosny. Prawdopodobieństwo tego, że wróbel nie usiądzie na drzewie liściastym, jest równe: A. 0,4 B. 0,7 C. 0,9 D. 0,5 Zadanie 2 W szkatułce jest dziewięć czarnych pereł i siedem białych. Królewski skarbnik wyciąga jedną perłę. O ile większe jest prawdopodobieństwo, że wyciągnie czarną perłę, od prawdopodobieństwa wyciągnięcia białej? A. 0,125 B. 0,5625 C. 0,4375 D. 0, 2 40 Zadanie 3 Uzupełnij tabelę, w której przedstawiono przybliżone dane na temat niektórych polskich województw. Województwo Ludność Gęstość zaludnienia Powierzchnia ( km2 ) os. ć
km2 Ł ł Dolnośląskie 2880000 144 Opolskie 9500 1045000 Podlaskie 20200 60 Lubuskie 980000 70 a) W którym z województw jest największa gęstość zaludnienia? b) Które z województw ma najmniejszą powierzchnię? Zadanie 4 Mama poprosiła synów o wyrzucenie śmieci. Bartek zaproponował Adamowi, że rzuci dwiema monetami lub kostkami. Jeżeli na obu monetach lub kostkach wypadnie to samo wyrzuci je sam, a jeśli nie zrobi to Adam. Którą możliwość powinien wybrać Adam? Zadanie 5 Bierzesz udział w losowaniu wycieczki na Księżyc. Wśród 50 przygotowanych losów jest sześć biletów. Oblicz, jaką masz szansę wygranej, jeśli: a) przed tobą losowały dwie osoby i żadna nie wygrała, b) przed tobą losowało dziesięć osób i trzy z nich wygrały, c) przed tobą losowało 30 osób i cztery wygrały. 41 ODPOWIEDZI Zadania rozwiązane krok po kroku Informacje do zadań 1 3 Zapytano kilka osób, ile godzin dziennie oglądają telewizję. Wyniki zapisano w tabeli. Liczba godzin 0 3 1 2 4 Liczba osób 5 3 7 1 4 Zadanie 1 Mediana zebranych danych jest równa: A. 4 B. 2 C. 2,5 D. 3,5 Wypisujemy dane. Ich liczba jest parzysta 0 , 1, 1, 1, 1, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , ( 20 ), więc obliczamy średnią arytmetyczną , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 4 dwóch środkowych liczb. 2 + 3 = 2,5 2 Odpowiedz: C. Zadanie 2 Średnia liczba godzin, którą zapytane osoby spędzają przed telewizorem, jest równa: A. 3,55 B. 3,5 C. 2,5 D. 2,55 Obliczamy, ile osób odpowiedziało na 1+ 4 + 5+ 3+ 7 = 20 pytanie. Obliczamy średnią liczbę godzin. 01+ 41+ 5 2 + 33+ 47 = 2,55 20 Odpowiedz: D. 42 Zadanie 3 Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana spośród ankietowanych osoba ogląda telewizję przynajmniej dwie godziny dziennie, jest równe: A. 0,75 B. 0,25 C. 0,5 D. 0,15 Obliczamy prawdopodobieństwo, że osoba 5 + 3+ 7 15 = = 0,75 20 20 wybrana spośród 20 ankietowanych ogląda telewizję przynajmniej dwie godziny dziennie (czyli dwie, trzy lub cztery godziny). Odpowiedz: A. Zadanie 4 W bombonierce jest 50 czekoladek, w tym 15 miętowych. Wyjmujemy jedną czekoladkę. Oblicz prawdopodobieństwo: a) wyciągnięcia innej czekoladki niż miętowa, b) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy trzy osoby już wyjęły czekoladki z bombonierki, ale żadna nie była miętowa, c) wyciągnięcia miętowej czekoladki, gdy pięć osób już wyjęło czekoladki z bombonierki i dwie z nich były miętowe. W bombonierce jest 35 ( 50 -15 = 35) innych 35 7 = 50 10 czekoladek niż miętowe. Obliczamy prawdopodobieństwo wyciągnięcia takiej czekoladki. Trzy osoby wyciągnęły czekoladki, więc w 15 47 bombonierce zostało 47 ( 50 - 3 = 47 ) czekoladek, wśród których 15 jest miętowych. Obliczamy prawdopodobieństwo wyciągnięcia miętowej czekoladki. Pięć osób wyciągnęło czekoladki, więc w 13 45 bombonierce zostało 45 ( 50 - 5 = 45 ) czekoladek, wśród których 13 (15 - 2 =13) 43 jest miętowych. Obliczamy prawdopodobieństwo wyciągnięcia miętowej czekoladki. 7 15 13 Odpowiedz: a) ; b) ; c) . 10 47 45 Zadanie 5 Patryk zdaje ustny egzamin z języka starogreckiego. Na stole leży 20 zestawów z pytaniami, w tym cztery zestawy zawierają pytania, na które chłopiec zna odpowiedzi, a sześć zestawów można wymienić na inne ( zestawy szczęścia ). Przed Patrykiem zdawała jedna osoba i wyciągnęła zestaw z pytaniami, na które Patryk nie znał odpowiedzi. Czy podane zdania są prawdziwe, czy fałszywe? Zaznacz właściwą odpowiedz. A. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu Ą% PRAWDA Ą% FAASZ z pytaniami, na które zna odpowiedzi, wzrosło. B. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu Ą% PRAWDA Ą% FAASZ z pytaniami, na które nie zna odpowiedzi, zmalało. C. Prawdopodobieństwo wylosowania przez Patryka zestawu Ą% PRAWDA Ą% FAASZ szczęścia nie zmieniło się. Po wylosowaniu pierwszego zestawu 4 = 0,2 prawdopodobieństwo 20 pozostało ich 19, w tym cztery z pytaniami, wylosowania przez Patryka zestawu z na które Patryk zna odpowiedzi. pytaniami, na które zna odpowiedzi, gdyby losował pierwszy 4 prawdopodobieństwo wylosowania 19 przez Patryka zestawu z pytaniami, na które zna odpowiedzi, gdy losuje drugi 4 4 < 20 19 Po wylosowaniu pierwszego zestawu 10 = 0,5 prawdopodobieństwo 20 pozostało ich 19, w tym dziewięć, na które wylosowania przez Patryka zestawu z Patryk nie zna odpowiedzi. 44 pytaniami, na które nie zna odpowiedzi, gdyby losował pierwszy 9 = 0,473... 0,47 19 9 10 < 19 20 Zestawów szczęścia jest osiem. 8 prawdopodobieństwo wylosowania 20 przez Patryka zestawu szczęścia gdyby losował pierwszy 8 prawdopodobieństwo wylosowania 19 przez Patryka zestawu szczęścia , gdy losuje drugi 8 8 < 20 19 Odpowiedzi: I PRAWDA; II PRAWDA; III FAASZ. Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. B. 2. A. 3. 20000 , 110, 1212000, 14000 ; a) dolnośląskie; b) opolskie. 4. monetami 1 1 szansa wyrzucenia tego samego jest równa (w przypadku rzutu kostkami wynosi ona ). 2 6 5. a) 0,125; b) 0,075; c) 0,1. 45 10. Figury płaskie Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Miary kątów trójkąta pozostają w stosunku 3: 4: 2 . Miara kąta między dwusiecznymi kątów leżących przy najdłuższym boku tego trójkąta jest równa: A. 120 B. 130 C. 80 D. 90 Zadanie 2 Wokół okrągłego placu stoi kolejno pięć pomników: P1, P2 , P3, P4 , P5. Odległości między sąsiadującymi pomnikami są jednakowe. Na środku placu znajduje się fontanna F . Miara kąta między ścieżkami biegnącymi od dwóch z tych pomników do fontanny jest równa 216. Ścieżki te biegną od pomników: I. P1 i P3 Ą% TAK Ą% NIE II. P2 i P4 Ą% TAK Ą% NIE III. P1 i P4 Ą% TAK Ą% NIE IV. P3 i P5 Ą% TAK Ą% NIE Zadanie 3 W pewnym miasteczku wszystkie ulice są proste. Biorąc pod uwagę podaną liczbę ulic, oblicz, ile maksymalnie skrzyżowań może być w tym miasteczku, a następnie uzupełnij tabelę. Liczba ulic Liczba skrzyżowań 1 2 3 4 10 10 45 n 46 Zadanie 4 Długość łuku wycinka kołowego o kącie środkowym 30 jest równa Ą . Oblicz pole koła, z którego wycięto ten wycinek. Zadanie 5 Działka pana Jędrzeja ma kształt równoległoboku, w którym stosunek sąsiednich boków jest równy 1: 2 . Stosunek miar kątów tego równoległoboku leżących przy jednym boku jest równy 1: 2 . Ścieżka przecinająca działkę, leżąca na dwusiecznej większego kąta, ma długość 40m . Ile metrów siatki potrzeba do ogrodzenia tej działki? Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Walec o średnicy 60cm i długości 1m wykonał 35 obrotów. Oblicz pole prostokątnego 22 śladu, który zostawił, przetaczając się po zagrabionej ziemi. Przyjmij Ą = . 7 Zadanie 2 Bartek i Diana mają ogródki w kształcie wielokątów podobnych w skali 1: 3 . Bartek na obsianie swojego ogródka zużył dwie paczki nasion pietruszki. Diana na obsadzenie granic swojego ogródka potrzebowała 150 wierzb. Wynika z tego, że: I. Diana na obsianie swojej działki zużyje sześć paczek Ą% PRAWDA Ą% FAASZ nasion pietruszki. II. Bartek na obsadzenie granic swojego ogródka będzie Ą% PRAWDA Ą% FAASZ potrzebował 50 wierzb. III. Diana na obsianie połowy swojej działki zużyje Ą% PRAWDA Ą% FAASZ dziewięć paczek nasion pietruszki. IV. Bartek na obsadzenie swojej działki będzie Ą% PRAWDA Ą% FAASZ potrzebował 100 wierzb. 47 Zadanie 3 Na szkolny dziedziniec w kształcie kwadratu o boku 15 m spadła warstwa śniegu o wysokości 2 cm . Oblicz jego objętość. Zadanie 4 W jezdni znajduje się otwór odpływowy w kształcie trójkąta o bokach 30cm, 34cm i 16cm . Otwór ten należy zakryć pokrywą w kształcie koła. Jakie co najmniej pole powierzchni musi mieć ta pokrywa? Zadanie 5 Długość boku kwadratowego trawnika zwiększono o 3m , przez co jego powierzchnia zwiększyła się o 39m2 . Oblicz powierzchnię powiększonego trawnika. 48 ODPOWIEDZI Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Miary kątów trójkąta pozostają w stosunku 3: 4: 2 . Miara kąta między dwusiecznymi kątów leżących przy najdłuższym boku tego trójkąta jest równa: A. 120 B. 130 C. 80 D. 90 Obliczamy miary kątów trójkąta. 3x + 4x + 2x =180 9x =180 x = 20 3x = 320 = 60 4x = 420 = 80 2x = 220 = 40 Naprzeciw najdłuższego boku trójkąta leży 20 + 30+a =180 kąt o największej mierze 80 . Przy a =180 -50 najdłuższym boku znajdują się kąty o a =130 miarach 60 i 40. Dwusieczne dzielą każdy z tych kątów na dwa kąty o równych miarach. W trójkącie dwa kąty mają miary 30 i 20. Obliczamy miarę kąta a kąta między dwusiecznymi. Uwaga: kąt między dwusiecznymi to również kąt przyległy do kąta a . Odpowiedz: B. Zadanie 2 Wokół okrągłego placu stoi kolejno pięć pomników: P1, P2 , P3, P4 , P5. Odległości między sąsiadującymi pomnikami są jednakowe. Na środku placu znajduje się fontanna F . Miara kąta między ścieżkami biegnącymi od dwóch z tych pomników do fontanny jest równa 216. Ścieżki te biegną od pomników: I. P1 i P3 Ą% TAK Ą% NIE 49 II. P2 i P4 Ą% TAK Ą% NIE III. P1 i P4 Ą% TAK Ą% NIE IV. P3 i P5 Ą% TAK Ą% NIE Punkty P1, P2 , P3, P4 , P5 dzielą okrąg 360 a = = 72 5 na pięć łuków o równej długości. Oznaczmy a kąt oparty na jednym takim łuku. Kąt o mierze 216 jest równy miarom trzech 216: 72 = 3 kątów a . Jeśli będziemy poruszać się po okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to jest on kątem między ścieżkami utworzonymi przez pomniki P1 i P4 . Jeśli będziemy poruszać się odwrotnie jest to kąt między ścieżkami wyznaczonymi przez P1 i P3, P2 i P4 lub P3 i P5. Odpowiedz: I TAK, II TAK, III TAK, IV TAK. Zadanie 3 W pewnym miasteczku wszystkie ulice są proste. Biorąc pod uwagę podaną liczbę ulic, oblicz, ile maksymalnie skrzyżowań może być w tym miasteczku, a następnie uzupełnij tabelę. Liczba ulic Liczba skrzyżowań 1 2 3 4 10 10 45 n Największa możliwa liczba skrzyżowań n n -1 ( ) największa możliwa liczba 2 będzie w sytuacji, gdy każda z n dróg 50 (prostych) przetnie n -1 pozostałych. Jednak skrzyżowań wszystkich skrzyżowań (punktów przecięcia) nie będzie n n -1 , bo każde skrzyżowanie ( ) (punkty przecięcia) tworzą dwie proste. n(n -1)) Odpowiedz: 0 , 1, 3 , 6 , 5 , . 2 Zadanie 4 Długość łuku wycinka kołowego o kącie środkowym 30 jest równa Ą . Oblicz pole koła, z którego wycięto ten wycinek. 30 1 1 Auk stanowi = obwodu koła. L = Ą 360 12 12 L =12Ą Szukamy promienia tego koła. 2Ąr =12Ą r = 6 Obliczamy pole koła. Ąr2 = Ą62 = 36Ą Odpowiedz: Pole koła jest równe 36Ą . Zadanie 5 Działka pana Jędrzeja ma kształt równoległoboku, w którym stosunek sąsiednich boków jest równy 1: 2 . Stosunek miar kątów tego równoległoboku leżących przy jednym boku jest równy 1: 2 . Ścieżka przecinająca działkę, leżąca na dwusiecznej większego kąta, ma długość 40m . Ile metrów siatki potrzeba do ogrodzenia tej działki? Suma kątów leżących przy jednym boku x + 2x =180 równoległoboku jest równa 180. Obliczamy 3x =180 miary tych kątów, wiedząc, że jeden jest dwa x = 60 razy większy od drugiego. 2x =120 Dwusieczna podzieliła kąt 120 na kąty o 40 2 = 80 (m) miarach 60. Ścieżka wydzieliła zatem trójkąt równoboczny, w którym każdy bok 51 jest równy 40 m . Krótszy bok równoległoboku ma długość 40 m . Dłuższy bok jest dwa razy dłuższy. Obliczamy, ile siatki potrzeba na ogrodzenie 2 40 + 280 = 80 +160 = 240 (m) działki w kształcie równoległoboku. Odpowiedz: Do ogrodzenia tej działki potrzeba 240 m siatki. Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. 66m2 . 2. I FAASZ, II PRAWDA, III PRAWDA, IV FAASZ. 3. 4,5 m3 . 4. 289Ą cm2 . 5. 64cm2 . 52 11. Bryły Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Graniastosłup n -kątny ma: A. 2n krawędzi B. 4n wierzchołków C. n + 2 ścian D. n + 4 ścian Zadanie 2 Świecę w kształcie graniastosłupa prawidłowego przetopiono na dwie świece w kształcie jednakowych ostrosłupów. Ostrosłupy te mają takie same podstawy jak graniastosłup. Wynika z tego, że wysokość każdej z otrzymanych świec jest: A. trzykrotnie większa od wysokości przetopionej świecy B. równa wysokości przetopionej świecy C. półtora razy większa od wysokości przetopionej świecy D. dwa razy większa od wysokości przetopionej świecy Zadanie 3 Prostokąt o bokach długości x i 2x ( x >1) obrócono najpierw dookoła krótszego boku, a następnie dookoła dłuższego boku. Iloraz objętości większej bryły przez mniejszą jest równy: 1 1 B. D. A. 2 C. 4 2 4 Zadanie 4 Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 36cm. Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe. I. Objętość sześcianu jest mniejsza niż 30cm3 . Ą% PRAWDA Ą% FAASZ II. Długość przekątnej sześcianu jest równa 5,2cm . Ą% PRAWDA Ą% FAASZ III. Pole powierzchni sześcianu jest większe niż 50cm2 . Ą% PRAWDA Ą% FAASZ IV. Wysokość sześcianu jest większa niż 4cm . Ą% PRAWDA Ą% FAASZ 53 Zadanie 5 Sześcienną kostkę z plasteliny oklejono srebrnym papierem i pocięto na 64 jednakowe sześciany. Zastanów się, ile powstało sześcianów z jedną, dwiema i trzema ścianami oklejonymi papierem, a ile wykonanych jedynie z plasteliny. Uzupełnij tabelę. Liczba oklejonych papierem ścian Liczba sześcianów 3 2 1 0 Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Podstawą ostrosłupa jest n -kąt. Wynika z tego, że ostrosłup ten ma: A. n wierzchołków, 2n krawędzi, n ścian B. n +1 wierzchołków, n krawędzi, 2n ścian C. n +1 wierzchołków, 2n krawędzi, n +1 ścian D. n +1 wierzchołków, n +1 krawędzi, 2n ścian Zadanie 2 Objętość graniastosłupa, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o krawędzi a , wynosi V . Wysokość h tego graniastosłupa jest równa: 4V V 3 a2 3 A. h = B. h = C. h = 4V 3 a2 D. h = a2 3 4a2 4V Zadanie 3 Z miedzianego walca wycięto element w kształcie stożka o tej samej podstawie i wysokości co walec. Jaką część objętości walca stanowią odpady? 1 2 3 1 A. B. C. D. 3 3 5 6 54 Zadanie 4 Zaznacz, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe. I. Jeśli ostrosłup ma dziesięć krawędzi, to jego podstawą jest Ą% PRAWDA Ą% FAASZ dziesięciokąt. II. Ostrosłup, który ma cztery wierzchołki, to ostrosłup Ą% PRAWDA Ą% FAASZ trójkątny. III. Jeśli cztery krawędzie czworościanu są równe, to jest to Ą% PRAWDA Ą% FAASZ ostrosłup prawidłowy trójkątny. IV Ostrosłup sześciokątny ma siedem ścian. Ą% PRAWDA Ą% FAASZ Zadanie 5 Wysokość walca jest równa 9cm. Przekrój osiowy walca jest prostokątem, którego przekątna jest równa 15cm. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość walca. 55 ODPOWIEDZI Zadania rozwiązane krok po kroku Zadanie 1 Graniastosłup n -kątny ma: A. 2n krawędzi B. 4n wierzchołków C. n + 2 ścian D. n + 4 ścian Graniastosłup ma 3n krawędzi i 2n wierzchołków. Graniastosłup n -kątny ma dwie podstawy i n ścian bocznych, zatem liczba ścian graniastosłupa to n + 2 . Odpowiedz: C. Zadanie 2 Świecę w kształcie graniastosłupa prawidłowego przetopiono na dwie świece w kształcie jednakowych ostrosłupów. Ostrosłupy te mają takie same podstawy jak graniastosłup. Wynika z tego, że wysokość każdej z otrzymanych świec jest: A. trzykrotnie większa od wysokości przetopionej świecy B. równa wysokości przetopionej świecy C. półtora razy większa od wysokości przetopionej świecy D. dwa razy większa od wysokości przetopionej świecy Oznaczamy: P pole podstawy V = P h graniastosłupa, h wysokość graniastosłupa. Graniastosłup i ostrosłup mają takie same 1 V0 = P H 3 pola podstaw. Oznaczmy : H wysokość ostrosłupa. Objętość graniastosłupa jest równa sumie 11 P h = P H + P H 33 objętości ostrosłupów. Układamy równanie i 2 przekształcamy je tak, aby otrzymać P h = P H :P 3 zależność między h i H . 56 2 2 h = H : 3 3 3 H = h 2 H = 1,5h Odpowiedz: C. Zadanie 3 Prostokąt o bokach długości x i 2x ( x >1) obrócono najpierw dookoła krótszego boku, a następnie dookoła dłuższego boku. Iloraz objętości większej bryły przez mniejszą jest równy: 1 1 B. D. A. 2 C. 4 2 4 2 W pierwszym przypadku otrzymujemy walec V1 = Ą 2x x = 4Ąx3 ( ) o wysokości x i promieniu podstawy 2x . W drugim przypadku otrzymujemy walec o V2 = Ą x2 2x = 2Ąx3 wysokości 2x i promieniu podstawy x . Obliczamy stosunek objętości brył. V1 4Ąx3 = = 2 V2 2Ąx3 Odpowiedz: A. Zadanie 4 Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 36cm. Zaznacz, które zdanie jest prawdziwe, a które fałszywe. I. Objętość sześcianu jest mniejsza niż 30cm3 . Ą% PRAWDA Ą% FAASZ II. Długość przekątnej sześcianu jest równa 5,2cm . Ą% PRAWDA Ą% FAASZ III. Pole powierzchni sześcianu jest większe niż 50cm2 . Ą% PRAWDA Ą% FAASZ IV. Wysokość sześcianu jest większa niż 4cm . Ą% PRAWDA Ą% FAASZ Sześcian ma 12 krawędzi. Obliczamy 36 :12 = 3 (cm) długość jednej z nich. Objętość V sześcianu o krawędzi a jest V = 33 = 27 ( cm3 ) 57 27 < 30 równa a3 . Przekątna d sześcianu o krawędzi a jest d = 3 3 5,195 (cm) równa a 3 . 5,195 ą 5,2 Pole powierzchni P sześcianu o krawędzi a P = 632 = 69 = 54 ( cm2 ) jest równe 6a2 . 54 > 50 Wysokość h sześcianu jest równa długości h = 3cm krawędzi sześcianu. 3 < 4 Odpowiedz: I PRAWDA, II FAASZ, III PRAWDA, IV FAASZ. Zadanie 5 Sześcienną kostkę z plasteliny oklejono srebrnym papierem i pocięto na 64 jednakowe sześciany. Zastanów się, ile powstało sześcianów z jedną, dwiema i trzema ścianami oklejonymi papierem, a ile wykonanych jedynie z plasteliny. Uzupełnij tabelę. Liczba oklejonych papierem ścian Liczba sześcianów 3 2 1 0 Trzy ściany oklejone papierem ma osiem sześcianów leżących w wierzchołkach kostki. Dwie srebrne ściany mają sześciany leżące 6 8 = 24 2 przy krawędziach kostki (oprócz tych w wierzchołkach). Na każdych dwóch ścianach jest ich osiem. Każda ściana sześcianu została podzielona na 6 (16 - 4 - 8) = 6 4 = 24 16 części. Odejmujemy od nich cztery z trzema srebrnymi ścianami oraz osiem z dwiema srebrnymi ścianami i otrzymujemy liczbę części z jedną srebrną ścianą. Pozostałe sześciany nie mają srebrnych 64 -(8 + 24 + 24) = 64 - 56 = 8 ścian. Odpowiedz: 8 , 24 , 24 , 8 . 58 Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. C. 2. A. 3. B. 4. I FAASZ, II PRAWDA, III FAASZ, IV PRAWDA. 5. 108Ą cm2 , 324p cm3 . 59