Środek masy. Pęd.
Środek masy. Pęd.
Zderzenia.
Zderzenia.
Wykład 5
1
Wrocław University of Technology
26-XI-2011
ÅšRODEK MASY 26.XI.2011
Szczególny punkt
2
ÅšRODEK MASY 26.XI.2011
Szczególny punkt
3
ÅšRODEK MASY 26.XI.2011
Szczególny punkt
Środek masy ciała lub układu ciał to punkt, który porusza się tak, jak gdyby była w
nim skupiona cała masa układu, a wszystkie siły zewnętrzne były przyło\
one w
tym właśnie punkcie.
" Środek masy porusza się po paraboli, dokładnie tak jak wyrzucona
4
w powietrze czÄ…stka.
ÅšRODEK MASY 26.XI.2011
Układ kilku cząstek
y y
xÅšM xÅšM
m1 m2 m1 m2
x x
ÅšM ÅšM
d x1 d
x2
m2
m1x1 + m2x2 m1x1 + m2x2
xÅšM = Å" d
xÅšM = =
m1 + m2
m1 + m2 mu
5
ÅšRODEK MASY 26.XI.2011
Układ kilku cząstek
W przypadku n czÄ…stek
n
m1x1 + m2 x2 + m3x3 + ... + mn xn
1
xÅšM = =
"m xi
m1 + m2 + m3 + ... + mn mu i=1 i
Jeśli cząstki znajdują się w przestrzeni trójwymiarowej, to środek masy ma
trzy współrzędne.
n n n
1 1 1
xÅšM = yÅšM = zÅšM =
"m xi "m yi "m zi
mu i=1 i mu i=1 i mu i=1 i
W zapisie wektorowym:
)
) )
r
rÅšM = xÅšM i + yÅšM j + zÅšM k
Ogólnie wektorowo:
n
r 1 r
rÅšM =
"m ri
mu i=1 i
6
ÅšRODEK MASY 26.XI.2011
Układ kilku cząstek
Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy
1 1 1
xÅšM = xdm yÅšM = ydm zÅšM = zdm
+" +" +"
mu mu mu
Przy czym mu jest masą całego ciała.  Cząstkami" ciała są w tym opisie
ró\
niczkowe elementy masy dm.
Gdy ciało jest jednorodne, to posiada stałą gęstość, czyli masę jednostki objętości,
co oznacza, \
e ich gÄ™stość Á jest dla ka\
dego elementu ich objętości taka sama,
jak dla całego ciała:
dm mu mu
ëÅ‚ öÅ‚dV
Á = = Ò! dm =
ìÅ‚ ÷Å‚
dV V V
íÅ‚ Å‚Å‚
wtedy
1 1 1
xÅšM = xdV yÅšM = ydV zÅšM = zdV
+" +" +"
V V V
7
ÅšRODEK MASY 26.XI.2011
II zasada dynami Newtona dla układu cząstek
Ruch środka masy układu cząstek opisuje równanie wektorowe:
v
v
Fwyp = mu Å" aÅšM
1. Fwyp jest to wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych,
jakie działają na układ. Siły działające między
składnikami układu cząstek (siły wewnętrzne) nie
uwzględnia się w tym równaniu.
2. mu jest całkowitą masą układu. Zakładamy, \
e w czasie ruchu układu jego
masa nie zwiększa się, ani nie zmniejsza, tak \
e mu jest stałe. Taki układ
nazywamy układem zamkniętym.
3. aŚM jest przyspieszeniem środka masy układu. Powy\
sze równanie nie daje
\
adnych informacji o przyspieszeniu jakiegokolwiek innego punktu układu.
8
ÅšRODEK MASY 26.XI.2011
II zasada dynamiki Newtona dla układu cząstek
Dowód:
Z definicji środka masy dla układu n cząstek wiemy:
n
r 1 r
rÅšM =
"m ri
mu i=1 i
Ó!
r r r r r
mu Å" rÅšM = m1r1 + m2r2 + m3r3 + ...+ mnrn
Pierwsza pochodna względem czasu:
r r r r
v
mu Å"vÅšM = m1v1 + m2v2 + m3v3 +...+ mnvn
Druga pochodna względem czasu:
r r r r r
mu Å" aÅšM = m1a1 + m2a2 + m3a3 +...+ mnan
r r r r r
r
mu Å" aÅšM = F1 + F2 + F3 +...+ Fn = Fwyp
9
P
D 26.XI.2011
Pęd
Definicja pędu:
r r
p = mÅ"v
przy czym m jest masą cząstki, a v  jej prędkością. Poniewa\
m jest zawsze
dodatnią wielkością skalarną, stąd wynika, \
e wektory p i v majÄ… taki sam kierunek.
Wynika z niego równie\
, \
e jednostką pędu w układzie SI jest kilogram razy metr
na sekundÄ™.
Dla n czÄ…stek
r r r r r r r r
p = p1 + p2 +...+ pn = mv1 + mv2 +...+ mvn = muvÅšM
Pęd układu cząstek jest równy iloczynowi całkowitej masy układu mu oraz
prędkość jego środka masy.
10
P
D 26.XI.2011
Przykład
r
CzÄ…stka o masie 3.0 kg porusza siÄ™ z prÄ™dkoÅ›ciÄ… v = (3.0î + 4.0 5
)m
s
Jaki jest wektor pędu oraz jego wartość?
Zgodnie z definicją momentu pędu otrzymujemy:
r r
p = mÅ"v = 3.0kg Å"(3.0î + 4.0 5
)m = (9.0î -12 5
)kgsÅ" m
s
Wartość momentu pędu wynosi:
r
2 2
p = px + py =
2 2
kg Å" m
= (9.0î) +(12 5
) =
s
kg Å"m
=15
s
11
P
D 26.XI.2011
Zasada zachowania pędu
Załó\
my, \
e wypadkowa sil zewnętrznych działających na układ cząstek jest
łów na zeru (tzn. układ jest izolowany) oraz \
e \
adne czÄ…stki nie opuszczajÄ…
układu, ani do niego nie przybywają (tzn. układ jest zamknięty).
r
r r
r
dp układ zamknięty
p = const
Fwyp = Fwyp = 0
i izolowany
dt
Zasada zachowania pędu:
Jeśli na układ cząstek nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest równa
zeru, to całkowity pęd p układu nie ulega zmianie.
r r
ppocz = pkon
CAA
KOWITY P
D UKA
ADU CAA
KOWITY P
D UKA
ADU
W PEWNEJ CHWILI W DOWOLNEJ CHWILI
=
POCZ
TKOWEJ tpocz PÓy
NIEJSZEJ tkon
12
ZDERZENIA 26.XI.2011
Zderzenia
Zderzenie zachodzi wtedy, gdy dwa lub więcej ciał (partnerów zderzenia) działa na
siebie stosunkowo du\
ymi siłami w stosunkowo krótkim przedziale czasu.
13
ZDERZENIA 26.XI.2011
Zderzenia całkowicie niesprę\
yste
PRZED ZDERZENIEM
V1p V2p
m1
m2
PO ZDERZENIU
Vk
m1 + m2
r r r
p1p + p2p = pk
Z zasady zachowania pędu:
m1V1p + m2V2p = (m1 + m2)Vk 14
ZDERZENIA 26.XI.2011
Przykład
95.0 kg zawodnik biegnie w kierunku
końca strefy z prędkością 3.75 m/s. Na
jego trasie pojawia siÄ™ 111 kg zawodnik
dru\
yny przeciwnej poruszajÄ…cy siÄ™ z
prędkością 4.10 m/s.
(a) Znajdz
ich prędkość zaraz po
zderzeniu?
(b) Znajdz
początkową i końcową
energiÄ™ kinetycznÄ… oraz zmianÄ™ energi
podczas zderzenia.
m1v1,i + m2v2,i
(95.0 kg)(3.75 m/s) + (111.0 kg)(-4.10 m/s)
vf = = = -0.480 m/s
m1 + m2 (95.0 kg) + (111.0 kg)
1 1 1 1
2 2
Ekp = m1v21 + m2v2 = (95kg)(3.75m / s) + (111kg)(- 4.1m / s) =1600J
p p2
2 2 2 2
1 1
2
2
Ekk = (m1 + m2)vk = [(95kg)+ (111kg)](- 4.8m / s) = 23.7J
2 2
15
"Ek = -1576J
ZDERZENIA 26.XI.2011
Prędkość środka masy
Przeanalizujmy układ dwóch ciał oraz ich zderzenie w jednym wymiarze.
Całkowity pęd takiego układu wynosi:
r
r r
P = muvÅšM = (m1 + m2 )vÅšM
Całkowity pęd P jest zachowany podczas zderzenia; jest on równy ka\
dej ze
stron równania (przed i po zderzeniu). Biorąc sumę pędów przed zderzeniem, mamy:
r
r r
P = p1p + p2 p
StÄ…d
r
r r
p1p + p2 p
r P
vSM = =
m1 + m2 m1 + m2
Prawa strona tego równania jest stała, a zatem vŚM ma taką samą wartość
przed i po zderzeniu.
16
ZDERZENIA 26.XI.2011
Prędkość środka masy
Układ izolowany: poło\
enie środka masy nie zmienia się!
17
ZDERZENIA 26.XI.2011
Zderzenia sprÄ™\
yste
Przy zderzeniu sprÄ™\
ystym energia kinetyczna ka\
dego ze zderzajÄ…cych
się ciał mo\
e się zmienić, lecz nie mo\
e ulec zmianie całkowita
energia kinetyczna układu tych ciał.
CAA
KOWITA ENERGIA CAA
KOWITA ENERGIA
KINETYCZNA PRZED KINETYCZNA PO
=
ZDERZENIEM ZDERZENIEM
Dodatkowo musi być spełniona zasada zachowania pędu.
18
ZDERZENIA 26.XI.2011
Zderzenia sprÄ™\
yste
PRZED ZDERZENIEM
V1p V2p
m1
m2
PO ZDERZENIU
V1k V2k
m1 m2
19
ZDERZENIA 26.XI.2011
Zderzenia sprÄ™\
yste
r r r r
p1p + p2p = p1k + p2k
Z zasady zachowania pędu:
m1V1p + m2V2p = -m1V1k + m2V2k
Z zasady zachowania energii mechanicznej:
2 2
2 2
m1V1p m2V2p
m1V1k m2V2k
+ = +
2 2 2 2
StÄ…d:
m2 - m1 2m2
V1k = V1p + V2
m2 + m1 m2 + m1 p
m2 - m1 2m1
V2k = V2 + V1
m2 + m1 p m2 + m1 p
20
ZDERZENIA 26.XI.2011
Przykłady
Pszczoła o masie 0.150 g wylądowała na jednym z końców pływającego patyczka do
lodów o masie 4.75 g. Po tym jak odpoczęła zaczęła iść w kierunku drugiego końca
z prędkością vb względem wody. Patyczek zaczął się poruszać w przeciwną stronę
z prędkością 0.120 cm/s. Z jaką prędkością porusza się pszczoła vs?
ps = msvs
Zasada zachowania pędu w kierunku x: ps + pb = 0
pb = mbvb = - ps = -msvs
ms (4.75 g)
vb = - vs = - (0.120 cm/s) = 3.80 cm/s
21
mb (0.150 g)
ZDERZENIA 26.XI.2011
Przykłady
Auto o masie m1 = 950 kg i prędkości v1,i = 16
m/s wje\
d\
a na skrzy\
owanie. W tym samym
czasie minivan o masie m2 = 1300 kg i
prędkości v2,i = 21 m/s wje\
d\
a z ulicy
prostopadłej. Dochodzi do zderzenia.
Znajdz
kÄ…t ¸ oraz prÄ™dkość koÅ„cowÄ… vf aut
zaraz po zderzeniu.
x-momentum: m1v1 = (m1 + m2)vf cos¸
y-momentum: m2v2 = (m1 + m2)vf sin¸
m2v2 (m1 + m2)vf sin¸ sin¸
= = = tan¸
m1v1 (m1 + m2)vf cos¸ cos¸
m2v2 (1300 kg)(21 m/s)
¸ = arctan = arctan = 61°
m1v1 (950 kg)(16 m/s)
m1v1 (950 kg)(16 m/s)
vf = = =14 m/s
22
(m1 + m2)cos¸ (950 kg) + (1300 kg) cos 61°
[ ]
ZDERZENIA 26.XI.2011
Przykłady
Kula o masie m1 przechodzi przez puste
pudełko o masie m2, a pomiar jej prędkości
wykazał, \
e wskutek tego zdarzenia prędkość
jej zmniejszyła się o połowę. Jak wysoko
uniesie się pudełko skutek zderzenia?
Z zasady zachowania energii mechanicznej:
1
2
m2v2 = m2gh
2
Z zasady zachowania momentu pędu:
2m2 m2
m1v1i = m2v2 + m1(12 v1i) Ò! v1i = v2 = 8gh
m1 m1
2
ëÅ‚ öÅ‚
1 v1im1 ÷Å‚
ìÅ‚
h =
ìÅ‚
23
g 8m2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚