1 wykl stat


Informacje wstępne
Wykładowca:
Dr hab. in\. Arkadiusz MÄ™\yk, Prof. Pol. Åšl.
Wydział Mechaniczny Technologiczny
Katedra Mechaniki Stosowanej, pok. 183
Wykład I
Konsultacje: poniedziałek 12.00-14.00
Pojęcia ogólne
Ocena z przedmiotu
Op = 0,6Å"Oe + 0,4Å"Oc
Tematyka wykładów
Tematyka ćwiczeń
Aksjomaty statyki, stopnie swobody i reakcje więzów, modele ciał
rzeczywistych stosowane w mechanice, para sił i jej własności, redukcja
przestrzennego dowolnego układu sił, szczególne układy sił, prawo
Hooke a, układy statycznie niewyznaczalne, wyznaczanie sił
Reakcje więzów w płaskim i przestrzennym dowolnym
wewnętrznych w prętach płaskich, pojęcia naprę\enia, naprę\enia i
układzie sił, redukcja przestrzennego dowolnego układu sił,
odkształcenia przy rozciąganiu, zginaniu, skręcaniu i ścinaniu, hipotezy
redukcja sił wewnętrznych w belkach zginanych,
wytę\eniowe, ruch punktu we współrzędnych biegunowych i
krzywoliniowych, naturalny układ współrzędnych, kinematyka bryły,
wyznaczanie naprę\eń i odkształceń przy rozciąganiu,
prędkości i przyspieszenia w ruchu postępowym, obrotowym, płaskim,
skręcaniu, zginaniu i ściskaniu, hipoteza Hubera, układy
zło\onym, kulistym i ogólnym, klasyfikacja węzłów i par
kinematycznych, kinematyka mechanizmów płaskich, geometria mas, statycznie niewyznaczalne, wyznaczanie prędkości i
masowe momenty bezwładności, momenty dewiacji, główne centralne
przyspieszeń w ruchu postępowym, obrotowym, płaskim,
osie bezwładności, dynamiczne równania ruchu postępowego,
zło\onym i kulistym, kinematyka i kinetyka mechanizmów,
obrotowego i płaskiego, reakcje dynamiczne, praca, moc i energia w
ruchu postępowym, obrotowym i płaskim, współrzędne uogólnione i współrzędne uogólnione i stopnie swobody układu, zasada
stopnie swobody układu, zasada prac przygotowanych, zasada
prac przygotowanych, zasada d Alemberta, równania
d Alemberta, zasada Hamiltona, równania Lagrange a I i II rodzaju,
Lagrange a I i II rodzaju
równania kanoniczne Hamiltona.
Wstęp Wstęp
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się
Literatura uzupełniająca:
" Leyko J.: Mechanika ogólna. PWN, Warszawa 2002, t. I i II.
badaniem ruchu ciał materialnych.
" Dyląg Z., Jakubowicz. A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów. WNT
Warszawa 1997.
Współcześnie rozró\nia się podział mechaniki na
" Morecki A., Knapczyk J., Kędzior K.: Teoria mechanizmów i
manipulatorów, WNT Warszawa 2002
klasycznÄ… i relatywistycznÄ….
" Parszewski Z.: Teoria maszyn I mechanizmów WNT Warszawa
1978.
" Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.: Zbiór zadań z mechaniki
Mechanika klasyczna opiera siÄ™ na prawach
ogólnej. PWN Warszawa 2003
Newtona. Jest to mechanika zajmujÄ…ca siÄ™ ruchem
" Mieszczerski I.W.: Zbiór zadań z mechaniki. PWN Warszawa 1969
ciał materialnych poruszających się z prędkościami
znacznie mniejszymi od prędkości światła.
1
Podział mechaniki klasycznej Układy współrzędnych
Przestrzenne układy
Mechanika klasyczna dzieli siÄ™ na statykÄ™, kinematykÄ™ i
współrzędnych:
dynamikÄ™.
" kartezjański układ współrzędnych
prostokÄ…tnych A(x, y ,z)
" układ współrzędnych cylindrycznych
Dynamika zajmuje się opisem ruchu z uwzględnieniem z
(walcowych) A(r, Õ, z)
przyczyn ten ruch wywołujących, czyli sił.
" układ współrzędnych sferycznych
Kinematyka zajmuje siÄ™ opisem ruchu bez
(kulistych) A(r, Õ, È)
uwzględnienia przyczyn ten ruch wywołujących.
Statyka zajmuje się warunkami pozostawania ciał w
spoczynku. Mo\na ją traktować jako szczególną część y
dynamiki, charakteryzującą się szczególnymi skutkami
działania sił równowa\ących się, czyli równowagą ciał.
x
Modele ciał materialnych Pojęcia pierwotne statyki
" Punkt materialny to ciało o tak małych wymiarach w porównaniu Głównymi pojęciami pierwotnym statyki są pojęcia siły i pary sił
z obszarem, w którym się porusza, \e mo\na pominąć zmiany
Siła to wielkość fizyczna, od której zale\y wszelka zmiana ruchu
poło\enia tego ciała wywołane przez obrót i traktować jako punkt
ciał materialnych. Siła jest miarą mechanicznego oddziaływania
geometryczny. Punktowi temu przypisujemy pewną skończoną ilość
ciał na siebie. Oddziaływania te mogą zachodzić wskutek
materii, czyli masÄ™.
bezpośredniego kontaktu ciał (nacisk, zderzenie) lub mogą to być
" Ciało doskonale sztywne to takie ciało materialne, w którym
oddziaływania zachodzące pomiędzy ciałami bez ich wzajemnego
wzajemne odległości cząstek nie ulegają zmianie. Ciało to nie
kontaktu. Na przykład siła spowodowana oddziaływaniem ziemi
podlega \adnym odkształceniom pod wpływem działających na to
na ciała nosi nazwę cię\aru.
ciało sił.
Siła to wielkość wektorowa.
Sztywne ciało materialne nazywamy bryłą.
F
l
Pojęcia pierwotne statyki Podział sił
Siły zewnętrzne są wynikiem oddziaływania na dane ciało innych
ciał i dzielą się na czynne i bierne.
Para sił to układ
F
Siły czynne to siły starające się wprawić ciało w ruch.
dwóch sił równoległych
Siły bierne to siły przeciwdziałające ruchowi (reakcje). Reakcje
o przeciwnych
k powstają w miejscach podparcia ciała jako odpowiedz na działanie
l
zwrotach, jednakowych
sił czynnych.
wartościach i nie
-F siły mechaniczne
le\Ä…cych na jednej
prostej.
zewnętrzne wewnętrzne
l k
czynne bierne
2
Podział sił Prawa Newtona
Podstawowymi prawami statyki sÄ… prawa Newtona.
Siła skupiona to siła przyło\ona w punkcie.
Z I prawa Newtona wynika, \e:
Siła powierzchniowa to siła równomiernie rozło\ona na
Układ sił pozostaje w równowadze, je\eli ciało, na które on działa
powierzchni (ciśnienie).
pozostaje w spoczynku lub porusza siÄ™ ruchem jednostajnym
prostoliniowym.
Siła objętościowa to siła, której działanie rozło\one jest na całą
objętość ciała (np. siła cię\kości).
O ciałach znajdujących się w stanie spoczynku mówimy, \e są w
równowadze.
Działanie tych sił jest równowa\ne działaniu jednej siły
wypadkowej przyło\onej w punkcie, który nazywać będziemy
Z prawa III wynika, \e:
środkiem cię\kości.
Siły, które wywierają na siebie dwa ciała są równe co do wartości,
majÄ… ten sam kierunek (le\Ä… na jednej prostej) i przeciwne zwroty.
Zasady statyki Zasady statyki
Zasada 1 zasada równoległoboku
Oprócz praw Newtona statyka posługuje się aksjomatami
podawanymi bez dowodów matematycznych
ZASADA 1 zasada równoległoboku
F1
F1 W W
=
Je\eli na ciało sztywne działają dwie siły, których linie działania =
przecinają się, to obcią\enie ciała nie zmienia się, je\eli siły te
Ä…
zastąpimy jedną siłą otrzymaną według reguły równoległoboku,
czyli stanowiącą przekątną równoległoboku zbudowanego na siłach
F2
F2
składowych.
Siłę tę nazywamy wypadkową.
2
W = F12 + F22 - 2F1 F2 cos(Ä„ -Ä…)
W = F12 + F22 + 2F1 F2 cosÄ…
Zasady statyki Zasady statyki
ZASADA 2
ZASADA 3
Dwie siły przyło\one do ciała sztywnego równowa\ą się tylko
Działanie układu sił przyło\onego do ciała sztywnego nie ulega
wtedy, gdy działają wzdłu\ jednej prostej, są przeciwnie
zmianie, gdy do ciała przyło\ymy lub odejmiemy układ zerowy.
skierowane i mają takie same wartości liczbowe.
Zatem działanie układu sił przyło\onego do ciała sztywnego nie
ulega zmianie, gdy siła działająca na ciało porusza się wzdłu\ linii
l
F działania.
2
l
F1 l
F l
1
F
1
=
F = F
1 1
F1 = -F2
F1 = -F2
F1 = F2
F
2
3
Zasady statyki Zasady statyki
ZASADA 5 zasada oswobodzenia od więzów
Ka\de ciało nieswobodne mo\na myślowo oswobodzić od
ZASADA 4 zasada zesztywnienia
więzów zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami.
Równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie
Dalej rozpatrywać mo\na ciało tak jak ciało swobodne, podlegające
naruszona przez zesztywnienie tego ciała. Zatem warunki
działaniu sił czynnych oraz reakcji więzów (sił biernych).
równowagi jakie muszą spełniać siły działające na ciało sztywne,
obowiązują równie\ dla ciała odkształconego.
S
G G
Moment siły względem punktu Moment siły względem punktu
i j k
Moment siły względem punktu wyra\ony jest jako iloczyn
wektorowy promienia wektora r i wektora siły F.
o
M = r × F = rx ry rz
r [m]
z
o
Fx Fy Fz
M = r × F
F [N]
o
M
o
M [Nm]
F = Fxi + Fy j + Fzk
O
Punkt O nazywamy biegunem
r = rxi + ry j + rzk
momentu.
r
o o
Ä„
M = Fzry - Fyrz M = Fxrz - Fzrx
x y
F
o
M = Fyrx - Fxry
z
l
Moment siły względem punktu Moment siły względem punktu
Własności momentu siły
Wartość momentu równa jest iloczynowi wartości liczbowej siły
l
względem punktu:
F i ramienia h tej siły względem punktu O.
" Moment siły nie zale\y od
F
Ramię siły względem punktu
punktu przyło\enia siły na linii
z
O to odległość linii działania Ą
jej działania
Ä…
siły F od punktu O.
" Momenty sił le\ących na
l o
jednej płaszczyznie
Zwrot wektora momentu r
M
wyznaczone względem bieguna
określamy z reguły śruby h
Mo
Oz
prawoskrętnej. O na tej płaszczyznie są do
F
siebie równoległe
Kierunek wektora
" Moment siły względem
momentu określa prosta
O h
bieguna jest równy zeru, je\eli
prostopadła do płaszczyzny
Ä„
linia działania siły przechodzi
wyznaczonej przez wektor
siły F i punkt O. przez biegun
4
Przypadki zerowania się momentu siły
Zmiana bieguna momentu
względem punktu
l
o
M = ro × F
h=0
o1
F
M = ro1 × F
z o
rO1
M=0
O1
l
ro1 = ro + Á
rO Á
o1 o
F M = M + Á × F
O
O
Moment siły względem zmienionego bieguna O1 jest równy
Ą sumie dwóch momentów, z których pierwszy jest momentem
siły F względem bieguna O, a drugi momentem tej siły
zaczepionej w biegunie O względem nowego bieguna O1.
Przypadki zerowania się momentu siły
Moment siły względem osi
względem osi
Momentem siły F względem osi z, nazwiemy moment rzutu siły F
na płaszczyznę prostopadłą do osi z, względem punktu O, w którym
oś przebija wspomnianą płaszczyznę.
l
(F) = 0
z
M Z
z
2
h = 0
F
F l
Mz
F
F
O
O h
Ä„
Ä„
Przypadki zerowania się momentu siły Zale\ność pomiędzy momentem siły względem
punktu i osi
względem osi
z
F
l
M (F)=0 Mz
z
z l
F=0
F
o
M r
F=0
O
h
Ä„
O
Ä„ o
z l M = M cosÄ…
z
5
Twierdzenie Varignona Układy płaskie
Moment siły względem punktu lub prostej równy jest sumie
momentów składowych tej siły względem tego punktu lub prostej.
y
n
F F =
"Fi
1
F
A
i=1
Płaski dowolny układ sił
F1
r
F
F F2 2
n
n
Fn
M = r × F = r × Fi
"
i=1
x
Układy płaskie Układy płaskie
y y
F
2
F F
2
1
Płaski układ sił równoległych Płaski zbie\ny układ sił
F
1
F
n F
n
x x
Układy przestrzenne Układy przestrzenne
z z
Przestrzenny dowolny Przestrzenny układ sił
układ sił równoległych
F
1
F Fn
2
y y
F
2
Fn
F
1
x x
6
Układy przestrzenne Stopnie swobody
Więzy i stopnie swobody
z
Przestrzenny zbie\ny
Liczba stopni swobody ciała określona jest liczbą
układ sił
niezale\nych (mo\liwych) ruchów ciała (punktu
Fn
materialnego, bryły sztywnej).
y
F
2
F
1
x
Stopnie swobody Stopnie swobody
Stopnie swobody punktu materialnego Stopnie swobody bryły sztywnej
Punkt materialny ma w przestrzeni trzy stopnie swobody. Ruch Bryła sztywna ma w przestrzeni sześć stopni swobody. Ruch
wzdłu\ osi x, ruch wzdłu\ osi y, ruch wzdłu\ osi z. wzdłu\ osi x, ruch wzdłu\ osi y, ruch wzdłu\ osi z. Obrót wokół osi
x, obrót wokół osi y, obrót wokół osi z.
z
Punkt materialny poruszajÄ…cy siÄ™ po
z
linii posiada jeden stopień swobody
Punkt materialny poruszajÄ…cy siÄ™
A po płaszczyznie posiada dwa stopnie
swobody
O
O
Punkt materialny poruszajÄ…cy siÄ™ w
y
przestrzeni posiada trzy stopnie
y
swobody
x
x
Stopnie swobody Powstawanie reakcji
Stopnie swobody figury płaskiej
Figura płaska ma w przestrzeni trzy stopnie swobody. Ruch
wzdłu\ osi x, ruch wzdłu\ osi y i obrót wokół osi z.
ruch
y
y F
a
O
O
x
x
7
Powstawanie reakcji Powstawanie reakcji
Ograniczając swobodę ciała, nakładają na ciało więzy (elementy
ograniczające swobodę ruchów) powodujemy pojawienie się w
układzie dodatkowych sił zewnętrznych (biernych) tzw. reakcji
spoczynek spoczynek
y y
F F
R
O O
x x
Powstawanie reakcji Powstawanie reakcji
Siły czynne i siły bierne (reakcje) tworzą układ sił
działających na ciało. Układ wszystkich sił działających na ciało
będzie w równowadze (ciało będzie w spoczynku) je\eli spełniał
będzie układ równań równowagi.
spoczynek
Układ statycznie wyznaczalny (izostatyczny) to taki, w
y
którym liczba mo\liwych do uło\enia równań równowagi równa jest
F
R
liczbie niewiadomych.
W mechanice teoretycznej zajmujemy się tylko układami
statycznie wyznaczalnymi.
O
x
Reakcje - 1 niewiadoma podporowa Reakcje - 1 niewiadoma podporowa
idealnie gładka powierzchnia
R
R
idealnie gładka powierzchnia
8
Reakcje - 1 niewiadoma podporowa Reakcje - 1 niewiadoma podporowa
Podparcie w Å‚o\ysku ruchomym. Podpora przesuwna. Reakcja Podparcie w Å‚o\ysku ruchomym. Podpora przesuwna. Reakcja
prostopadła do kierunku mo\liwego ruchu podpory. prostopadła do kierunku mo\liwego ruchu podpory.
R R
UWAGA ! UWAGA !
Podpora nie daje składowej równoległej do kierunku przesuwu podpory ! Podpora nie daje składowej równoległej do kierunku przesuwu podpory !
Reakcje - 1 niewiadoma podporowa Reakcje - 1 niewiadoma podporowa
Podparcie w ło\ysku ruchomym. Podpora przesuwna. Reakcja Podparcie na ostrzu lub ostrej krawędzi. Reakcja prostopadła do
prostopadła do kierunku mo\liwego ruchu podpory. ciała podpieranego
R
Reakcje - 1 niewiadoma podporowa Reakcje - 2 niewiadome podporowe
Ry
Rx
2 2
Zawieszenie na wiotkim cięgnie, pręcie przegubowym, linie.
R = Rx + Ry cos " (x ; R) = cos " (y ; R) =
R R
y
Reakcja ma kierunek cięgna.
Ry
x
R
R
powierzchnia niegładka
Rx
9
i
i
j
j
c
c
k
k
a
a
e
e
r
r
k
k
e
e
n
n
u
u
r
r
e
e
i
i
k
k
k
k
i
i
e
e
r
r
u
u
n
n
e
e
k
k
r
r
u
u
c
c
h
h
u
u
p
p
o
o
d
d
p
p
o
o
r
r
y
y
Reakcje - 2 niewiadome podporowe Reakcje - 2 niewiadome podporowe
Ry
Rx
2 2
R = Rx + Ry cos " (x ; R) = cos " (y ; R) = Podpora stała
R R
y
R
x
Podpora stała
Modele układu Modele układu
Modele układu Modele układu
Układ statycznie
wyznaczalny
Układ statycznie
niewyznaczalny
10
Reakcje - 2 niewiadome podporowe Reakcje - 3 niewiadome podporowe
Ry
Rx
2 2
R = Rx + Ry cos " (x ; R) = cos " (y ; R) =
R R
utwierdzenie
R
Przegub
y
R
x
u
Nieznane są: moduł reakcji i jej kierunek oraz wartość
momentu utwierdzenia
R
u
11


Wyszukiwarka