Wykonanie pomiarów pojemności kondensatorów oraz
Ćw.11
wyznaczenie wartości przenikalności dielektrycznej
próżni.
Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest:
a) wykonanie pomiarów pojemności dla kilku kondensatorów radiowych oraz ich połączeń: szeregowego i
równoległego;
b) wyznaczenie pojemności 1mb. współosiowego kabla antenowego;
c) wykonanie pomiarów pojemności powietrznego kondensatora cylindrycznego w zależności od długości okładek
oraz wyznaczenie na podstawie tych pomiarów stałej dielektrycznej próżni.
Zakres obowiązującego materiału teoretycznego
Pojemność elektryczna i jej jednostki. Budowa kondensatorów. A
ączenie kondensatorów. Właściwości
dielektryczne materiałów. Podatność i przenikalność dielektryczna.
Przyrządy i materiały
1. PÅ‚ytka z trzema kondensatorami radiowymi;
2. Przewody połączeniowe;
3. Kabel koncentryczny z przewodami do Å‚Ä…czenia z miernikiem;
4. Kondensator cylindryczny z długością okładek regulowaną przy pomocy śruby mikrometrycznej i przewodami
do podłączenia z miernikiem;
5. Cyfrowy miernik do pomiarów pojemności.
Wprowadzenie
Bardzo ważną właściwością przewodników jest pojemność elektryczna, której wartość zależy między innymi od
położenia ciał znajdujących się w otoczeniu przewodnika. Zacznijmy od wyjaśnienia pojęcia pojemności
bezwzględnej, tj. pojemności przewodnika odosobnionego (izolowanego). Pojemność bezwzględna określa
pojemność danego przewodnika względem drugiego przewodnika znajdującego się w nieskończoności i
definiowana jest jako stosunek ładunku Q zgromadzonego na przewodniku do jego potencjału V:
Q
C =
(1)
V
Pojedyncze izolowane przewodniki nie mają praktycznego znaczenie. Powszechnie wykorzystywane są ich układy
1
tworzące kondensatory. Kondensator stanowią dwa przewodniki o dowolnym kształcie i wymiarach, które ładują się
równymi ładunkami o przeciwnych znakach. W tym przypadku ważna jest różnica potencjałów między okładkami
(czyli napięcie miedzy nimi), nie bezwzględna wartość potencjału poszczególnych przewodników. Jeśli zwiększyć
ładunki na dwóch przewodnikach tworzących kondensator, to zwiększy się napięcie miedzy nimi proporcjonalnie
(jak pokazuje doświadczenie) do wartości ładunku. Zatem iloraz Q/U pozostaje stały dla danego kondensatora.
Nazywany jest on pojemnością kondensatora:
Q
C =
(2)
U
Wzory (1) i (2) są praktycznie identyczne, bowiem w przypadku odosobnionego przewodnika jego potencjał V jest
właściwie napięciem, względem ''okładki'' znajdującej się w nieskończoności, a zatem mającej potencjał zerowy. I
odwrotnie, jeśli w przypadku rzeczywistego kondensatora zastosujemy uziemienie jednej z okładek tj. potencjał tej
okładki sprowadzimy do zera to U we wzorze (2) będzie liczbowo równe potencjałowi okładki nieuziemionej.
Z równań (1) i (2) wynika definicja jednostki pojemności, którą w układzie SI jest farad (F). Farad jest to pojemność
kondensatora, który naładowany ładunkiem jednego kulomba wykazuje różnice potencjałów jednego volta miedzy
okładkami:
1C
1F =
1V
Farad to jednostka bardzo duża, dlatego w użyciu są jej podwielokrotne, np. mikrofarad (10-6F) i pikofarad
(10-12F).
Pojemności różnych kondensatorów
O wartości pojemności decydują:
a. kształt i wymiary przewodników, czyli geometria kondensatora;
b. właściwości elektryczne ośrodka dielektrycznego otaczającego przewodnik.
Zatem dla rożnych kondensatorów będziemy musieli stosować rożne wzory pozwalające obliczyć ich pojemność. I
tak np. pojemność bezwzględna odosobnionej kuli o promieniu R równa się:
(3)
C = 4Ä„µ0µR
gdzie:
o
µ - staÅ‚a dielektryczna próżni;
- względna stała dielektryczna ośrodka (w przypadku, gdy kula znajduje się w ośrodku różnym od próżni).
µ
Pojemność kondensatora płaskiego
Pojemność kondensatora płaskiego wyraża się wzorem:
2
µ0µS
C =
(4)
d
gdzie:
S - powierzchnia okładek;
d - ich wzajemna odległość;
Pojemność kondensatora cylindrycznego
Pojemność kondensatora cylindrycznego o długości L, promieniach R i R wynosi:
1 2
2Ä„µ0µL
C =
(5)
R2
ln
R1
Jeżeli kondensator wypełniony jest przez jeden dielektryk izotropowy i jednorodny to pojemność kondensatora jest
zawsze proporcjonalna do przenikalności dielektrycznej materiału bez względu na jego kształt.
A
ączenie kondensatorów
Kondensatory można łączyć w baterie, przy czym najprostszymi sposobami łączenia, są połączenia szeregowe i
równolegle (bardziej złożone są połączenia w trójkąt i gwiazdę). Przy łączeniu wielu kondensatorów interesuje nas
jaką pojemność ma cala bateria kondensatorów, czyli wartość pojemności tzw. kondensatora zastępczego, którego
działanie będzie równoważne działaniu rzeczywistej baterii kondensatorów.
Połączenia szeregowe
Dla połączenia szeregowego wartość pojemności zastępczej możemy obliczyć ze wzoru:
n
1 1 1 1 1 1
= + + + ... + =
(6)
"
C C1 C2 C3 Cn i=1 Ci
Warto zauważyć, że przy połączeniu szeregowym pojemność zastępcza jest zawsze mniejsza od najmniejszej
pojemności kondensatorów wchodzących w skład baterii.
Połączenia równoległe
Pojemność zastępcza dla połączenia równoległego obliczamy ze wzoru:
n
C = C1 + C2 + C3 + ... + Cn =
(7)
"Ci
i=1
Pojemność zastępcza tak połączonych kondensatorów jest zawsze większa od największej pojemności łączonych
kondensatorów.
3
Część doświadczalna
Uwaga: Dla każdej z badanych wielkości dobrać odpowiedni zakres pomiarowy zgodnie z zasadą uzyskania jak
największej ilości liczb znaczących oraz zanotować błąd pomiaru odczytany jako ą1 na ostatnim miejscu po
przecinku dobranego zakresu pomiarowego. W tabelach umieszczać wartości po przeliczeniu ich na
odpowiednie jednostki.
Kolejność wykonywanych czynności
1. Podłączyć kondensator C1 z miernikiem cyfrowym, pokrętło miernika ustawić na najmniejszym zakresie
pojemności. Włączyć miernik i wykonać pomiar pojemności C1 dobierając odpowiedni zakres pomiarowy
miernika. Określić dokładność pomiaru.
2. Analogiczne pomiary wykonać dla kondensatora C i C oraz dla baterii kondensatorów połączonych szeregowo
2 3
i równolegle.
3. Włączyć w miejsce kondensatorów zwój kabla współosiowego (antenowego), łącząc z odpowiednimi zaciskami
miernika jego rdzeń i ekran. Wykonać pomiar pojemności kabla C . Zanotować dokładność pomiaru. Zmierzyć
K
długość kabla, określić dokładność pomiaru, wyznaczyć pojemność przypadającą na 1m długości.
4. Podłączyć do miernika kondensator cylindryczny. Po dobraniu odpowiedniego zakresu pomiarowego miernika
wykonać pomiar pojemności przy zerowym wskazaniu śruby mikrometrycznej - odpowiada to maksymalnej
długości okładek, która wynosi 85mm.
5. Pomiary powtórzyć kolejno wykręcając śrubę mikrometryczną co 5mm, aż do wartości 85mm -
odpowiadającej zerowej długości okładek kondensatora cylindrycznego. Wyniki zanotować w rubryce C tabeli
1
2.
6. Wykonać identyczne pomiary pojemności zmieniając długość okładek w kierunku przeciwnym tzn. zwiększając
je od wartości 0mm do 85mm. Wyniki zanotować w rubryce C tabeli 2.
2
7. Obliczyć wartość średnią dla każdych dwu pomiarów pojemności odpowiadającej tej samej długości okładek
kondensatora. Wyniki zapisać w rubryce C tabeli 2.
Pamiętaj: zerowe wskazanie śruby mikrometrycznej odpowiada maksymalnej długości okładek,
wynoszÄ…cej l=85mm.
Opracowanie wyników
1. Dla kondensatorów radiowych wykonać obliczenia wartości zastępczej baterii przy połączeniu szeregowym
(wzór 6) i równoległym (wzór 7).
2. Obliczyć błąd bezwzględny metodą różniczki zupełnej (instrukcja nr 17) dla pomiaru pojemności zastępczej
baterii kondensatorów połączonych szeregowo i równolegle.
4
Dla połączenia szeregowego korzystamy ze wzoru:
2 2 2 2
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
n
C C C C
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
"C = Ä…ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ "C1 + ìÅ‚ ÷Å‚ "C2 + ... + ìÅ‚ ÷Å‚ "Cn śł = Ä…ïÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ "Ci śł
"
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
(8)
C1 C2 Cn Ci
ïÅ‚ śł ïÅ‚i=1 íÅ‚ Å‚Å‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Dla połączenia równoległego:
n
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"C = Ä…("C1 + "C2 + "C3 + ... + "Cn) = Ä…ìÅ‚ ÷Å‚
(9)
""Ci
i=1
íÅ‚ Å‚Å‚
3. Porównać czy wartości pojemności baterii kondensatorów pomierzonych i obliczonych mieszczą się w
granicach obliczonych błędów.
4. Obliczyć błąd bezwzględny metodą różniczki zupełnej popełniony przy pomiarach pojemności 1mb kabla
koncentrycznego, korzystajÄ…c ze wzoru:
"Ck "C "l
öÅ‚
= Ä…ëÅ‚ +
ìÅ‚ ÷Å‚
(10)
C C l
íÅ‚ Å‚Å‚
5. Na papierze milimetrowym sporządzić wykres zależności pojemności C od długości L okładek kondensatora
cylindrycznego.
6. Korzystając ze wzoru na pojemność kondensatora cylindrycznego (5) zastosować metodę najmniejszych
kwadratów (instrukcja nr 17) do wyznaczenia współczynnika kierunkowego a prostej postaci y=ax+b, gdzie:
2Ä„µ0µ
y = C x = L a =
, ,
R2
ln
R1
Na podstawie współczynnika korelacji sprawdzić, czy zależność C=f(L) jest zależnością liniową. Po wyznaczeniu a,
obliczyć stałą dielektryczna przyjmując, że względna przenikalność dielektryczna suchego powietrza wynosi w
µo
przybliżeniu 1 ( = 1), a promienie okładek kondensatora cylindrycznego mają odpowiednio wartości R1=0,015m i
µ
R2=0,01648m. Wyniki obliczeń zanotować w tabeli 3.
7. Wyznaczyć odchylenie standardowe S = ą"a i na jego podstawie błąd względny a/a. Biorąc pod uwagę, że z
a "
"µ0 "a
=
metody różniczki zupełnej wynika, iż błąd względny . Podać błąd wyznaczenia " .
µo
µ0 a
Wyniki obliczeń i wnioski
Na osobnej stronie podać wyniki obliczeń: szeregowego i równoległego połączenia kondensatorów, pojemności
kabla koncentrycznego, stałej dielektrycznej . Napisać wnioski. Wyniki końcowe podać w postaci: x=x x.
µo Ä…"
Porównać uzyskaną wartość stałej dielektrycznej z wartością teoretyczną.
µ0
5
Tabele
Tabela 1: Wartości pomiarów pojemności kondensatorów, baterii kondensatorów i kabla koncentrycznego.
wielkość pomiar błąd pomiaru
C1 [ F]
µ
C [ F]
2 µ
C [ F] obliczenia błąd obliczony
3 µ
Cszer. [ F]
µ
C [ F]
równ. µ
C [ F]
k µ
l [m]
C [ F/m]
k/mb µ
Tabela 2: Pomiary pojemności kondensatora cylindrycznego.
l [mm] 85 80 ... ... ... 10 5 0
C [pF]
1
C2 [pF]
C [pF]
l= ... [mm] C= ... [pF]
" "
Tabela 3: Zestawienie wartości doświadczalnych i obliczeń metodą najmniejszych kwadratów.
lp. x y x2 xy y2 x+y (x +y )2 (y-ax-b)2
i i i i i i i i i i i i
1
2
3
.
.
.
n
n
"
i=1
6