WYKA
AD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ
II
dr. Elżbieta Kotlicka
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
A
ódz
2006
3
1. Przestrzenie metryczne.
Definicja 1.1. PrzestrzeniÄ… metrycznÄ… nazywamy parÄ™ (X, d), gdzie X = " oraz funkcja

d : X × X [0, +") speÅ‚nia nastÄ™pujÄ…ce warunki:
(1) '" [d(x, y) = 0 Ô! x = y],
x,y"X
(2) '" d(x, y) = d(y, x),
x,y"X
(3) '" d(x, y) d(x, z) + d(z, y).
x,y,z"X
Elementy zbioru X nazywamy punktami, zas funkcję d  metryką na X. Wartość d(x, y)
nazywamy odległością punktów x i y w metryce d.
Załóżmy dalej, że (X, d) jest dowolną przestrzenią metryczną.
Definicja 1.2. Kulą (otwartą) o środku w punkcie p0 " X i promieniu r > 0 nazywamy zbiór
def
K(p0, r) = {p " X : d(p, p0) < r}.
Definicja 1.3. Niech A ‚" X.
" Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy jest zawarty w pewnej kuli.
" ÅšrednicÄ… zbioru A nazywamy liczbÄ™
def
´(A) = sup{d(x, y) : x, y " A}.
Definicja 1.4. Niech pn " X dla n " N. Ciąg (pn)n"N nazywamy zbieżnym w przestrzeni
metrycznej (X, d) do punktu p0 " X, gdy
lim d(pn, p0) = 0.
n"
Zapisujemy wówczas: lim pn = p0 lub pn p0.
n"
Twierdzenie 1.5.
(a) Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej posiada tylko jedną granicę.
(b) Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony, tj. ograniczony jest zbiór jego
wartości.
(c) Jeśli ciąg jest zbieżny w przestrzeni metrycznej, to każdy jego podciąg jest zbieżny do tej
samej granicy.
Twierdzenie 1.6. Niech X = Rn, n " N. Jeśli pk = (xk, xk, . . . , xk) " X dla k " N *" {0}, to
1 2 n
lim pk = p0 Ô! '" lim xk = x0.
n n
k" n"N k"
Definicja 1.7. Niech A ‚" X.
" Punkt p0 " X nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A, gdy
(" K(p0, r) ‚" A.
r>0
" Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A nazywamy wnętrzem tego zbioru i oznaczamy
przez Int(A).
4
" Mówimy, że zbiór A jest otwarty, gdy każdy punkt zbioru A jest jego punktem wewnętrz-
nym.
Uwaga 1.8. Zbiór A ‚" X jest otwarty Ô! A = Int(A).
Twierdzenie 1.9. Każda kula jest zbiorem otwartym w dowolnej przestrzeni metrycznej.
Definicja 1.10. Niech p0 " X.
" Otoczeniem U(p0) punktu p0 nazywamy każdy zbiór otwarty zawierający ten punkt.
" Sąsiedztwem S(p0) punktu p0 nazywamy każdy zbiór postaci U(p0) \ {p0}.
Definicja 1.11. Niech A ‚" X.
" Mówimy, że zbiór A jest domknięty, gdy X \ A jest otwarty.
" Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór
A = {p0 " X : '" K(p0, r) )" A = "}.

r>0
Twierdzenie 1.12. Zbiór A ‚" X jest domkniÄ™ty Ô! A = A.
Definicja 1.13. Brzegiem zbioru A ‚" X nazywamy zbiór
def
Fr(A) = A )" X \ A.
Uwaga 1.14. Można wykazać, że Fr(A) = A \ Int(A).
Definicja 1.15. Niech p0 " X oraz A ‚" X.
" Mówimy, że punkt p0 jest punktem skupienia zbioru A, gdy
'" K(p0, r) )" (A \ {p0}) = ".

r>0
Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez Ad.
" Punkt p0 nazywamy punktem izolowanym zbioru A, gdy nie jest punktem skupienia
zbioru A.
Uwaga 1.16. Można wykazać, że A = A *" Ad.
Twierdzenie 1.17. Punkt p0 " X jest punktem skupienia zbioru A ‚" X wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje ciąg (pn)n"N taki, że
'" pn " A \ {p0} '" lim pn = p0.
n"
n"N
Definicja 1.18. Zbiór A ‚" Rn, n " N, nazywamy zbiorem spójnym, jeÅ›li jego dwa dowolne
punkty można połączyć łamaną zawartą w A. Na prostej zbiór A jest spójny wtedy i tylko
wtedy, gdy A jest przedziałem.
Uwaga 1.19. Pojęcie zbioru spójnego można wprowadzić w dowolnej przestrzeni metrycznej
w nastÄ™pujÄ…cy sposób: Zbiór A ‚" X jest spójny, gdy nie da siÄ™ przedstawić w postaci sumy
(U1 )"A)*"(U2 )"A), gdzie U1, U2 są zbiorami niepustymi i otwartymi takimi, że U1 )" U2 )" A = ".
Definicja 1.20. Niech n " N. Zbiór otwarty i spójny w Rn nazywamy obszarem.
2006-EK
5
2. Granica i ciągłość funkcji wielu
zmiennych
Niech n " N.
Definicja 2.1. FunkcjÄ™ f : A R, gdzie A ‚" Rn, nazywamy funkcjÄ… rzeczywistÄ… n
zmiennych rzeczywistych.
Definicja 2.2. Niech f : R2 R.
" Wykresem funkcji f nazywamy zbiór
G(f) = {(x, y, z) " R3 : (x, y) " Df '" z = f(x, y)},
gdzie Df oznacza dziedzinÄ™ funkcji f.
" Poziomicą funkcji f odpowiadającą poziomowi h " R nazywamy zbiór
{(x, y) " Df : f(x, y) = h}.
Definicja 2.3 (wg Cauchy ego). Niech A ‚" Rn i p0 " Rn. Załóżmy, że f : A R oraz p0 jest
punktem skupienia zbioru A. Liczbę g nazywamy n-krotną granicą właściwą funkcji f w
punkcie p0, gdy
'" (" '" [0 < d(p, p0) < ´ Ò! |f(p) - g| < µ].
µ>0 ´>0 p"A
Zapisujemy lim f(p) = g.
pp0
Definicja 2.4 (wg Heinego). Niech A ‚" Rn i p0 " Rn. Załóżmy, że f : A R oraz p0 jest
punktem skupienia zbioru A. Wówczas lim f(p) = g, gdy
pp0
'" [(pn " A \ {p0} '" lim pn = p0) Ò! lim f(pn) = g].
n" n"
(pn)
Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej definiujemy granice niewłaściwe w punkcie.
Uwaga 2.5. Dla n-krotnej granicy funkcji zachodzÄ… twierdzenia o arytmetyce granic funkcji,
twierdzenie o granicy funkcji złożonej oraz twierdzenie o trzech funkcjach analogicznie jak dla
funkcji jednej zmiennej.
Definicja 2.6. Niech A ‚" R2 oraz niech (x0, y0) " R2. Załóżmy, że f : A R, zaÅ› (x0, y0) jest
punktem skupienia zbioru A. Jeśli istnieją granice
lim (yy f(x, y)) oraz lim (xx f(x, y)),
lim lim
xx0 0 yy0 0
to nazywamy je granicami iterowanymi funkcji f w punkcie (x0, y0).
Uwaga 2.7. Istnienie granicy podwójnej w punkcie (x0, y0) " R2 jest niezależne od istnienia
granic iterowanych. Można jedynie wykazać, że jeśli istnieje granica podwójna i przynajmniej
jedna granica iterowana funkcji f w punkcie (x0, y0), to granice te są równe.
6
Definicja 2.8. Niech A ‚" Rn, f : A R i p0 " Rn.
" Funkcja f jest ciągła w punkcie p0, gdy
p0 " Ad (" (p0 " Ad '" lim f(p) = f(p0)).
/
pp0
" Funkcja f jest ciągła na zbiorze A, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
Uwaga 2.9.
1. Każda funkcja n-zmiennych jest ciągła w punktach izolowanych dziedziny.
2. Jeśli funkcja n-zmiennych jest ciągła w punkcie, to jest ciągła ze względu na każdą zmienną
oddzielnie. Stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
2.1. Własności funkcji ciągłych.
Niech n " N oraz p0 " Rn.
Twierdzenie 2.10. Jeśli funkcje f, g : U(p0) R są ciągłe w punkcie p0, to funkcje f + g,
f
f · g oraz (o ile g(p0) = 0) sÄ… również ciÄ…gÅ‚e w tym punkcie.

g
Twierdzenie 2.11. Jeśli funkcje f1, f2, . . . , fk : U(p0) R, gdzie k " N, są ciągłe w
punkcie p0, zaś funkcja g jest ciągła w q0 = (f1(p0), f2(p0), . . . , fk(p0)), to funkcja złożona
g(f1, f2, . . . , fk) jest ciągła w p0.
Twierdzenie 2.12 (o lokalnym zachowaniu znaku). Niech p0 " Rn. Jeśli funkcja
f : U(p0) R jest ciągła w punkcie p0 oraz f(p0) > 0, to
(" '" f(p) > 0.
U0(p0)‚"U(p0) p"U0(p0)
Twierdzenie 2.13 (Weierstrassa  o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Niech A ‚" Rn bÄ™dzie zbiorem domkniÄ™tym i ograniczonym. JeÅ›li f : A R jest ciÄ…gÅ‚a, to jest
ograniczona na zbiorze A, przy czym istnieją punkty p1, p2 " A takie, że
'" f(p1) f(p) f(p2).
p"A
Twierdzenie 2.14 (Darboux  o przyjmowaniu wartoÅ›ci poÅ›rednich). Niech A ‚" Rn
będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym oraz niech m = inf f[A], M = sup f[A]. Jeśli
f : A R jest ciągła, to
'" (" z = f(p).
z"[m,M] p"A
Twierdzenie 2.15 (Cantora  o ciÄ…gÅ‚oÅ›ci jednostajnej). Niech A ‚" Rn bÄ™dzie zbiorem
domkniętym i ograniczonym. Jeśli f : A R jest ciągła, to f jest jednostajnie ciągła na A,
tzn.
'" (" '" [d(p1, p2) < ´ Ò! |f(p1) - f(p2)| < µ].
µ>0 ´>0 p1, p2"A
Twierdzenie 2.16. Niech A ‚" Rn bÄ™dzie zbiorem spójnym. JeÅ›li funkcja f : A R jest ciÄ…gÅ‚a,
to zbiór f[A] jest spójny w R.
2006-EK
7
3. Rachunek różniczkowy funkcji
wielu zmiennych
Niech n " N oraz niech A będzie otwartym podzbiorem Rn.
3.1. Definicja i podstawowe własności pochod-
nej kierunkowej.
Definicja 3.1. Niech p0 " A, h " Rn oraz f : A R. Rozważmy zbiór otwarty w R
U = {t " R \ {0} : p0 + th " A}
oraz funkcjÄ™ F : U R danÄ… wzorem
def
f(p0 + th) - f(p0)
F (t) = dla t " U.
t
Jeśli istnieje skończona granica limF (t), to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji f
t0
w punkcie p0 w kierunku wektora h. Zapisujemy
def
f(p0 + th) - f(p0)
fh(p0) = lim .
t0
t
Definicja 3.2. Niech h " Rn oraz f : A R. Niech D ‚" A bÄ™dzie zbiorem punktów w których
istnieje pochodna kierunkowa funkcji f w kierunku wektora h. FunkcjÄ™
D p fh(p)
nazywamy pochodnÄ… kierunkowÄ… funkcji f w kierunku wektora h.
Uwaga 3.3. (Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej dla n = 2.) Niech
h = [h1, h2] " R2, p0 = (x0, y0) " A oraz f : A R. Oznaczmy przez k prostÄ… stycznÄ…
do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju powierzchni z = f(x, y) płaszczyzną zawierającą
punkt (x0, y0, 0) oraz równoległą do wektorów [h1, h2, 0] i e3 = [0, 0, 1]. Wówczas
fh(x0, y0) = tg Å‚,
gdzie ł oznacza kąt nachylenia prostej k do płaszczyzny Oxy.
Twierdzenie 3.4. Niech p0 " A oraz f : A R. Wez
my h1, h2 " Rn oraz ą " R. Wówczas
a) jeśli w punkcie p0 istnieje pochodna w kierunku wektora h1, to w punkcie tym istnieje
również pochodna w kierunku wektora ąh1 i zachodzi równość
fÄ…h (p0) = Ä… fh (p0);
1 1
b) jeśli w punkcie p0 istnieją pochodne w kierunku wektorów h1, h2 oraz przynajmniej jedna
z nich jest funkcją ciągłą w p0, to w punkcie tym istnieje również pochodna w kierunku
wektora h1+ h2 i zachodzi równość
fh +h2(p0) = fh (p0) + fh (p0).
1 1 2
Uwaga 3.5. Bez założenia ciągłości równość w części b) może nie zachodzić.
8
3.2. Definicja i podstawowe własności pochod-
nych czÄ…stkowych.
Dla ustalonego i " {1, . . . , n} oznaczmy przez ei wersor i-tej osi. Ponadto niech xi umownie
oznacza i-tą zmienną funkcji określonej w przestrzeni Rn.
Definicja 3.6. Niech p0 " A oraz f : A R. PochodnÄ… kierunkowÄ… fe (p0) (o ile istnie-
i
je) nazywamy pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p0 względem i-tej zmiennej.
"f
Oznaczamy jÄ… przez f (p0) lub (p0).
xi "xi
Uwaga 3.7. Istnienie pochodnych cząstkowych funkcji f w punkcie nie zapewnia ciągłości
funkcji w tym punkcie.
Definicja 3.8. Niech p0 " A oraz f : A R. Gradientem funkcji f w punkcie p0
nazywamy wektor
def
"f(p0) = [f (p0), . . . , f (p0)].
x1 xn
Twierdzenie 3.9. Niech p0 " A oraz f : A R. Jeśli pochodne cząstkowe f , i " {1, . . . , n},
xi
są ciągłe w punkcie p0, to istnieje pochodna kierunkowa funkcji f w p0 w kierunku dowolnego
wektora h " Rn oraz
fh(p0) = "f(p0) ć% h.
Uwaga 3.10.
1. Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie.
2. Dla n = 2 gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej
przez ten punkt.
3.3. Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych.
Dla ustalonego wektora h = [h1, . . . , hn] " Rn niech
def
h = h2.
i
Definicja 3.11. Niech p0 " A oraz f : A R. Jeśli istnieją pochodne cząstkowe f (p0) dla
xi
i " {1, . . . , n} oraz
f(p0 + h) - f(p0) - "f(p0) ć% h
lim = 0,
h0
h
to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p0.
Definicja 3.12. Niech p0 " A oraz f : A R. Załóżmy, że funkcja f posiada pochodną
kierunkową fh(p0) w kierunku dowolnego wektora h " Rn. Różniczką funkcji f w punkcie
p0 nazywamy funkcję df(p0) określoną wzorem
def
df(p0)(h) = fh(p0) dla h " Rn.
2006-EK
9
Jeśli f posiada pochodne cząstkowe ciągłe w punkcie p0, to funkcję df(p0) nazywamy różniczką
zupełną i zachodzi równość
df(p0)(h) = "f(p0) ć% h dla h " Rn.
Uwaga 3.13. (Interpretacja geometryczna funkcji różniczkowalnej w punkcie dla
n = 2.) Jeśli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie p0 = (x0, y0) " A, to
istnieje płaszczyzna styczna do wykresu funkcji w punkcie (x0, y0, f(x0, y0)) (płaszczyzna ta
jest prostopadła do wektora [fx(x0, y0), fy(x0, y0), -1]).
Twierdzenie 3.14 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji). Jeśli funkcja f : A R
jest różniczkowalna w punkcie p0 " A, to jest ciągła w tym punkcie.
Uwaga 3.15. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 3.16 (Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji). Jeśli funkcja
f : A R posiada na zbiorze A pochodne cząstkowe f , i " {1, . . . , n}, ciągłe w punkcie
xi
p0 " A, to f jest różniczkowalna w punkcie p0.
Uwaga 3.17. Ciągłość pochodnych cząstkowych nie jest jednak warunkiem koniecznym róż-
niczkowalności funkcji.
3.4. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wzór
Taylora dla funkcji wielu zmiennych.
Definicja 3.18. Niech p0 " A oraz f : A R. Załóżmy, że na pewnym otoczniu punktu p0
istnieją pochodne cząstkowe f , i " {1, . . . , n}. Wówczas pochodne cząstkowe drugiego
xi
rzędu funkcji f w punkcie p0 określamy wzorami:
def
'" fx xj(p0) = (fx ) x (p0).
i i j
i,j"{1,... ,n}
"2f
Jeśli i = j, to zamiast fx xj piszemy fx . Pochodne fx xj oznaczamy też symbolem .
2
i i "xi"xj
i
W przypadku gdy i = j, pochodne fx xj nazywamy pochodnymi czÄ…tkowymi mieszanymi

i
drugiego rzędu.
Uwaga 3.19.
1. W analogiczny sposób definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów.
2. Niech h1, h2 " Rn. Jeśli funkcja f posiada na pewnym otoczniu punktu p0 pochodną
kierunkową fh , to pochodną kierunkową drugiego rzędu w kierunku wektorów h1, h2
1
definiujemy następująco:
def
fh ,h2(p0) = (fh ) h (p0).
1 1 2
Twierdzenie 3.20 (Schwarza). Niech i, j " {1, . . . , n}. Jeśli funkcja f : A R posiada w
zbiorze A pochodne cząstkowe drugiego rzędu fx xj i fx xi ciągłe w punkcie p0 " A, to
i j
fx xj(p0) = fx xi(p0).
i j
10
Definicja 3.21. Niech p0 " A, f : A R oraz k " N. Załóżmy, że funkcja f posiada pochodne
cząstkowe k-tego rzędu ciągłe w punkcie p0. Funkcję d(k)f(p0) określoną wzorem
def
(k)
d(k)f(p0)(h) = fh,... ,h(p0) dla h " Rn,
nazywamy różniczką k-tego rzędu funkcji f w punkcie p0.
def
Dla ustalonych p, h " Rn niech [p, p + h] = {p + th : t " [0, 1]}.
Twierdzenie 3.22 (wzór Taylora). Niech p0 " A, f : A R oraz k " N. Załóżmy, że
funkcja f posiada w A ciągłe pochodne cząstkowe k-tego rzędu. Wówczas dla każdego h " Rn,
dla którego [p0, p0 + h] ‚" A, istnieje ¸ " [0, 1] takie, że
df(p0)(h) d(k-1)f(p0)(h) f(k)(p + ¸h)(h)
f(p0 + h) = f(p0) + + · · · + + .
1! (k - 1)! k!
3.5. Ekstrema lokalne i globalne funkcji.
Definicja 3.23 (ekstrema lokalne). Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie p0 " A
" maksimum lokalne, gdy
(" '" f(p) f(p0);
S(p0) p"S(p0))"A
" minimum lokalne, gdy
(" '" f(p) f(p0).
S(p0) p"S(p0))"A
Jeśli w powyższych warunkach nierówności   i   zastąpić odpowiednio przez  < i
 > , to otrzymamy definicje maksimum i minimum lokalnego właściwego.
Definicja 3.24 (ekstrema globalne). Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie p0 " A
" maksimum globalne, gdy
'" f(p) f(p0);
p"A
" minimum globalne, gdy
'" f(p) f(p0).
p"A
Twierdzenie 3.25 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego). Niech p0 " A
oraz f : A R. Jeśli funkcja f ma w punkcie p0 ekstremum lokalne i istnieją wszystkie
pochodne czÄ…stkowe fx (p0), to
i
"f(p0) = 0.
Uwaga 3.26. Jeśli funkcja f ma w punkcie p0 ekstremum lokalne i istnieje pochodna kierun-
kowa fh(p0) w kierunku wektora h " Rn, to fh(p0) = 0.
Twierdzenie 3.27. Niech A będzie ograniczonym i domkniętym podzbiorem Rn. Załóżmy, że
funkcja f : A R jest ciągła w A i oznaczmy przez
A1 = {p " Int(A) : '" fx (p) = 0}, A2 = {p " Int(A) : (" fx (p) nie istnieje }.
i i
i"{1,... ,n} i"{1,... ,n}
2006-EK
11
Wówczas
sup{f(p) : p " A} = sup{f(p) : p " Fr(A) *" A1 *" A2},
inf{f(p) : p " A} = inf{f(p) : p " Fr(A) *" A1 *" A2}.
Twierdzenie 3.28 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Załóżmy,
że funkcja f : A R posiada na pewnym otoczeniu U(p0) punktu p0 " A ciągłe pochodne
cząstkowe drugiego rzędu oraz "f(p0) = 0. Dla ustalonego k " {1, . . . , n} oznaczmy przez
def
wk(p0) = det[fx xj(p0)]i,j k. Wówczas
i
a) jeśli wk(p0) > 0 dla wszystkich k " {1, . . . , n}, to f ma w p0 minimum lokalne właściwe;
b) jeśli (-1)kwk(p0) > 0 dla wszystkich k " {1, . . . , n}, to f ma w p0 maksimum lokalne
właściwe;
c) jeśli wk (p0) < 0 dla pewnego parzystego k0 " {1, . . . , n}, to f nie posiada w p0 ekstremum
0
lokalnego.
Uwaga 3.29. W pozostałych przypadkach twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ekstremów
lokalnych.
12
3.6. Pochodne czÄ…stkowe funkcji wektorowych
i funkcji złożonych.
Niech n, k " N oraz niech A ‚" Rn bÄ™dzie zbiorem otwartym.
Definicja 3.30. FunkcjÄ™ F : A Rk nazywamy funkcjÄ… wektorowÄ….
Uwaga 3.31. Każdą funkcję wektorową F : A Rk można zapisać w postaci
F (p) = [f1(p), f2(p), . . . , fk(p)], p " A,
gdzie f1, f2, . . . , fk : A R. Ponadto dla dowolnego p0 " Ad
lim F (p) = [pp f1(p), lim f2(p), . . . , lim fk(p)],
lim
pp0 pp0 pp0
0
oraz dla dowolnego p0 " A i h " Rn
Fh(p0) = [(f1) h(p0), (f2) h(p0), . . . , (fk) h(p0)].
Definicja 3.32. Niech F : A Rk oraz F = [f1, f2, . . . , fk]. Jeśli funkcje fi, gdzie i " {1, . . . , k},
posiadajÄ… w punkcie p0 " A pochodne czÄ…stkowe (fi) x (p0) dla j " {1, . . . , n}, to macierz
j
[(fi) x (p0)]i k, nazywamy macierzÄ… Jacobiego funkcji F w punkcie p0.
j
j n
W przypadku gdy n = k wyznacznik tej macierzy nazywamy jakobianem funkcji F w punkcie
p0 i oznaczamy przez
def
JF (p0) = det[(fi) x (p0)]i k, .
j
j n
Twierdzenie 3.33 (o pochodnej funkcji zÅ‚ożonej). Niech D ‚" Rk bÄ™dzie zbiorem otwar-
tym. Załóżmy, że g : D R, [f1, f2, . . . , fk] = F : (a, b) Rk oraz F [(a, b)] ‚" D. JeÅ›li
funkcja g posiada w D ciągłe pochodne cząstkowe gx dla i " {1, . . . , k}, zaś funkcje fi, gdzie
i
i " {1, . . . , k}, są różniczkowalne na (a, b), to funkcja złożona g ć% F jest różniczkowalna na
(a, b), przy czym
k
(g ć% F ) (x) = gx (F (x))fi (x).
i
i=1
x"(a,b)
Twierdzenie 3.34 (o pochodnych czÄ…stkowych funkcji zÅ‚ożonej). Niech A ‚" Rn oraz
D ‚" Rk bÄ™dÄ… zbiorami otwartymi. Załóżmy, że g : D R, [f1, f2, . . . , fn] = F : A Rk oraz
F [A] ‚" D. JeÅ›li funkcja g posiada w D ciÄ…gÅ‚e pochodne czÄ…stkowe gx dla i " {1, . . . , k}, zaÅ›
i
funkcje fi, gdzie i " {1, . . . , k}, mają w A ciągłe pochodne cząstkowe (fi) x dla j " {1, . . . , n},
j
to funkcja złożona g ć% F ma w A pochodne cząstkowe, przy czym
k
(g ć% F ) x (p) = gx (F (p))(fi) x (p).
j i j
p"A i=1
j"{1,... ,n}
2006-EK
13
3.7. Funkcja uwikłana.
Niech A ‚" R2 bÄ™dzie zbiorem otwartym.
Definicja 3.35. Niech F : A R będzie funkcją ciągłą na A. Każdą funkcję ciągłą f : (a, b) R
taką, że dla każdego x " (a, b) równanie
(") F (x, y) = 0,
ma rozwiązanie y = f(x) nazywamy funkcją uwikłaną (względem x) wyznaczoną przez rów-
nanie (").
Analogicznie definiujemy funkcję uwikłaną względem y.
Twierdzenie 3.36 (o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej).
Załóżmy, że funkcja F : A R posiada ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na pewnym
otoczeniu V punktu p0 = (x0, y0) takiego, że
(1) F (p0) = 0,
(2) Fy(p0) = 0.

Wówczas na pewnym otoczeniu U(x0) istnieje jednoznacznie określona funkcja uwikłana f
(względem x) spełniająca warunki:
a) F (x, f(x)) = 0,
x"U(x0)
b) f(x0) = y0,
Fx(x, f(x))
c) f (x) = - .
Fy(x, f(x))
x"U(x0)
Uwaga 3.37. Jeśli ponadto funkcja F posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na
otoczeniu V , to funkcja uwikłana f jest dwukrotnie różniczkowalna na U(x0) oraz
Fxx(p)(Fy)2(p) - 2Fxy(p)Fx(p)Fy(p) + Fyy(p)(Fx)2(p)
f (x) = - , gdzie p =(x, f(x)).
(Fy)3(p)
x"U(x0)
Twierdzenie 3.38 (o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej).
Załóżmy, że funkcja F : A R posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na pewnym
otoczeniu V punktu p0 = (x0, y0) oraz
(1) F (p0) = 0, Fy(p0) = 0,

(2) Fx(p0) = 0,
Fxx(p0)
(3) I(p0) = - = 0.

Fy(p0)
Wówczas funkcja uwikłana f wyznaczona przez równanie (") posiada w punkcie x0 ekstremum
lokalne o wartości y0, przy czym jest to
" minimum lokalne, gdy I(p0) > 0 oraz
" maksimum lokalne, gdy I(p0) < 0.
Uwaga 3.39. Analogiczne twierdzenia zachodzą dla funkcji uwikłanej względem y.
14
3.8. Ekstrema warunkowe.
Niech A ‚" R2 bÄ™dzie zbiorem otwartym.
Definicja 3.40 (ekstrema warunkowe lokalne).
Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie p0 " A
" maksimum lokalne z warunkiem g(p) = 0, gdy
[g(p) = 0 Ò! f(p) f(p0)],
S(p0)‚"A p"S(p0)
" minimum lokalne z warunkiem g(p) = 0, gdy
[g(p) = 0 Ò! f(p) f(p0)].
S(p0)‚"A p"S(p0)
Jeśli w powyższych warunkach nierówności   i   zastąpić odpowiednio przez  < i
 > , to otrzymamy definicje ekstremów lokalnych właściwych.
Uwaga 3.41. W podobny sposób definiujemy również ekstrema warunkowe globalne.
2006-EK