October 30, 2010
1 GRANICE
Zalóżmy, że c jest stala i istniej¸ granice
¸ a
limxaf(x) oraz limxag(x).
Wtedy
1. limxa[f(x) + g(x)] = limxaf(x) + limxag(x)
2. limxa[f(x) - g(x)] = limxaf(x) - limxag(x)
3. limxa[cf(x)] = climxaf(x)
4. limxa[f(x)g(x)] = limxaf(x)· limxag(x)
limxaf(x)
5. limxa f(x) = jeśli limxag(x) = 0

g(x) limxag(x)
6. limxa[f(x)]n = [limxaf(x)]n, n liczba naturalna
7. limxac = c
8. limxax = a
9. limxaxn = an
" "
n n
10. limxa x = a
n n
11. limxa f(x) = limxaf(x)
1
+
Twierdzenie 1. limxaf(x) = L wtedy i tylko wtedy gdy limxa f(x) =
limxa-f(x) =L
Twierdzenie 2. JeÅ›li f(x) d" g(x) w otoczeniu punktu a, z możliwym wyj¸
atkiem
samego a i obie granice limxaf(x) i limxag(x) istniej¸ to
a
limxaf(x) d" limxag(x)
Twierdzenie 3. Jeśli f(x) d" g(x) d" h(x) w otoczeniu punktu a, z możliwym
wyj¸ samego a i
atkiem
limxaf(x) = limxah(x) = L
to
limxag(x) = L
2
2 Ci¸
aglość
Funkcj¸ f nazywamy ci¸ ¸ w a jeÅ›li
e agla
limxaf(x) = f(a)
Funkcj¸ f nazywamy ci¸ ¸ w a z lewej jeÅ›li
e agla
limxa-f(x) = f(a)
Funkcj¸ f nazywamy ci¸ ¸ w a z prawej jeÅ›li
e agla
+
limxa f(x) = f(a)
3
Twierdzenie 4. JeÅ›li f jest ci¸ w b i limxag(x) = b, to limxaf(g(x)) =
agle
f(b),
limxaf(g(x)) = f(limxag(x))
Twierdzenie 5. JeÅ›li funkcja g jest ci¸ w a i funkcja f jest ci¸ w g(a),
agla agla
to funkcja (fg)(x) = f(g(x)) jest ci¸ w a.
agla
Twierdzenie 6. (Twierdzenie o wartości średniej) Jeśli funkcja f jest
ci¸ na odcinku domkni¸ [a,b] i M jest dowoln¸ liczb¸ pomi¸ f(a) i
agla etym a a edzy
f(b), to istnieje liczba c z odcinka (a,b) taka, że f(c) = M.
4
Definicja
Niech f b¸ funkcja okreÅ›lon¸ po obu stronach a (w punkcie a nie musi
edzie ¸ a
być określona). Wtedy
a)
limxaf(x) = "
gdy funkcja f przybiera dowolnie duże wartości w dowolnie malym otoczeniu
a, t.j.
dla dowolnego N > 0 istnieje ´ > 0 : dla x " (a - ´, a + ´) f(x) > N
b)
limxaf(x) = -"
gdy funkcja f przybiera dowolnie male wartości w dowolnie malym otoczeniu
a, t.j.
dla dowolnego N > 0 istnieje ´ > 0 : dla x " (a - ´, a + ´) f(x) < -N
Definicja
Funkcja f jest określona na pewnym przedziale (a, +"). Wtedy
limx"f(x) = L
gdy dla dowolnego > 0 istnieje N > 0 takie, że dla x > N |f(x) - L| < .
Funkcja f jest określona na pewnym przedziale (-", a). Wtedy
limx-"f(x) = L
gdy dla dowolnego > 0 istnieje N > 0 takie, ż e dla x < -N |f(x)-L| < .
5
3 POCHODNE
Definicja
Pochodn¸ funkcji f w punkcie a, ozn. f (a), nazywamy liczb¸ b¸ a
a e ed¸
granic¸ ilorazów różnicowych, jeÅ›li taka granica istnieje,
a
f(x) - f(a)
f (a) = limxa .
x - a
Mówimy, że funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna, jeśli pochodna
istnieje w każdym punkcie dziedziny f, t.j. dla każdego x " (a, b).
f(x + h) - f(x)
f (x) = limh0
h
Uwaga: a, b mog¸ być równe +/ - "
a
6
Twierdzenie 7. JeÅ›li funkcja f jest różniczkowalna w a, to jest ci¸ w a.
agla
Definicja Dla danej funkcji f, definiujemy funkcj¸ pochodnej - f .
e
x - f (x)
JeÅ›li istnieje funkcja pochodnej funkcji f , to nazywamy j¸ funkcj¸ drugiej
a a
pochodnej:
f (x) = (f (x))
df dy d2f
d dv d2
Oznaczenia , , (f), , ,
dx dx dx dt dx2 dx2
7
Zasady różniczkowania
d
1. (xn) = nxn-1, n dowolna liczba rzeczywista
dx
d d
2. [cf(x)] = cdxf(x)
dx
3. JeÅ›li f i g s¸ funkcjami różniczkowalnymi, to
a
d d d
[f(x) + g(x)] = f(x) + g(x)
dx dx dx
4. JeÅ›li f i g s¸ funkcjami różniczkowalnymi, to
a
d d d
[f(x) - g(x)] = f(x) - g(x)
dx dx dx
5. JeÅ›li f i g s¸ funkcjami różniczkowalnymi, to
a
d d d
[f(x)g(x)] = f(x) [g(x)] + g(x) [f(x)]
dx dx dx
6. JeÅ›li f i g s¸ funkcjami różniczkowalnymi, to
a
d d
g(x)dx[f(x)] - f(x)dx[g(x)]
d f(x)
[ ] =
dx g(x) g(x)2
d
7. (sinx) = cosx
dx
d
8. (cosx) = -sinx
dx
d 1
9. (tgx) =
dx cos2x
d 1
10. (ctgx) = -sin x
2
dx
11. JeÅ›li f i g s¸ funkcjami różniczkowalnymi, to
a
[f(g(x))] (x) = f (g(x))g (x)
d
12. (ax) = axlna
dx
d 1
13. (logax) =
dx xlna
d 1
14. (lnx) =
dx x
g (x)
d
15. [lng(x)] =
dx g(x)
8
Liniowa aproksymacja
równanie stycznej
y = f(a) + f (a)(x - a)
zatem
f(x) H" f(a) + f (a)(x - a)
Przyklad
"
Znajdz
linearyzacj¸ funkcji f(x) = x + 3 w a = 1 i oblicz wartoÅ›ci
e
" "
przybliżone liczb 3, 98 i 4, 05.
Pochodna funkcji f(x) = (x + 3)1/2 jest równa
1 1
f (x) = (x + 3)-1/2 = "
2
2 x + 3
1
Wartość w a = 1: f(1) = 2 oraz f (1) =
4
Linearyzacja jest dana wzorem
1 7 x
L(x) = f(1) + f (1)(x - 1) = 2 + (x - 1) = +
4 4 4
Zatem
7 0, 98
3, 98 H" + = 1, 995
4 4
oraz
7 1, 05
4, 05 H" + = 2, 0125
4 4
Dla jakich wartości x to przybliżenie ma blad mniejszy od 0,5?
¸
Trzeba rozwiazać nierówność
¸
"
7 x
| x + 3 - ( + )| < 0, 5
4 4
9
Definicja (Ekstrema)
Funkcja f ma absolutne (globalne) maksimum w punkcie c, jeśli
f(c) e" f(x)
dla dowolnego x " domf.
Funkcja f ma absolutne (globalne) minimum w punkcie c, jeśli
f(c) d" f(x)
dla dowolnego x " domf.
Funkcja f ma lokalne maksimum w punkcie c, jeśli
f(c) e" f(x)
dla dowolnego x z pewnego otoczenia c.
Funkcja f ma lokalne minimum w punkcie c jeśli
f(c) d" f(x)
dla dowolnego x z pewnego otoczenia c.
Twierdzenie 8. Jeśli funkcja f ma lokalne minimum lub lokalne maksimum
w c, i jeśli w tym punkcie istnieje pochodna, to f (c) = 0.
Definicja
Punktem krytycznym funkcji f nazywamy taki punkt dziedziny funkcji dla
którego albo pochodna w tym punkcie istnieje i jest równa zero (f (c) = 0)
albo f (c) nie istnieje w tym punkcie.
Jeśli f ma lokalne ekstremum w punkcie c, to c jest punktem krytycznym
funkcji f.
10
Metoda domkni¸ odcinka
etego
Żeby znalez
ć globalne maksimum i minimum funkcji ciaglej f na odcinku
¸
domkni¸ należy:
etym
1. Znalez
ć wartości funkcji f w punktach krytycznych funcji f na odcinku
(a,b),
2. Znalez
ć wartości funkcji f na końcach przedzialu, tj. w a i b,
3. Najwi¸ wartość z kroków 1 i 2 jest globalnym maksimum, a na-
eksza
jmniejsza globalnym minimum.
11
Twierdzenie 9. JeÅ›li f jest funkcj¸ różniczkowaln¸ na odcinku (a,b), i
a a
ci¸ ¸ na odcinku [a,b], to istnieje c " (a, b) takie że
agla
f(b) - f(a)
f (c) =
b - a
lub równoważnie
f(b) - f(a) = f (c)(b - a).
12
Funkcje monotoniczne
Funkcj¸ f nazywamy rosn¸ a na odcinku (a,b) jeÅ›li
e ac¸
"x1, x2 " (a, b) : x1 < x2 Ò! f(x1) < f(x2)
Funkcj¸ f nazywamy malej¸ a na odcinku (a,b) jeÅ›li
e ac¸
"x1, x2 " (a, b) : x1 < x2 Ò! f(x1) > f(x2)
Monotoniczność - Test pierwszej pochodnej
(a) JeÅ›li f (x) > 0 dla x " (a, b), to funkcja f jest rosn¸ na odcinku
aca
(a,b).
(b) Jeśli f (x) < 0 dla x " (a, b), to funkcja f jest malejaca na odcinku
¸
(a,b).
Dowód Wez
my dowolne x1 < x2 " (a, b). Wtedy funkcja f jest ciagla na
¸
[x1, x2] i różniczkowalna na (x1, x2). Zatem
f(x2) - f(x1) = f (c)(x2 - x1)
dla pewnego c " (x1, x2).
Jeśli funkcja f jest dodatnia na (a, b), to
f(x2) - f(x1) > 0 Ô! f(x2) > f(x1)
czyli funkcja f jest rosn¸
aca.
Jeśli funkcja f jest ujemna na (a, b), to
f(x2) - f(x1) < 0 Ô! f(x2) < f(x1)
czyli funkcja f jest malejaca.
¸
13
Punkt krytyczny - Test pierwszej pochodnej
Zalóżmy, że c jest punktem krytycznym ciaglej funkcji f.
¸
(a) JeÅ›li f zmienia si¸ z funkcji dodatniej na ujemn¸ w c, to f ma lokalne
e a
maksimum w c.
(b) JeÅ›li f zmienia si¸ z funkcji ujemnej na dodatnia w c, to f ma lokalne
e ¸
minimum w c.
(c) Jeśli f nie zmienia znaku (tj. f jest albo dodatnie albo ujemne po
obu stronach c,) to f nie ma ekstremum w c.
Definicja
Mówimy, że funkcja f (lub jej wykres) jest wypukla na odcinku (a, b) jeśli
funkcja f jest funkcj¸ rosn¸ na tym odcinku.
a a
Mówimy, że funkcja f (lub jej wykres) jest wkl¸ na odcinku (a, b) jeÅ›li
esla
funkcja f jest funkcj¸ malej¸ a na tym odcinku.
a ac¸
Punkt przegi¸
ecia
Test wypuklości
(a) Jeśli f (x) > 0 dla wszystkich x " (a, b), to funkcja f jest wypukla
na odcinku (a,b).
(b) JeÅ›li f (x) < 0 dla wszystkich x " (a, b), to funkcja f jest wkl¸ na
esla
odcinku (a,b).
Test drugiej pochodnej dla ekstremów
Zalóżmy, że funkcja f jest ciagla w otoczeniu c.
¸
(a) Jeśli f (c) = 0 oraz f (c) > 0, to f ma lokalne minimum w c.
(a) Jeśli f (c) = 0 oraz f (c) < 0, to f ma lokalne maksimum w c.
14
4 Granice - formy nieokreślone
lnx
limx1
x - 1
Twierdzenie 10. (Regula de l Hospital a)
Zalóżmy, że funkcje f i g s¸ różniczkowalne i g(x) = 0 w otoczeniu a
a
(może z wyj¸ samego a). JeÅ›li
atkiem
limxaf(x) = 0 oraz limxag(x) = 0
albo
limxaf(x) = Ä…" oraz limxag(x) = Ä…"
0 "
(Innymi slowy mamy form¸ nieokreÅ›lon¸ lub ). Wtedy
e a
0 "
f(x) f (x)
limxa = limxa
g(x) g (x)
jeśli granica po prawej stronie istnieje (lub jest równa " albo -").
15
Przyklad Oblicz
lnx
limx1
x - 1
Rozwiazanie:
¸
Ponieważ limx1lnx = 0 oraz limx1(x-1) = 0 możemy stosować regul¸
e
de l Hospitala. Zatem
d
(lnx)
lnx 1/x 1
limx1 = limx1 ddx = limx1 = limx1 = 1
x - 1 1 x
(x - 1)
dx
Nieokreślone iloczyny
Jeśli limxaf(x) = 0, a limxag(x) = " lub -", to trudno określić do
czego zmierza iloczyn tych funkcji, tj. limxaf(x).g(x) =?.
f g
Możemy zapisać fg = albo fg =
1/g 1/f
Przyklad
+
Oblicz limx0 xlnx
Rozwiazanie:
¸
lnx 1/x
+ + + +
limx0 xlnx = limx0 = limx0 = limx0 (-x) = 0
1/x -1/x2
Nieokreślone różnice
Jeśli limxaf(x) = ", oraz limxag(x) = ", to trudno określić do czego
zmierza różnica tych funkcji, tj. limxaf(x) - g(x) =?.
Przyklad
1
Oblicz limx(Ä„/2)-(cosx - tgx).
Rozwiazanie:
¸
1 1 sinx
limx(Ä„/2)-( - tgx) = limx(Ä„/2)-( - )
cosx cosx cosx
1 - sinx -cosx
= limx(Ä„/2)- = limx(Ä„/2)- = 0.
cosx -sinx
16
NieokreÅ›lone pot¸
egi
S¸ to granice funkcji postaci
a
limxa[f(x)]g(x)
w nast¸ acych przypadkach
epuj¸
1. limxaf(x) = 0 oraz limxag(x) = 0 (typ 00);
2. limxaf(x) = " oraz limxag(x) = 0 (typ "0);
3. limxaf(x) = 1 oraz limxag(x) = Ä…" (typ 1");
W każdym z tych przypadków funkcj¸ [f(x)]g(x) zapisujemy w postaci
e
[f(x)]g(x) = eg(x)lnf(x)
Wtedy g(x)lnf(x) jest nieokreślonym iloczynem i możemy stosować wypra-
cowane metody.
Co wi¸
ecej
xa
limxa[f(x)]g(x) = elim g(x)lnf(x).
Przyklad
+
a) Oblicz limx0 (1 + sin4x)ctgx.
Rozwiazanie:
¸
ln[(1 + sin4x)ctgx] = ctgxln(1 + sin(4x))
i wtedy
4cos4x
1+sin4x
+ + +
limx0 ctgxln(1 + sin(4x)) = limx0 ln(1+sin(4x)) = limx0 = 4
1
tgx
cos2x
Zatem
+
limx0 (1 + sin4x)ctgx = e4.
+
b) Oblicz limx0 xx.
Rozwiazanie:
¸
+
Wiemy, że limx0 xlnx = 0. Zatem
x0+
+ +
limx0 xx = limx0 exlnx = elim xlnx = e0 = 1.
17