Akademia Górniczo-Hutnicza
im. Stanisława Staszica w Krakowie
WIMiR
Teoria sprężystości i plastyczności
Temat: Energia sprężysta
Opracowali:
Chudzik A
ukasz
Ciejka Jakub
gr. W1
Pierwsze prawo termodynamiki
Bryłę składająca się z dużej ilości punktów w termodynamice nazywamy układem fizycznym,
a resztę nie należącą do układu otoczeniem. Termodynamiczny stan układu charakteryzowany
jest przez parametry zewnętrzne: siły zewnętrzne, natężenie pola, temperatura, wilgotność itp.
oraz parametry wewnętrzne: gęstość, skład chemiczny, naprężenia, przemieszczenia czy
temperatura.
Funkcje, której zmiennymi są parametry nazywamy równaniem stanu. Jeśli parametry są
niezależne od czasu, mówmy że, że układ znajduje się w równowadze termodynamicznej.
Można pokazać, że równowaga termodynamiczna pociąga za sobą równowagę mechaniczną,
chemiczną i cieplną. Charakter równowagi cieplnej zależy od osłon odgradzających układ od
otoczenia. Wyróżniamy 3 rodzaje osłon: adiabatyczna, diatermiczna i izotermiczna.
Osłona adiabatyczna charakteryzuje się tym, że nie pozwala na zmiany stanu za pomocą
wymiany ciepła. Jeżeli w procesie adiabatycznym przeprowadziliśmy układ od jednego stanu
do drugiego w czasie "t, praca zewnętrzna L jest niezależna od sposobu tego przejścia a więc
istnieje pewna funkcja stanu W, zwana energią wewnętrzną układu, której przyrost w czasie
"t jest równy pracy dostarczonej układowi w tym czasie.
Wynik doświadczenia można zapisać:
Lub po przejściu do granicy "t0
Energię wewnętrzną można przedstawić w postaci sumy energii potencjalnej Wp oraz energii
kinetycznej Wk.
Przy założeniu małej prędkości zmian układu to czyli a powyższy wzór
przyjmie postać:
Równanie stanu- potencjał sił wewnętrznych:
Przyrost pracy sił zewnętrznych można zapisać:
są przyrostami przemieszczeń w czasie dt
gdzie
Wykorzystując związki jakie zachodzą między gęstością sił zewnętrznych a gęstością sił
wewnętrznych na powierzchni bryły czyli mamy:
Na podstawie twierdzenia Greena-Gaussa-Ostrogradskiego o zamianie całki powierzchniowej
na objętościową, można powyższą zależność zapisać w postaci:
Uwzględniając równania równowagi wewnętrznej (równania Naviera), które odpowiadają
przypadkowi statycznemu mamy:
Możemy zapisać że:
Zgodnie z równaniem Cauchy ego a także uwzględniając, że mamy:
Przyrost pracy sił zewnętrznych w czasie dt równy jest przyrostowi pracy sił wewnętrznych i
jest równocześnie równy przyrostowi energii potencjalnej opisuje to powyższe mechaniczne
równanie stanu.
Przyjmijmy że gęstość energii (energia wewnętrzna odniesiona do jednostki objętości)
wyraża się wzorem:
Możemy zapisać że:
Co oznacza że:
Siły wewnętrzne wykonują pracę tylko gdy występuje deformacja bryły, a więc praca jest
funkcją przemieszczeń.
Różniczkując względem t otrzymujemy:
Porównując wzory otrzymujemy:
Mechaniczne równanie stanu zapiszemy w innej postaci iloczynu skalarnego: tensora
naprężenia i tensora prędkości odkształceń
Dwa ostatnie składniki sum występującej w wyrażeniu podcałkowym są równe zeru, bo np.
dla trzeciego składnika:
Mamy zatem:
Dla związków fizycznych w postaci prawa Hooke a łatwo znajdziemy całkowitą energię
potencjalną bryły. Wykorzystamy bowiem zależności:
- prawo zmiany postaci
- prawo zmiany objętości
Możemy więc zapisać:
L=
lub
L=
Całkując obustronnie równość względem t i używając wcześniejsze wzory na prawo zmiany
postaci i objętości otrzymujemy:
L=
Energia wyraża się więc sumą dwóch składników. Jak wiemy dewiator powoduje
odkształcenie tylko postaciowe, zaś aksjator tylko objętościowe, stąd pierwsza całka wyraża
energię zużytą na zmianę postaci, a druga na zmianę objętości.
Pojęcie gęstości energii możemy zapisać:
Gdzie:
- gęstość energii sprężystej związanej ze zmianą postaci
- gęstość energii sprężystej związanej ze zmianą objętości
W zależności od potrzeb poszczególne gęstości możemy wyrazić przez same naprężenia bądz

przez odkształcenia jeśli tylko odpowiednio wykorzystamy prawo zmiany postaci i prawo
zmiany objętości. Gęstość energii odkształcenia postaciowego wyrażoną poprzez naprężenia
obliczamy:
Możemy wprowadzić stałe materiałowe E i i wtedy otrzymamy:
Po wprowadzeniu symboli klasycznych otrzymujemy:
Postępując podobnie możemy wyrazić poprzez odkształcenia:
A więc:
Gęstość energii odkształcenia objętościowego wyrażona poprzez naprężenia przyjmie postać:
Czyli:
Po rozpisaniu mamy:
Gęstość energii odkształcenia objętościowego w odkształceniach wynosi:
Gęstość całkowitej energii w naprężeniach obliczamy sumując gęstość energii odkształcenia
postaciowego i objętościowego :
Po wprowadzeniu symboli klasycznych wzór ten przyjmuje postać:
Gęstość całkowitej energii w odkształceniach obliczamy:
Całkowita energia sprężysta pręta obciążonego siłą osiową, obciążeniami poprzecznymi oraz
skręcającymi. Energetyczny współczynnik ścinania.
Każdą z całek przekształcono osobno:
Całkę należy policzyć w każdym charakterystycznym przedziale osobno.
Gdzie n- liczba przedziałów charakterystycznych o długości
Druga całka przyjmuje postać:
Powyższa całka jest momentem statycznym przekroju poprzecznego względem osi y. Jeśli
osie y i z sÄ… osiami centralnymi to moment statyczny wynosi zero. .
Dla trzeciej całki:
Przekształcając ostatnią całkę:
OznaczajÄ…c:
Współczynnik zdefiniowany tym wzorem jest wielkością stałą różną dla różnych
przekrojów poprzecznych, jest zwany energetycznym współczynnikiem ścinania. Ostatnią
całkę można zapisać:
Wzór na całkowitą energię potencjalną pręta:
Zadanie 1
Energia właściwa odkształcenia postaciowego określona jest wzorem ogólnym:
Więc w przypadku jednoosiowego rozciągania jedynie składnik jest różny od zera.
Całkowita energia odkształcenia postaciowego wyniesie:
Gdzie .
Podobnie obliczamy energię sprężystości odkształcenia objętościowego .
Całkowita energia sprężystości wynosi:
Udział energii odkształcenia postaciowego i objętościowego w energii całkowitej można
określić za pomocą współczynników:
1,2
1
0,8
kf, kv
0,6
kf
0,4 kv
0,2
0
0 0,5
½
Zadanie 2
Energia odkształcenia objętościowego:
Równania momentu gnącego:
Wyprowadzając wzór na energię odkształcenia objętościowego otrzymujemy:
Energia odkształcenia postaciowego:
Równanie siły tnącej:
Wyprowadzając wzór na energię odkształcenia postaciowego otrzymujemy:
Analogicznie do rozważań o zauważono, że pierwsza całka równa się:
Kolejno druga całka wynosi:
Na mocy definicji energetycznego współczynnika ścinania stwierdzono, że:
Co po wstawianiu do obliczeń da:
Sumarycznie więc wynosić będzie (dla rozpatrywanego przekroju k = 1,2):
Odp:
Zadanie 3
Dla przekroju prostokÄ…tnego o wymiarach b x h otrzymujemy:
PodstawiajÄ…c za
Gdzie: ; ; ; .
StÄ…d:
Dla przekroju dwuteowego :
Z uwagi na przekrój dwuteowy otrzymujemy:
Po uwzględnieniu symetrii przekroju otrzymano:
Zadanie 4
1) Pierwsza całka ze wzoru na U jest równa:
2) Druga całka ze wzoru na U jest równa:
Otrzymujemy:
Energia odkształcenia objętościowego:
Udział energii odkształcenia objętościowego w całkowitej energii:
Analogicznie przeprowadzono obliczenia dla udziału energii odkształcenia postaciowego w
całkowitej energii:
Zadanie 5a
Równania sił poprzecznych i momentów:
Równanie różniczkowe osi ugiętej z uwzględnieniem ścinania:
Po podstawieniu wyrażenia za moment gnący i uwzględnieniu :
Równanie całkujemy dwukrotnie:
Ustalając warunki brzegowe zauważamy, że nawet dla utwierdzenia ( , .
Przyjmujemy więc dla:
Drugi warunek brzegowy identyczny jak przy samym zginaniu:
Po wyliczeniu otrzymujemy:
Równanie osi ugiętej wynosić będzie:
Co daje strzałkę ugięcia:
Pierwszy składnik sumy przemieszczeń będzie wywołany samym zginaniem a drugi samym
ścinaniem.
Zakładając prostokątny przekrój belki ( ) i określono stosunek:
*Wykres nie osiąga wartości 0. Dla ostatniej wartości na osi x , wartość na osi y
wynosi .
Zadanie 5b
Zgodnie z tw. Castigliana (po uwzględnieniu energii od ścinania):
Strzałka ugięcia f równa się więc:
Równania momentów i sił tnących wynoszą:
Strzałka ugięcia f równa się: