Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM
Matematyka
Poziom rozszerzony
Listopad 2008
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
µ 1. Podanie dziedziny wyraÅ»enia: x !-2 i x ! 6.1
Skorzystanie z w"asnoĘci wartoĘci bezwzgl´dnej i doprowadzenie wyraÅ»enia 1
2
2
do postaci: _x -2i -16 $ .
x2 -4x -12
Zastosowanie wzoru skróconego mnoŻenia i przekszta"cenie wyraŻenia 1
2
do postaci: x2 -4x -12 $ .
x2 -4x -12
Doprowadzenie wyraŻenia do najprostszej postaci: 2.1
2. Przekszta"cenie równania do postaci uporządkowanej: x2 +(m +3) x -9 =0.1
Zapisanie warunku, przy którym równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania: 1
" H 0 i stwierdzenie, Że m ! R.
2
2 2
Przekszta"cenie warunku x1 +x2 +3x1 x2 =0 do postaci: x1+x2 +x1 x2 =0.1
_ i
2 2
Zastosowanie wzorów Viete a: x1+x2 +x1 x2 =`-_m +3ij -9 =m2 +6m =0. 1
_ i
Rozwiązanie równania kwadratowego i podanie odpowiedzi: m =0 lub m =-6. 1
2
2
3 +1
` j
3
1
3. Zapisanie liczby a w postaci: a = + = =4 +2 3 =2 + 3.1
f p
2 2 4 4 2
3
Zapisanie liczby b w postaci: b =1 - =2 - 3.1
2 2
Przedstawienie wielomianu w postaci iloczynowej: W (x) =x 4x2 -8x +1 .1
ak
Rozwiązanie równania kwadratowego i podanie pierwiastków wielomianu: 1
x1=0, x2 =2 - 3, x3=2 + 3.
2 2
Stwierdzenie, Że liczby a i b są pierwiastkami wielomianu.
4. Zastosowanie w"asnoĘci ciągu geometrycznego i zapisanie równania: 1
2
x2 +3x =(x +3)( 11x -2).
a k
Przekszta"cenie równania do postaci iloczynowej: 1
(x +3)( x3 +3x2 -11x +2) =0
www. operon. pl
1
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
Skorzystanie z twierdzenia Bezouta i obliczenie ilorazu wielomianu 1
x3 +3x2 -11x +2 przez dwumian x -2: x2 +5x -1.
Rozwiązanie równania x2 +5x -1: x =-5 - 29 lub x =-5 + 29.1
2 2
Sprawdzenie rozwiązał
z warunkami zadania i zapisanie odpowiedzi: x =2. 1
5. Zapisanie równania prostej l przechodzącej przez początek uk"adu 1
wspó"rz´dnych np. w postaci ogólnej: -ax +y =0.
-a $ _-3i +1 $ _-4i +0
Zapisanie odleg"oĘci prostej l od punktu A: d (l, A) = . 1
2
_-ai +12
-a $ _-3i +1 $ _-4i +0
Zapisanie równania: =3.1
2
_-ai +12
Doprowadzenie równania do postaci: 3 $ a2 +1 = 3a -4 .1
7
Rozwiązanie równania i zapisanie równania prostej: -24 x +y =0.1
6. SporzÄ…dzenie rysunku wraz z oznaczeniami: 1
DC
F
E
A B
G
Wykorzystanie równoĘci pól figur do obliczenia wysokoĘci trójkąta 1
CBF: BG =12.
Wykorzystanie równoĘci pól do obliczenia wysokoĘci trapezu ABFE: FG =3. 1
Obliczenie d"ugoĘci odcinka BF : BF =3 17.1
Obliczenie d"ugoĘci odcinka BC : BC =15.1
Obliczenie obwodu: Obw. =48 1
Obliczenie cosinusa ]CBF: ]CBF =19 17.1
85
7. Zastosowanie wzoru sin2 x +cos2 x =1 do zapisania równania w postaci: 1
2 1 -sin2 x =3 sin x i przekszta"cenia równania do postaci uporządkowanej:
ak
2 sin2 x +3 sin x -2 =0.
www. operon. pl
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
Przekszta"cenie równania trygonometrycznego do postaci równania 1
kwadratowego: np. 2t2 +3t -2 =0, gdzie t =sin x i t ! (01).
,
1
Rozwiązanie równania kwadratowego: sin x =-2 lub sin x =2.1
Uwzgl´dnienie za"oÅ»eÅ‚
i zapisanie rozwiązania równania trygonometrycznego: 1
x =r.
6
8. Zapisanie drugiego, trzeciego i piÄ…tego wyrazu ciÄ…gu za pomocÄ… wyrazu 1
pierwszego i róŻnicy: a2 =a1+r, a3=a1+2r, a5=a1+4r.
a1 a +2r
Zapisanie równania w postaci: =a1+4r. 1
a1+r
1
Przekszta"cenie równania do postaci: a1r -2r2 =0.1
Rozwiązanie równania i podanie odpowiedzi: r =0 i a1! R+ 1
_i
lub a1=2r i r ! R -{0} .
_i
9. Wprowadzenie oznaczeł
: np. h  wysokoĘç trójkÄ…ta równoramiennego 1
odpowiadająca bokowi d"ugoĘci 6, r  promieł
okr´gu wpisanego w trójkÄ…t
równoramienny, hb  wysokoĘç Ęciany bocznej ostros"upa.
Obliczenie wysokoĘci trójkąta równoramiennego odpowiadającej bokowi 1
d"ugoĘci 6: h =4.
3
Obliczenie promienia okr´gu wpisanego w trójkÄ…t ABC: r =2 cm.1
5
Obliczenie wysokoĘci Ęciany bocznej ostros"upa: hb =2 cm.1
Obliczenie pola powierzchni ca"kowitej ostros"upa: 32cm2.1
10. Wykorzystanie wzoru na liczb´ permutacji bez powtórzeÅ‚
zbioru 1
(x -2)-elementowego oraz (x -1)-elementowego i zapisanie:
P(x - 2) =(x -2)!, P(x - 1)=(x -1)!
Wykorzystanie wzoru na liczb´ 2-elementowych wariacji bez powtórzeÅ‚
1
zbioru x-elementowego i zapisanie:
2
x!
Vx =
_x -2i!
Zapisanie równania w postaci: 1
x!
_x -2i! $ =10 $ _x -1i!
_x -2i!
Rozwiązanie równania: x =10.1
x + 1
3
11. Zapisanie wzoru funkcji g: g (x) = +2.1
c2 m
www. operon. pl
3
Matematyka. Poziom rozszerzony
Próbna Matura z OPERONEM i  Gazetą Wyborczą
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
Narysowanie wykresu funkcji g: 1
Y
5
x + 1
3
4
g(x) =  + 2
( )
2
3
2
1
 5  4  3  2  1 1 2 3 4 5 6 X
 1
 2
Wskazanie najwi´kszej liczby m, dla której równanie g (x) =m nie ma rozwiÄ…zania: 1
m =2.
www. operon. pl
4