Wyklad 2
Krzysztof Makarski
4. Użyteczność.
Preferencje nie sa wygodne do analizy zachowania konsumenta, jest to niewygodny w ob-
sludze obiekt matematyczny. Dlatego wprowadzamy funkcje użyteczności, kt re opisuje pref-
erencje. Zastanowimy sie też czy dla każdych preferencji istnieje funkcja użyteczności opisu-
jaca te preferencje. Powoli zbliżamy sie do optymalnego wyboru, po użyteczności bedziemy
m wić o ograniczeniu budżetowym, a potem przejdziemy do wyboru.
Funkcja użyteczności opisuje preferencje, nie jest miara szcześcia, lub zadowolenia.
Funkcja użyteczności uporzadkowywuje koszyki d br, w ten sam spos b co preferencje.
Pamietajmy preferencje sa pierwotne, funkcja użyteczności jest wt rna.
Definicja 1 M wimy, że u(x1, x2) opisuje preferencje , gdy dla dowolnych (x1, x2), (y1, y2)
u(x1, x2) e" u(y1, y2) wtedy i tylko wtedy (x1, x2) u(y1, y2)
Dla dowolnych preferencji istnieje wiele funkcji użyteczności opisujacych je, w szczeg lności
dokonanie monotonicznej transformacji nie zmienia preferencji.
Monotoniczna transformacja - funkcja f(u) jest monotoniczna transformacja jeżeli u1 > u2
implikuje f(u1) > f(u2).
Twierdzenie 1 Jeżeli u(x1, x2) jest funkcja użytecznósci opisujaca preferencje , oraz f(u)
jest dowolna monotoniczna transformacja, to f[u(x1, x2)] opisuje te same preferencje .
Dow d. Jeżeli u(x1, x2) opisuje preferencje , w wczas u(x1, x2) e" u(y1, y2) wtedy i
tylko wtedy gdy (x1, x2) (y1, y2). Ponadto jeżeli f(u) jest monotoniczna transformacja, to
u(x1, x2) e" u(y1, y2) wtedy i tylko wtedy gdy f[u(x1, x2)] e" f[u(y1, y2)]. Z powyższych otrzy-
mujemy f[u(x1, x2)] e" f[u(y1, y2)] wtedy i tylko wtedy gdy (x1, x2) (y1, y2) co oznacza, że
f[u(x1, x2)] opisuje preferencje .
Każda funkcja rosnaca jest monotoniczna transformacja.
Rysunek 4.1
Użyteczność kardynalna.
Sa r żne sposoby definiowania użyteczności kardynalnej. Wsp lnym mianownikiem, r żnych
definicji jest możliwość stwierdzenia, że jeden koszyk jest dwa razy lepszy niż drugi. W
naszych analizach nie jest to nam potrzebne, wobec czego funkcja użyteczności sluży nam
1
tylko i wylacznie do opisania, że jakiś koszyk jest nie gorszy od innego koszyka. Nie sluży
nam do opisania że coś jest ileś razy lepsze niż coś innego.
Budowa funkcji użyteczności.
Każdej krzywej obojetności przypisujemy liczbe rzeczywista.
Rysunek 4.2
Czy dla każdych preferencji istnieje funkcja użyteczności opisujaca je? Odpowiedz
brzmi nie,
patrz poniższy przyklad.
Przyk ad 1 Rozważmy leksykograficzne preferencje zdefiniowane dla dw ch d br konsump-
cyjnych. Leksykograficzne preferencje maja nastepujaca posta´ Dla dowolnych dw ch koszyk w
c.
x i y. M wimy że x y jeżeli x1 e" y1 lub x1 = y1 i x2 e" y2. Czyli konsument woli ten
koszyk, kt ry ma wiecej dobra 1, a jeżeli dwa koszyki maja tyle samo dobra 1 to woli ten,
kt ry ma wiecej dobra 2. Ta relacja preferencji jest zupe na, zwrotna, przechodnia, ´scísle
monotoniczna i´ wypuk a. Te preferencje sa ciekawe, bo krzywe obojetnósci maja posta´c
scísle
punktu (rysunek na wyk adzie). Można udowodni´ że nie istnieje funkcja użytecznósci kt ra
c
by ja opisywa a. Intuicyjnie rzecz ujmujac, nie da sie przypisa´ każdej krzywej obojetnósci
c
coraz wiekszej i wiekszej liczby rzeczywistej.
Niekt re przyk ady funkcji użyteczności.
" Dobra doskonale substytucyjne: u(x1, x2) = ax1 + bx2.
" Dobra doskonale komplementarne: u(x1, x2) = min{ax1, bx2}
" Preferencje quasi-liniowe: u(x1, x2) = v(x1) + x2.
Rysunek 4.4
" Preferencje Cobba-Douglasa: u(x1, x2) = xÄ…x².
1 2
Zauważ, że dowolne preferencje Cobba-Douglasa można wyrazić za pomoca takiej funkcji
użyteczności Cobba-Douglasa, dla kt rej wykladniki dodaja sie do 1. Udowodnij to.
Krańcowa użyteczność.
"U(x1, x2)
MU1 =
"x1
"U(x1, x2)
MU2 =
"x2
Krańcowa użyteczność a stopa substytucji
2
Krańcowa stope substytucji w punkcie (x1, x2) liczymy z nastepujacego wzoru
Å» Å»
MU1(x1, x2)
Å» Å»
MRS(x Å» = -
Ż1,x2)
MU2(x1, x2)
Å» Å»
(pamietamy o minusie).
Użyteczność z dojazd w
Autobus czy samoch d? Domenich i McFadden (1975)
Przypuśćmy, że x reprezentuje n cech dojazdu samochodem, a y wartości tych samych
cen przy dojez
dzie autobusem. Przypuśćmy, że funkcja użyteczności ma nastepujaca postać
U(x1, x2, ..., xn) = x1+ x2+...+ xn. Korzystajac z metod statystycznych możemy osza-
1 2 n
cować parametry tej funkcji, badanie Domenicha i McFaddena dostarcza nam nastepujacego
oszacowania
U(T W, T T, C) = -0.147T W - 0.0411T T - 2.24C
gdzie T W - czas dojścia do autobusu lub samochodu, T T - czas podr ży w minutach,
C- calkowity koszt podr ży w dolarach. Ponadto autorzy raportuja, że powyższa funkcja
użyteczności poprawnie opisuje wyb r miedzy transportem samochodowym a autobusowym
w 93% gospodarstw domowych.
Takie oszacowania sa bardzo przydatne przy projektowaniu zmian w systemie transportu
miejskiego. Np. pozwoli odpowiedzieć na pytanie o ile wzrośnie przych d (czyli czy oplaca
sie), gdy, ponoszac pewne koszty, wladze zakupia wiecej autobus w, aby zredukować czas
podr ży. Co wiecej możemy oszacować ile dany konsument jest w stanie zaplacić za skr cenie
czasu przejazdu. W cytowanym badaniu oszacowano że przecietny podr żujacy jest got w
zaplacić 1,10 dolara, za skr cenie czasu dojazdu o godzine.
Lektura.
Varian, rozdzial 4.
2. Ograniczenie budżetowe
Poprzednio zajmowaliśmy sie checiami konsument w, tutaj zajmiemy sie możliwościami.
Potem to polaczymy co nam da wybory konsument w. Wyb r konsument w to jest to co
nas najbardziej interesuje.
Pojecie ograniczenia budżetowego.
p1x1 + p2x2 = m
Na og wystarcza dwa dobra.
Drugie dobro może reprezentować wszystko inne.
3
W asności zbioru budżetowego.
m
1
Nachylenie linie budżetu = -p , przeciecie z osia pionowa = , przeciecie z osia pozioma
p2 p2
m
= .
p1
Rysunek 2.1
Jak sie zmienia linia budżetu?
" Wzrost dochodu
Rysunek 2.2
" Wzrost ceny.
Rysunek 2.3
Numeraire.
Możemy, zr wnać cene jednego dobra z 1, w wczas nazywamy to dobro numeraire.
Lektura.
Varian, rozdzial 2 bez 2.6.
5. Wyb r.
Poprzednio zajmowaliśmy sie checiami konsument w i możliwościami. Teraz polaczymy te
analizy żeby opisać wyb r konsumenta. Wyb r konsument w to jest to co nas najbardziej
interesuje.
Optymalny wyb r.
Jeżeli polaczymy preferencje z ograniczeniem budżetowym uzyskamy optymalny wyb r
Rysunek 5.1
Zauważmy, że nie zawsze zachodzi warunek styczności. Dobra doskonale komplementarne sa
przykladem optymalnego wyboru w punkcie, w kt rym nie ma ciaglości.
Innym przykladem, gdyż nie zachodzi styczność, jest optimum brzegowe.
Rysunek 5.3
Możliwy jest też wiecej niż jeden punkt styczności.
Rysunek 5.4
Popyt konsumpcyjny.
Funkcja popytu na dobro x1: x1(p1, p2, m) oraz na dobro x2: x2(p1, p2, m).
Kilka przyk ad w.
4
" Dobra doskonale substytucyjne - Rysunek 5.5
" Dobra doskonale komplementarne - Rysunek 5.6
" Preferencje wklesle - Rysunek 5.8
Szacowanie funkcji użyteczności.
Jeżeli dane sa dostepne, w wczas można oszacować funkcje użyteczności. Taki szacunek
jest bardzo przydatny do szacowania zmian r żnych polityk, np. polityki państwa, polityki
cenowej przedsiebiorstwa. Takie szacunki dokonuje sie przy wykorzystaniu technik statysty-
cznych, przy pewnych zalożeniach. Jest to obecnie powszechnie stosowana metoda zar wno
w przedsiebiorstwach, jak i w urzedach publicznych (no może nie w polskich urzedach).
Implikacje warunku dotyczacego MRS.
1
Ponieważ w punkcie optymalnym mamy MRS = -p , a także każdy obserwuje takie same
p2
ceny, w gospodarce doskonale konkurencyjnej, każdy konsument ma taki sam MRS, kt ry
jest r wny stosunkowi cen. Wobec tego ceny wzgledne niosa ważna informacje. One nas infor-
muja jaka jest wzgledna wartość jednego dobra wzgledem drugiego, w danym spoleczeństwie
(jak por wnać jablka i samochody). Idea, że ceny nie sa arbitralne, ale odzwierciedlaja
wartości (krańcowe) jakie spoleczeństwa przypisuja r żnym dobrom, jest jedna z fundamen-
talnych idei w ekonomii.
Lektura.
Varian, rozdzial 5 bez 5.6, dobra neutralne i niechciane, dobra policzalne, preferencje Cobba-
Douglasa.
5