Egzamin z Algebry, 5 2013 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
1 Przedstawić w postaci kanonicznej (1 + i)8 16
3Ä„ 3Ä„
z1 = cos + i sin i z2 = 1 + i
4 4
RozwiÄ…zanie:
"
Ä„ Ä„
1 + i = 2(cos + i sin )
4 4
"
8Ä„ 8Ä„
(1 + i)8 = ( 2)8(cos + i sin ) = 16
4 4
2 Obliczyć wyznacznik -24


2 -5 3 1


0 -4 -2 0


-1 3 0 0



4 0 0 0
RozwiÄ…zanie:


2 -5 3 1

-5 3 1

0 -4 -2 0 3 1

= 4 · (-1)5 -4 -2 0 = -4 · 3 · (-1)4 =

-1 3 0 0
-2 0


3 0 0

4 0 0 0
-12 · 2 = -24
x y - 3 z - 1
3 Wyznaczyć punkt przecięcia prostej l : = = z płaszczyzną (2, 4, 0)
2 1 -1
xOy
RozwiÄ…zanie:
z - 1
z = 0 =Ò! = 1 =Ò! y = 4 , x = 2
-1
x2 (y - 1)2
4 Wyznaczyć współrzędne ognisk eplisy + = 1 F1(0, -3) ,
9 25
F2(0, 5)
RozwiÄ…zanie:
" "
a = 9 = , b = 25 = 5 , środek S(0, 1)
"3
F (0, 1 Ä… b2 - a2) =Ò! F (0, 1 Ä… 4) ogniska eplipsy (b > a)
F1(0, -3) , F2(0, 5)

1
x + y = 0
"
5 Wyznaczyć wersory kierunkowe prostej o równaniu: l : ą [1, -1, 1]
x - z = 0
3
RozwiÄ…zanie:
x = t =Ò! y = -t , z = t postać parametryczna prostej
"
v = [1, -1, 1] , |v| = 3
1
2. Wyznaczyć pierwiastki wielomianu W (z) = z7 - 2z6 + z - 2 , z " C .
RozwiÄ…zanie:
z7 - 2z6 + z - 2 = 0
z6(z - 2) + z - 2 = 0
(z - 2)(z6 + 1) = 0
z + 2 = 0 =Ò! z = 2
"
6
z6 + 1 = 0 =Ò! z = -1
Zapisujemy liczbÄ™ pod pierwiastkiem w postaci trygonometrycznej:
-1 = 1 · (cos Ä„ + i sin Ä„)
Ą + 2kĄ Ą + 2kĄ
zk = cos + i sin , k = 0, 1, ..5
6 6
"
Ä„ Ä„ 3 1
z0 = cos + i sin = + i
6 6 2 2
3Ä„ 3Ä„
z1 = cos + i sin = i
6 6
"
5Ä„ 5Ä„ 3 1
z2 = cos + i sin = - + i
6 6 2 2
"
7Ä„ 7Ä„ 3 1
z3 = cos + i sin = - - i
6 6 2 2
9Ä„ 9Ä„
z4 = cos + i sin = -i
6 6
"
11Ä„ 11Ä„ 3 1
z5 = cos + i sin = - i
6 6 2 2
Odpowiedz
:
Pierwiastkie wielomianu:
" " " "
3 1 3 1 3 1 3 1
z0 = + i , z1 = i , z2 = - + i , z3 = - - i , z4 = -i , z5 = - i , z6 = 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
3. Dla jakich wartości parametru p układ równań:
Å„Å‚
ôÅ‚ - y - 2z = 1
px
òÅ‚
x + 2y + z = 13
ôÅ‚
ół
x - y + pz = 5
jest układem Cramera. Wyznaczyć rozwiązanie układu dla p = 2 .
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy


p -1 -2


|A| = 1 2 1 = 2p2 - 1 + 2 + 4 + p + p = 2p2 + 2p + 5


1 -1 p
|A| = 0 Ð!Ò! 2p2 + 2p + 5 = 0
-2 Ä… 4i
" = -16 =Ò! p =
4
p1 = -1 - i , p2 = -1 + i
2 2
Wniosek:
Układ równań jest układem Cramera dla p = -1 - i i p = -1 + i.

2 2
RozwiÄ…zanie dla p = 2 :


2 -1 -2


|A| = 1 2 1 = 17


1 -1 2


1 -1 -2


|A1| = 13 2 1 = 72


5 -1 2


2 1 -2


|A2| = 1 13 1 = 57


1 5 2


2 -1 1


|A3| = 1 2 13 = 35


1 -1 5
Roziązanie układu równań:
72 57 35
x = , y = , z =
17 17 17
3
x - 3 y - 1 z + 1
4. Poprowadzić płaszczyznę przez proste: l1 : = = i
1 -1 -2
x + 1 y z
l2 : = =
1 -1 -2
RozwiÄ…zanie:
-

v = [1, -1, -2] wektor kierunkowy prostej l1
1
-

v = [1, -1, -2] wektor kierunkowy prostej l2
2
Widać, że wektory ta równoległe, a więc proste są równoległe.
Bierzemy dowolny punkt prosej l1 np. A(3, 1, -1) oraz dowolny punkt prosej l2 np.
B(-1, 0, 0) .
-
-

Wektory AB = [-4, -1, 1] oraz v są równoległe do płaszczyzny, a więc prostopadłe
1
do wektora normalnego tej płaszczyzny. Stąd:
-

- -

n = AB × v
1
Obliczamy


i j k

-

-

AB × v = -4 -1 1 = [3, -7, 5]
1


1 -1 -2
Równanie szukanej płaszczyzny:
Ä„ : 3x - 7y + 5z + D = 0
A " Ä„ =Ò! 9 - 7 - 5 + D = 0 =Ò! D = 3
Ä„ : 3x - 7y + 5z + 3 = 0
Odpowiedz
:
Ä„ : 3x - 7y + 5z + 3 = 0
4

y - 1 = 0
5. Przez punkt przecięcia płaszczyzny Ą : x + y + z - 1 = 0 i prostej l :
z + 1 = 0
poprowadzić prostą leżącą w płaszczyz
nie Ą i prostopadłą do prostej l
RozwiÄ…zanie:
Szukamy punktu P przecięcia prostej i płaszczyzny:
Å„Å‚
ôÅ‚ - 1 = 0
y
òÅ‚
z + 1 = 0 =Ò! y = 1 , z = -1 , x = 1
ôÅ‚
ół
x + y + z - 1 = 0
P (1, 1, -1)
Postać parametryczna równania prostej:
Å„Å‚
ôÅ‚ x = t
òÅ‚
l : y = 1 , t " R
ôÅ‚
ół
z = 1
-

v = [1, 0, 0] wektor kierunkowy prostej l
-

n = [1, 1, 1] wektor normalny płaszczyzny Ą
- - -

Wektor w = n × v jest prostopadÅ‚y do prostej l i równolegÅ‚y do pÅ‚aszczyzny Ä„ , jest
więc wektorem kierunkowym szukanej prostej.
Obliczamy


i j k

-

w = 1 1 1 = [0, 1, -1]


1 0 0
-

MajÄ…c punkt P i wektor kierunkowy w dostajemy:
Odpowiedz
:
Szukana prosta:
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 1
òÅ‚
l1 : y = t + 1 , t " R
ôÅ‚
ół
z = -t - 1
5
6. Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do sfery (x + 2)2 + (y - 3)2 + z2 = 6 w
punkcie P (0, 2, 1) .
RozwiÄ…zanie:
Åšrodek sfery jest w punkcie O(-2, 3, 0) .
-
Wektor OP = [2, -1, 1] jest wektorem normalnym płaszczyzny stycznej.
Ä„ : 2x - y + z + D = 0
Ponieważ P " Ą :
2 · 0 - 2 + 1 + D = 0 =Ò! D = 1
Ä„ : 2x - y + z + 1 = 0
Odpowiedz
:
Szukana płaszczyzna: Ą : 2x - y + z + 1 = 0
6