Analiza - Granice funkcji. Ciągłość
Zadanie 1. Znalez
ć granice oraz pokazać bezpośrednio z definicji (Heinego i Cauchy ego) poprawność
uzyskanych wyników:
(1 + x)n
3x + 1 x2 + sin2x
a) lim , c) lim ,
x
4x + 2, b) lim 1 + nx
x0 x0
x0+
3x + 2 3x5 + 2x
d) lim , f) lim x · (cos2x + 1).
2x - 1, e) lim
x"
x1 x-"
-6x5 + 1
Zadanie 2. Obliczyć granice:
" "
x3+2 x5-32
3 3
"
a) lim ; b) lim c) lim 2x3 + 5x2 - x - 2x3 + 4x2 - 1 ;
" 3
3 x"
x4-16;
x2
x+ 2
x- 2
" " "
3 3 3
1-
2x-1- 3x-2 2 1
"
"x
d) lim ; e) lim ; f) lim + ;
7
2x-x2 x2-3x+2
x1 1- x x1 4x-3-1 x2

"
1 1 1
g) lim x sin ; h) lim x sin ; i) lim x x2 + x - x - ;
x x 2
x" x"
x0
arc sin(2x-6)
sin x-sin 3x arc tg 7x
j) lim ; k) lim ; l) lim ;
sin 4x-sin 5x x x2-9
x0 x0 x3
"
"
[x-1]
cos x- sin x
sin2x-sin21
4
m) lim ; n) lim o) lim ;
Ä„
1
x2-1 cos 2x
x1
tg x-1 x
x ( );
4
2 2
"

cos ax-cos bx 1-cos x cos 2x
Ä„
p) lim ;
Ä„
x2 ; q) lim tg 2x tg 4 - x ; r) lim x2
x0 x0
x
4
x
tg(sin x)
x2
2x+1
2x2-5 1
6 x2
s) lim ; t) lim ; u) lim (1 + arc sin 3x) ;
x" 2x2+5 x" x2
x0
10x-1 ln cos x esin 5x-2sin x
v) lim w) lim x) lim ;
3x-2x ; x2 ; ln(1+4x)-log7(1+3x)
x0 x0 x0
" "
3

1
9x2+1- x2-1
1
" "
y) lim x ; z) lim (cos x)sin x ; &!) lim .
4 5
x
x0 x0 x- "
x4+1- x4-1
Zadanie 3. Wykazać, że następujące granice nie istnieją:
1 |x - 3| [x]
a) lim x sin2x; b) lim tg x; c) lim sin ; d) lim ; e) lim .
x" x"
x0 x3 x0
x x - 3 x
Zadanie 4. Sprawdzić z definicji (Heinego i Cauchy ego), czy następujące funkcje są ciągłe f : D R:
1
a) D = R, f(x) = x4 + 1, b) D = R \ {0}, f(x) = - ,
x

1, gdy x " Q
5x+2
c) D = R \ {-1}, f(x) = , d) D = R, f(x) =
x+1
0, gdy x " Q,

x, gdy x " Q
e) D = R, f(x) = f) D = R, f(x) = x - [x].
0, gdy x " Q,
Zadanie 5. Zbadać ciągłość następujących funkcji:

1
x2 dla x " Q x arc tg dla x = 0

x
a) A(x) = b) B(x) =
0 dla x " R \ Q 0 dla x = 0
1


1
exp - dla x = 0 x2 Ą jeśli x = 0
cos
x2 x
c) C(x) = d) D(x) =
0 dla x = 0 0 jeśli x = 0
Zadanie 6. Dla jakich parametrów a, b, c, d " R poniższe funkcje są ciągłe:
Å„Å‚

ôÅ‚ ax + b dla x 1
òÅ‚
x2 dla x < 5
ax2 + c dla 1 < x 2
a) f(x) = b) g(x) =
ôÅ‚
ax + b dla x 5
ół
dx2+1
dla x > 2
x
Zadanie 7. Udowodnić, że jeśli f, g : [a, b] R są ciągłe, to funkcje f (" g, f '" g : [a, b] R, dane
wzorami (f (" g)(x) = max{f(x), g(x)}, (f '" g)(x) = min{f(x), g(x)}, również są ciągłe.
Zadanie 8. Wykazać, że równanie (1 - x) cos x = sin x posiada rozwiązanie w przedziale (0, 1).
Zadanie 9. Zbadać jednostajną ciągłość oraz lipschitzowskość funkcji f : X R, gdy:
"
3
a) X = R, f(x) = |x|, b) X = [0, 1], [0, "), f(x) = x,
1
c) X = [-1, 1], [-1, 1], R, f(x) = x4, d) X = (0, 1), (0, "), f(x) = ,
x
x2
e) X = (0, "), f(x) = ex, f(x) = ln x, f) X = R, f(x) = .
1+x2
Wzory na granice
x
1
loga(1 + x)
Ä…
x
lim 1 + = eÄ… lim (1 + x) = e lim = loga e
x x
x"
x0 x0
(1 + x)a - 1
ax - 1 sin x
lim = ln a lim = a lim = 1
x x x
x0 x0 x0
2