Laboratorium sprawozdanie 03 2

M7: Badanie ruchu obrotowego bryły sztywnej.
Przemysław Kołoczek.
1. Wstęp.
Bryła sztywna to ciało , które nie ulega odkształceniom pod wpływem działających na nie
sił. Ruch takiej bryły składa się na ruch postępowy jej środka masy i ruch obrotowy.
Środek masy bryły sztywnej dany jest przez wektor:
5�[�
5�Z�5�V�� 5�V�
5�_�
�
�
5�E� = "
5�@�
5�V�=1
gdzie M to masa bryły, m część masy bryły, r położenie masy m . Bryła ta ma również
i i i
moment bezwładności względem jakiejś osi obrotu (np. A):
5�[�
( )2
5�<�5�4� = " 5�Z�5�V� 5�_�5�4� 5�V�
5�V�=1
gdzie (r ) odległość masy m od osi A. Jeżeli bryła jest ciągła, to:
A i n
2
5�<�5�4� = +" 5�_�5�4� 5�Q�5�Z�
przy czym całkowanie odbywa się po całej objętości bryły sztywnej.
� �
Bryła wykonuje ruch obrotowy gdy działa na nią wypadkowy moment siły 5�@�, przy czym
jeśli jest on równy zero, to bryła spoczywa albo obraca się ze stałą prędkością kątową.
Równanie ruchu obrotowego bryły sztywnej wokół ustalonej osi A ma następującą postać:
�
5�Q�5�� 5�Q�25�� 5�Q�5�?�
� � �
� �
5�@� = 5�<�5�4�5�� = 5�<�5�4� = 5�<�5�4� = 5�<�5�4�
5�Q�5�a� 5�Q�5�a�2 5�Q�5�a�
� � �
Wtedy wektory momentu siły 5�@�, momentu pędu 5�?� = 5�<�5�4�5�� i prędkości kątowej 5�� są do
� � � �
�
siebie równoległe. Ogólnie wektory 5�?� i 5�� nie są równoległe, więc muszą być powiązane ze
� �
sobą przez:
�
5�?� = 5�<�5��
� �
gdzie 5�<� to tensor (bezwładności) symetryczny drugiego rzędu.
Gdy znany jest moment bezwładności bryły sztywnej względem osi, która przechodzi
przez jej środek masy, można wyznaczyć moment bezwładności względem dowolnej,
równoległej osi do tej, przechodzącej przez środek masy bryły sztywnej, korzystając z
twierdzenia Steinera:
5�<�5�4� = 5�<�5�B� + 5�@�5�Q�2
gdzie d jest odległością między równoległymi osiami A (szukaną) i O (przechodzącą przez
środek masy bryły sztywnej). Dla jednorodnego walca moment bezwładności względem
osi, przechodzącej przez jego środek masy i pokrywającej się z osią symetrii obrotowej
1
walca wynosi 5�<� = 5�@�5�E�2, a moment bezwładności względem osi prostopadłej, do osi
2
symetrii obrotowej walca i przechodzącej przez jego środek masy wynosi
1
5�<� = 5�@� (1 5�E�2 + 5�;�2), gdzie M masa walca, R promień podstawy walca, H wysokość
4 12
walca.
Wahadło Oberbecka to pręt (o promieniu r) z dwoma ramionami obracający się wokół
swojej osi symetrii. Na ramionach tego wahadła można zamontować walcowate ciężarki.
Moment bezwładności takiego ciężarka na obracającym się wahadle Oberbecka wynosi
1
2 2 2 2
( )5�F�5�@�
5�<�5�J� = 5�<�5�J� + 5�@�5�J�5�Q�5�J� = 5�@�5�J� (1 5�E�5�J� + 5�;�5�J� + 5�Q�5�J�), gdzie M masa ciężarka, R
W W
4 12
promień ciężarka, H wysokość ciężarka, d odległość ciężarka od osi obrotu wahadła.
W W
Całkowity moment bezwładności układu (wahadło i 2 symetrycznie umieszczone ciężarki)
wynosi 5�<� = 5�<�5�K� + 25�<�5�J�, gdzie I moment bezwładności wahadła bez ciężarków. Na
X
wahadło nawinięta jest nić, przerzucona przez bloczek, zakończona uchwytem na
obciążniki. Korzystając z praw ruchu postępowego obciążnika i praw ruchu obrotowego
wahadła:
5�9�5�A� = 5�Z�5�T� - 5�Z�5�N�
{5�9�5�A�5�_� = 5�<�5��
5�N�
5�� =
5�_�
oraz z przytoczonej wcześniej zależności:
5�<� = 5�<�5�K� + 25�<�5�J�
otrzymujemy:
5�Z�5�T�5�_�2
5�N� =
5�<�5�K� + 25�<�5�J� + 5�Z�5�_�2
Ponadto, korzystając ze wzoru:
5�N�5�a�2
! =
2
Otrzymujemy zależność:
t2 od h równą:
( )
2! 5�<�5�K� + 25�<�5�J� + 5�Z�5�_�2
( )
5�a�2 = 1
5�Z�5�T�5�_�2
2
t2 od d równą:
w
1
2 2 2
2! (5�<�5�K� + 25�@�5�J� (1 5�E�5�J� + 5�;�5�J� + 5�Q�5�J�) + 5�Z�5�_�2)
4 12
( )
5�a�2 = 2
5�Z�5�T�5�_�2
oraz t2 od 1/m równą:
1
( )
2! ((5�Z�) 5�<�5�K� + 25�<�5�J� + 5�_�2)
( )
5�a�2 = 3
5�T�5�_�2
Rysunek 1. Schemat układu doświadczalnego z wahadłem Oberbecka
2. Opis doświadczenia.
Zmierzono długości i średnice ramion wahadła, zmierzono średnicę samego wahadła,
włączono stoper. Ustalono i zmierzono położenia fotokomórek na statywie, ustalono
położenie początkowe szalki z obciążnikiem i zmierzono czas przelotu szalki między
fotokomórkami. Pomiar powtórzono jeszcze dwa razy. Pomiary powtórzono dla kolejnych
sześciu położeń drugiej fotokomórki. Ostatnie położenia fotokomórek i obciążnik
zachowano, na ramionach wahadła zawieszono takie same ciężarki w tej samej odległości
od osi obrotu wahadła, zmierzono odpowiednie odległości, zmierzono czas przelotu szalki.
Pomiar powtórzono jeszcze dwa razy. Pomiary powtórzono dla sześciu kolejnych położeń
ciężarków na ramionach wahadła. Ciężarki zdjęto, ostatnie położenia fotokomórek i
obciążnik zachowano, zmierzono dla nich czas przelotu szalki. Pomiar powtórzono jeszcze
dwa razy. Pomiary powtórzono dla sześciu kolejnych mas na szalce. Po zakończeniu
pomiarów obciążniki zdjęto i odłożono na miejsce, stoper i fotokomórki wyłączono,
przyrządy do pomiaru odległości oddano prowadzącemu.
3. Plan pracy.
a) Zmierzyć długości i średnice ramion wahadła, zmierzyć średnicę samego wahadła.
b) Ustalić i sprawdzić wzajemne położenie początkowe szalki z ciężarkiem i obu
fotokomórek.
c) Zbadać zależność t2 od h:
Wyznaczyć masę obciążnika, umieścić go na szalce.
Zmierzyć czas przelotu szalki, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
Powtórzyć pomiary dla innych położeń drugiej fotokomórki.
2
d) Zbadać zależność t2 od d :
W
Wyznaczyć masę ciężarków, nałożyć je na ramiona wahadła, zmierzyć ich położenia
od osi obrotu wahadła.
Zmierzyć czas przelotu szalki, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
Powtórzyć pomiary dla innych położeń ciężarków od osi obrotu wahadła.
e) Zbadać zależność t2 od 1/m:
Usunąć ciężarki, wyznaczyć masę obciążnika, umieścić go na szalce.
Zmierzyć czas przelotu szalki, kilkakrotne powtórzyć pomiar.
Powtórzyć pomiary dla innych obciążeń szalki.
f) Uporządkować stanowisko pracy.
4. Wyniki.
a) Zależność t2 od h:
Tabela 1. Wyniki pomiarów dotyczących zależności t2 od h.
L. p. h [m] h [m] t [s] t [s] t [s]
1 2 1 2 3
1 0,01 0,297 4,696 4,965 4,981
2 0,01 0,347 5,057 5,222 5,253
3 0,01 0,394 5,562 5,604 5,630
4 0,01 0,445 6,215 6,279 6,183
5 0,01 0,494 6,370 6,413 6,469
6 0,01 0,543 6,713 6,681 6,726
7 0,01 0,586 6,961 7,001 7,029
2
b) Zależność t2 od d :
W
2
Tabela 2. Wyniki pomiarów dotyczących zależności t2 od d .
W
L. p. d [m] H [m] r [m] t [s] t [s] t [s]
W 1 2 3
1 0,0516 0,0193 0,025 9,482 9,771 9,676
2 0,0812 0,0193 0,025 10,944 11,088 10,806
3 0,1113 0,0193 0,025 12,480 12,467 12,402
4 0,1430 0,0193 0,025 14,785 14,475 14,666
5 0,1700 0,0193 0,025 16,829 16,780 16,980
6 0,2000 0,0193 0,025 19,844 19,524 19,725
7 0,2300 0,0193 0,025 22,565 22,333 22,776
c) Zależność t2 od 1/m:
Tabela 3. Wyniki pomiarów dotyczących zależności t2 od 1/m.
L. p. m [kg] t [s] t [s] t [s]
1 2 3
1 0,100 7,362 7,409 7,162
2 0,110 6,848 6,945 6,738
3 0,120 6,517 6,626 6,767
4 0,140 6,141 6,007 5,931
5 0,160 5,534 5,408 5,454
6 0,180 5,035 5,050 5,105
7 0,230 4,541 4,478 4,523
5. Opracowanie wyników.
a) Zależność t2 od h.
Obliczono odległość między fotokomórkami (h) i kwadrat średniego czasu spadku
obciążnika (t2), na podstawie wzorów:
( )
! = !2 - !1 4
gdzie:
!1 wysokość górnej fotokomórki, mierzona względem ziemi [m],
!2 wysokość dolnej fotokomórki, mierzona względem ziemi [m].
2
5�[�
1
2
( )
5�a� = ( " 5�a�5�V�) 5
5�[�
5�V�=1
Wyniki obliczeń zebrano w Tabeli 4:
Tabela 4. Obliczone wartości t2 i h.
L. p. h [m] t2 [s2]
1 0,287 23,821
2 0,337 26,805
3 0,384 31,345
4 0,435 38,759
5 0,484 41,182
6 0,533 44,979
7 0,576 48,958
Obliczono niepewność odległości między fotokomórkami na podstawie wzoru:
"( )2 ( )2 ( )
"! = "!1 + "!2 6
gdzie:
"!1 niepewność wysokości górnej fotokomórki, mierzona względem ziemi [m],
"!2 niepewność wysokości dolnej fotokomórki, mierzona względem ziemi [m].
Obliczono niepewność kwadratu średniego czasu spadku obciążnika na podstawie
wzorów:
5�[�
1
2
( )
"5�a� = 5�X� " "5�`�5�a� + "5�a�5�`�5�f�5�`� = 3 " " "(5�a�5�V� - 5�a�) + 0,001 7
( )
5�[� 5�[� - 1
5�V�=1
5��
2 2
( )
"5�a� = | (5�a� ) "5�a�| = 25�a�"5�a� 8
5��5�a�
gdzie:
"5�a� niepewność średniego czasu spadku obciążnika [s],
5�X� współczynnik rozszerzenia,
"5�`�5�a� odchylenie standardowe średniej wyników [s],
"5�a�5�`�5�f�5�`� błąd systematyczny stopera [s],
5�a� średni czas spadku obciążnika [s].
"!1 = "!2 = 0,001 5�Z�
"! = 0,0014 5�Z�
2
"5�a�1 = 2,717 5�`�2
2
"5�a�2 = 1,900 5�`�2
2
"5�a�3 = 0,677 5�`�2
2
"5�a�4 = 1,067 5�`�2
2
"5�a�5 = 1,116 5�`�2
2
"5�a�6 = 0,551 5�`�2
2
"5�a�7 = 0,842 5�`�2
Sporządzono wykres zależności t2 od h, dopasowano do niego linię trendu i
wyświetlono jej równanie, wyznaczono nie pewności pomiarowe współczynników
otrzymanej prostej, a także słupki błędów za pomocą arkusza kalkulacyjnego Excel
(funkcja REGLINP) i powyższych danych:
Wykres 1. Zależność t2 od h.
Zależność t2 od h
50
48
45
y = 84.52x
43
40
38
35
33
30
28
25
23
20
0.270 0.295 0.320 0.345 0.370 0.395 0.420 0.445 0.470 0.495 0.520 0.545 0.570
h [m]
5�� = 84,52 5�`�2/5�Z�
"5�� = 1,00 5�`�2/5�Z�
Wyznaczono moment bezwładności wahadła na podstawie wzoru (1) oraz uzyskanej
zależności liniowej:
2
2
t [s ]
( )
5�f� = 5��5�e� + 5�ż� 9
gdzie:
5�� współczynnik kierunkowy równania uzyskanej prostej [s2/m],
5�ż� wyraz wolny równania uzyskanej prostej [m].
( )
5�Z�5�_�2 5��5�T� - 2
( )
5�<�5�K� = 10
2
gdzie:
5�Z� masa obciążnika [kg],
5�_� promień wahadła Oberbecka [m].
5�� współczynnik kierunkowy równania uzyskanej prostej [s2/m],
5�T� przyspieszenie ziemskie [m/s2].
5�Z� = 0,1 5�X�5�T�
5�_� = 0,0125 5�Z�
5�� = 84,52 5�`�2/5�Z�
5�T� = 9,81 5�Z�/5�`�2
5�<�5�K� = 6,46 " 10-3 5�X�5�T� " 5�Z�2
Obliczono niepewność pomiaru momentu bezwładności na podstawie wzoru:
5��5�<�5�K� 5��5�<�5�K� 5�T�5�Z�5�_�2
( ) ( )
"5�<�5�K� = | "5�_�| + | "5��| = 5�Z�5�_� 5��5�T� - 2 "5�_� + "5�� 11
5��5�_� 5��5�� 2
gdzie:
5�Z� masa obciążnika [kg],
5�_� promień wahadła Oberbecka [m].
5�� współczynnik kierunkowy równania uzyskanej prostej [s2/m],
5�T� przyspieszenie ziemskie [m/s2],
"5�_� niepewność promienia wahadła Oberbecka [m],
"5�� niepewność współczynnika kierunkowego równania uzyskanej prostej [s2/m].
5�Z� = 0,1 5�X�5�T�
5�_� = 0,0125 5�Z�
5�� = 84,52 5�`�2/5�Z�
5�T� = 9,81 5�Z�/5�`�2
"5�_� = 0,00005 5�Z�
"5�� = 1,00 5�`�2/5�Z�
"5�<�5�K� = 1,29 " 10-4 5�X�5�T� " 5�Z�2
Wynik końcowy:
( )
5�<�5�K� = 6,46 ą 0,13 " 10-3 5�X�5�T� " 5�Z�2
2
b) Zależność t2 od d .
W
2
Obliczono kwadrat odległości między środkami ciężarków a środkiem wahadła (d ) i
W
kwadrat średniego czasu spadku obciążnika (t2), na podstawie wzorów (12), (5) i
Rysunku 1:
2 2
1 1 1
2
( )
5�Q�5�J� = (5�Q� - 5�;�5�J� - " 25�_�) = (5�Q� - 5�;�5�J� - 5�_�) 12
2 2 2
gdzie:
5�Q� odległość między ciężarkiem a wahadłem [m],
5�;�5�J� wysokość ciężarka [m],
5�_� promień wahadła Oberbecka [m].
Wyniki obliczeń zebrano w Tabeli 5:
2
Tabela 5. Obliczone wartości t2 i d .
W
2
L. p. d [m] t2 [s2]
W
1 0,0009 92,987
2 0,0035 119,815
3 0,0079 154,994
4 0,0146 214,388
5 0,0219 284,361
6 0,0316 387,998
7 0,0432 508,863
Obliczono niepewności powyższych pomiarów na podstawie wzorów (7), (8) i (13):
2 2 2
5��5�Q�5�J� 5��5�Q�5�J� 5��5�Q�5�J�
2
"5�Q�5�J� = | "5�Q�| + | "5�;�5�J�| + | "5�_�| =
5��5�Q� 5��5�;�5�J� 5��5�_�
1
( ) ( )
= 25�Q� - 5�;�5�J� - 25�_� ("5�Q� + "5�;�5�J� + "5�_�) 13
2
gdzie:
5�Q� odległość między ciężarkiem a wahadłem [m],
5�;�5�J� wysokość ciężarka [m],
5�_� promień wahadła Oberbecka [m],
"5�Q� niepewność odległości między ciężarkiem a wahadłem [m],
"5�;�5�J� niepewność wysokości ciężarka [m],
"5�_� niepewność promienia wahadła Oberbecka [m].
"5�Q� = 0,001 5�Z�
"5�;�5�J� = "5�_� = 0,00005 5�Z�
2
( )1
" 5�Q�5�J� = 6,33 " 10-5 5�Z�
2
( )2
" 5�Q�5�J� = 1,27 " 10-4 5�Z�
2
( )3
" 5�Q�5�J� = 1,92 " 10-4 5�Z�
2
( )4
" 5�Q�5�J� = 2,60 " 10-4 5�Z�
2
( )5
" 5�Q�5�J� = 3,18 " 10-4 5�Z�
2
( )6
" 5�Q�5�J� = 3,82 " 10-4 5�Z�
2
( )7
" 5�Q�5�J� = 4,47 " 10-4 5�Z�
2
"5�a�1 = 4,490 5�`�2
2
"5�a�2 = 5,369 5�`�2
2
"5�a�3 = 1,827 5�`�2
2
"5�a�4 = 7,961 5�`�2
2
"5�a�5 = 6,123 5�`�2
2
"5�a�6 = 11,076 5�`�2
2
"5�a�7 = 17,360 5�`�2
2
Sporządzono wykres t2 od d , dopasowano do niego linię trendu i jej równanie,
W
wyznaczono niepewności pomia rowe współczynników otrzymanej prostej, oraz słupki
błędów za pomocą arkusza kalkulacyjnego Excel (REGLINP) i powyższych danych:
2
Wykres 2. Zależność t2 od d .
W
Zależność t2 od dw2
530
500
470
y = 9779.7x + 79.236
440
410
380
350
320
290
260
230
200
170
140
110
80
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04
dw2 [m2]
5�ż� = 79,24 5�`�2
"5�ż� = 4,30 5�`�2
Wyznaczono moment bezwładności wahadła na podstawie wzoru (2) oraz uzyskanej
zależności liniowej (9):
1
2 2
5�ż�5�Z�5�T�5�_�2 - 2!5�@�5�J� (1 5�7�5�J� + 5�;�5�J�) - 2!5�Z�5�_�2
8 6
( )
5�<�5�K� = 14
2!
2
2
t [s ]
gdzie:
5�ż� wyraz wolny równania uzyskanej prostej [s2],
5�Z� masa obciążnika [kg],
5�T� przyspieszenie ziemskie [m/s2],
5�_� promień wahadła Oberbecka [m],
! odległość między fotokomórkami [m],
5�@�5�J� masa ciężarka [kg],
5�7�5�J� średnica ciężarka [m],
5�;�5�J� wysokość ciężarka [m].
5�ż� = 79,24 5�`�2
5�Z� = 0,1 5�X�5�T�
5�T� = 9,81 5�Z�/5�`�2
5�_� = 0,0125 5�Z�
! = 0,576 5�Z�
5�@�5�J� = 0,25 5�X�5�T�
5�7�5�J� = 0,04675 5�Z�
5�;�5�J� = 0,0193 5�Z�
5�<�5�K� = 1,04 " 10-2 5�X�5�T� " 5�Z�2
Obliczono niepewność pomiaru momentu bezwładności na podstawie wzoru:
5��5�<�5�K� 5��5�<�5�K� 5��5�<�5�K� 5��5�<�5�K� 5��5�<�5�K�
"5�<�5�K� = | "5�ż�| + | "5�_�| + | "!| + | "5�7�5�J�| + | "5�;�5�J�| =
5��5�ż� 5��5�_� 5��! 5��5�7�5�J� 5��5�;�5�J�
5�Z�5�T�5�_�2 5�ż�5�T� 5�ż�5�Z�5�T�5�_�2 5�@�5�J�5�7�5�J� 5�@�5�J�5�;�5�J�
( )
= "5�ż� + 5�Z�5�_� ( - 2) "5�_� + "! + "5�7�5�J� + "5�;�5�d� 15
2! ! 2!2 4 3
gdzie:
5�ż� wyraz wolny równania uzyskanej prostej [s2],
5�Z� masa obciążnika [kg],
5�T� przyspieszenie ziemskie [m/s2],
5�_� promień wahadła Oberbecka [m],
! odległość między fotokomórkami [m],
5�@�5�J� masa ciężarka [kg],
5�7�5�J� średnica ciężarka [m],
5�;�5�J� wysokość ciężarka [m],
"5�ż� niepewność wyrazu wolnego równania uzyskanej prostej [s2],
"5�_� niepewność promienia wahadła Oberbecka [m],
"! niepewność odległości między fotokomórkami [m],
"5�7�5�J� niepewność średnicy ciężarka [m],
"5�;�5�J� niepewność wysokości ciężarka [m].
5�ż� = 79,24 5�`�2
5�Z� = 0,1 5�X�5�T�
5�T� = 9,81 5�Z�/5�`�2
5�_� = 0,0125 5�Z�
! = 0,576 5�Z�
5�@�5�J� = 0,25 5�X�5�T�
5�7�5�J� = 0,04675 5�Z�
5�;�5�J� = 0,0193 5�Z�
"5�ż� = 4,30 5�`�2
"5�_� = "5�7�5�J� = "5�;�5�J� = 0,00005 5�Z�
"! = 0,0014 5�Z�
"5�<�5�K� = 6,83 " 10-4 5�X�5�T� " 5�Z�2
Wynik końcowy:
( )
5�<�5�K� = 1,04 ą 0,07 " 10-2 5�X�5�T� " 5�Z�2
c) Zależność t2 od 1/m.
Obliczono odwrotności mas ciężarków (1/m) i kwadrat średniego czasu spadku
obciążnika (t2), na podstawie wzoru (5) i zebrano w Tabeli 6:
Tabela 6. Obliczone wartości t2 i 1/m.
L. p. 1/m [m] t2 [s2]
1 10,000 53,451
2 9,091 46,836
3 8,333 44,045
4 7,143 36,317
5 6,250 29,870
6 5,556 25,637
7 4,348 20,376
Obliczono niepewności powyższych pomiarów na podstawie wzorów (7) i (8):
2
"5�a�1 = 3,336 5�`�2
2
"5�a�2 = 2,469 5�`�2
2
"5�a�3 = 2,895 5�`�2
2
"5�a�4 = 2,232 5�`�2
2
"5�a�5 = 1,218 5�`�2
2
"5�a�6 = 0,657 5�`�2
2
"5�a�7 = 0,516 5�`�2
Sporządzono wykres zależności t2 od 1/m, dopasowano do niego linię trendu i
wyświetlono jej równanie, wyznaczono niepewności pomiarowe współczynników
otrzymanej prostej, a także słupki błędów za pomocą arkusza kalkulacyjnego Excel
(funkcja REGLINP) i powyższych danych:
Wykres 3. Zależność t2 od 1/m.
Zależność t2 od 1/m
58
53
48
y = 5.9627x - 6.5571
43
38
33
28
23
18
4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0
1/m [1/kg]
5�� = 5,96 5�X�5�T� " 5�`�2
"5�� = 0,19 5�X�5�T� " 5�`�2
Wyznaczono moment bezwładności wahadła na podstawie wzoru (3) oraz uzyskanej
zależności liniowej (9):
5��5�T�5�_�2
( )
5�<�5�K� = 16
2!
gdzie:
5�� współczynnik kierunkowy równania uzyskanej prostej [s2/m],
5�T� przyspieszenie ziemskie [m/s2],
5�_� promień wahadła Oberbecka [m],
! odległość między fotokomórkami [m].
5�� = 5,96 5�X�5�T� " 5�`�2
5�T� = 9,81 5�Z�/5�`�2
5�_� = 0,0125 5�Z�
! = 0,576 5�Z�
5�<�5�K� = 7,93 " 10-3 5�X�5�T� " 5�Z�2
Obliczono niepewność pomiaru momentu bezwładności na podstawie wzoru:
5��5�<�5�K� 5��5�<�5�K� 5��5�<�5�K� 5�T�5�_�2 5��5�T�5�_� 5��5�T�5�_�2
( )
"5�<�5�K� = | "5��| + | "5�_�| + | "!| = "5�� + "5�_� + "! 17
5��5�� 5��5�_� 5��! 2! ! 2!2
2
2
t [s ]
gdzie:
5�� współczynnik kierunkowy równania uzyskanej prostej [s2/m],
5�T� przyspieszenie ziemskie [m/s2],
5�_� promień wahadła Oberbecka [m],
! odległość między fotokomórkami [m],
"5�� niepewność współczynnika kierunkowego równania uzyskanej prostej [s2/m],
"5�_� niepewność promienia wahadła Oberbecka [m],
"! niepewność odległości między fotokomórkami [m].
5�� = 5,96 5�X�5�T� " 5�`�2
5�T� = 9,81 5�Z�/5�`�2
5�_� = 0,0125 5�Z�
! = 0,576 5�Z�
"5�� = 0,19 5�X�5�T� " 5�`�2
"5�_� = 0,00005 5�Z�
"! = 0,0014 5�Z�
"5�<�5�K� = 3,33 " 10-4 5�X�5�T� " 5�Z�2
Wynik końcowy:
( )
5�<�5�K� = 7,93 ą 0,33 " 10-3 5�X�5�T� " 5�Z�2
d) Obliczony moment bezwładności wahadła.
Obliczono moment bezwładności nieobciążonego wahadła, traktując je jak walec,
obracający się względem osi prostopadłej do osi obrotowej, czyli korzystając ze wzoru
(18) i Rysunku 1.:
2 2
35�7�5�E� + 45�Q�5�E�
( )
5�<�5�K� = 5�@� ( ) 18
48
oraz następujących zależności:
2
5��5��5�7�5�E�5�Q�5�E�
2
( )
5�@� = 5��5�I� = 5��5�Q�5�E�5�F� = 5��5��5�E�5�E�5�Q�5�E� = 19
4
Ostatecznie:
2 2 2 2 2 2
( )
5��5��5�7�5�E�5�Q�5�E� 35�7�5�E� + 45�Q�5�E� 5��5��5�7�5�E�5�Q�5�E� 35�7�5�E� + 45�Q�5�E�
( )
5�<�5�K� = " = 20
4 48 192
gdzie:
5�@� masa ramion wahadła Oberbecka [kg],
5�7�5�E� średnica ramion wahadła Oberbecka [m],
5�Q�5�E� długość ramion wahadła Oberbecka [m],
5�� gęstość materiału wahadła Oberbecka [kg/m3],
5�I� objętość ramion wahadła Oberbecka [m3],
5�F� pole powierzchni przekroju poprzecznego ramion wahadła Oberbecka [m2],
5�E�5�E� promień ramion wahadła Oberbecka [m].
5�� = 2700 5�X�5�T�/5�Z�3
5�7�5�E� = 0,01 5�Z�
5�Q�5�E� = 0,6 5�Z�
5�<�5�K� = 3,82 " 10-3 5�X�5�T� " 5�Z�2
Obliczono niepewność momentu bezwładności wahadła, na podstawie wzoru:
5��5�<�5�K� 5��5�<�5�K�
"5�<�5�K� = | "5�Q�5�E�| + | "5�7�5�E�| =
5��5�Q�5�E� 5��5�7�5�E�
2 2 2 2 2
( ) ( )
5��5��5�7�5�E� 5�7�5�E� + 45�Q�5�E� 5��5��5�7�5�E�5�Q�5�E� 35�7�5�E� + 25�Q�5�E�
( )
= "5�Q�5�E� + "5�7�5�E� 21
64 48
gdzie:
5�� gęstość materiału wahadła Oberbecka [kg/m3],
5�7�5�E� średnica ramion wahadła Oberbecka [m],
5�Q�5�E� długość ramion wahadła Oberbecka [m],
"5�7�5�E� niepewność średnicy ramion wahadła Oberbecka [m],
"5�Q�5�E� niepewność długości ramion wahadła Oberbecka [m].
5�� = 2700 5�X�5�T�/5�Z�3
5�7�5�E� = 0,01 5�Z�
5�Q�5�E� = 0,6 5�Z�
"5�Q�5�E� = 0,01 5�Z�
"5�7�5�E� = 0,00005 5�Z�
"5�<�5�K� = 5,73 " 10-4 5�X�5�T� " 5�Z�2
Wynik końcowy:
( )
5�<�5�K� = 3,82 ą 0,57 " 10-3 5�X�5�T� " 5�Z�2
6. Omówienie wyników i podsumowanie.
Ostatecznie otrzymano następujące momenty bezwładności:
( )
5�<�5�K� = 6,46 ą 0,13 " 10-3 5�X�5�T� " 5�Z�2
( )
5�<�5�K� = 1,04 ą 0,07 " 10-2 5�X�5�T� " 5�Z�2
( )
5�<�5�K� = 7,93 ą 0,33 " 10-3 5�X�5�T� " 5�Z�2
( )
5�<�5�K� = 3,82 ą 0,57 " 10-3 5�X�5�T� " 5�Z�2
2
Jak widać tylko drugi wynik (zależność t2 od d ) znacznie odbiega od reszty jest o rząd
W
wielkości większy od pozostałych. Pozostałe wyniki są zgodne z wartością obliczoną
momentu bezwładności wahadła Oberbecka (ostatni wynik). Wszystkie trzy zależności
wykazują bardzo dobrą liniowość, co jest widoczne na załączonych wykresach.
Ogromny wpływ na wyniki pomiarów, a mianowicie czasy wskazywane przez stoper
miały dwa elementy ćwiczenia. Pierwszy to wprawienie wahadła Oberbecka w ruch w
odpowiednim i za każdym razem tym samym momencie, to znaczy tak, aby stoper ruszył
w momencie zwolnienia wahadła. Było to bardzo trudne do wykonania i czasochłonne w
porównaniu do pozostałych elementów ćwiczenia. Duży wpływ na wyniki miało również
wzajemne ułożenie fotokomórek na statywie. Ze względu na nierównoległe ułożenie
fotokomórek pierwsza seria pomiarów została całkowicie odrzucona i ćwiczenie
rozpoczęto od początku. W dalszych etapach ćwiczenia eliminowano ten błąd poprzez
sprawdzenie, co jakiś czas, pozycji fotokomórek. Pozostałe czynniki mające wpływ na
niepewności pomiarowe to: niedoskonałość ludzkiego oka podczas odczytywania
odpowiednich długości czy odległości, założenie, że masy ciężarków i obciążników są
dokładne, wpływ bloczka na pracę układu i rozciągliwość nici, na której były zawieszone
ciężarki.
7. Literatura.
[1] A. Magiera, I Pracownia Fizyczna, IF UJ, Kraków 2010.
[2] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy Fizyki 1, PWN, Warszawa 2003.
8. Załączniki.
Kserokopia wyników pomiarowych.

Wyszukiwarka