Całka podwójna
DEFINICJA
2
Podziałem prostokąta R := ( x, y )" : a d" x d" b, c d" y d" d nazywa się zbiór P złożony
= " d" d" d" d"
= " d" d" d" d"
= " d" d" d" d"
{ }
{ }
{ }
{ }
z prostokątów R1 ,..., R , n" , które całkowicie wypełniają prostokąt R i mają parami
"
"
"
n
rozłączne wnętrza.
Przyjmujemy następujące oznaczenia:
"xk ,"yk , k = 1,...,n - wymiary prostokÄ…ta Rk
=
=
=
2 2
dk := "xk + "yk , k = 1,...,n - długość przekątnej prostokąta Rk
= + =
= + =
= + =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
´ P := max dk : k = 1,...,n - Å›rednica podziaÅ‚u P
= =
( ) = =
( ) = =
{ }
( ) { }
( ) { }
{ }
" "
" "
" "
" "
Åš := xk , yk " Rk : k = 1,...,n
= " =
= " =
= " =
( )
( )
( )
( )
{ }
{ }
{ } - zbiór punktów pośrednich podziału P
{ }
DEFINICJA
Niech f : R
będzie ograniczona na prostokącie R oraz niech P będzie podziałem tego
prostokąta, a Ś zbiorem punktów pośrednich. SUM CAAKOW FUNKCJI f
odpowiadającą podziałowi P oraz punktom pośrednim Ś nazywa się liczbę
n
" "
" "
" "
" "
à f , P := f xk , yk "xk "yk
=
( ) =
( ) =
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
"
"
"
"
k =1
=
=
=
Interpretacja geometryczna sumy całkowej
z
z = f ( x, y )
" " "
zk = f xk , yk
( )
"
"
0
yk y
" "xk
xk
"
" ( )
Rk R
"yk
x
UWAGA
Suma całkowa funkcji po prostokącie jest przybliżeniem objętości bryły ograniczonej
wykresem funkcji z = f (x , y), leżącym nad prostokątem R oraz płaszczyzną XOY, przez
sumę objętości prostopadłościanów o podstawach Rk i wysokościach
" "
" "
" "
" "
f xk , yk , k = 1,...,n, n " .
= "
= "
= "
( )
( )
( )
( )
DEFINICJA
CAAK PODWÓJN PO PROSTOKCIE R Z FUNKCJI f ograniczonej na
prostokÄ…cie R definiuje siÄ™ wzorem
n
" "
" "
" "
" "
f x, y dxdy := lim f xk , yk "xk "yk
=
( ) =
( ) =
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
"
"
"
"
+"+"
+"+"
+"+"
+"+"
´ P
( )0
( )
( )
( )
k =1
=
=
=
R
o ile granica jest właściwa i nie zależy od wyboru podziału P prostokąta R
i punktów pośrednich Ś .
Mówimy wtedy, że FUNKCJA f JEST CAAKOWALNA
NA PROSTOKCIE R.
Interpretacja geometryczna całki podwójnej
3 2
(i) Jeżeli B = x, y,z " : x, y " R ‚" , 0 d" z d" f x, y , to V = f x, y dxdy .
= " " ‚" d" d" ( ) = ( )
" " ‚" d" d" =
= ( ) ( ) ( ) = ( )
= ( ) ( ) ( ) ( )
" " ‚" d" d"
( ) ( )
( ) ( )
{ ( ) ( )
{ }
{ }
{ }
}
+"+"
+"+"
+"+"
+"+"
R
3 2
(ii) Jeżeli B = x, y,z " : x, y " R ‚" , f x, y d" z d" 0 , to V = - f x, y dxdy .
= " " ‚" ( ) d" d" = - ( )
" " ‚" d" d" = - ( )
= ( ) ( ) ( ) d" d" = - ( )
= ( ) ( ) ( ) } ( )
" " ‚"
( ) ( )
( ) ( )
{ ( ) }
{ }
{ }
{
+"+"
+"+"
+"+"
+"+"
R
UWAGA
(i) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostokącie R, to dla dowolnego podziału tego
prostokąta na prostokąty R1 , R2 o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość
f x, y dxdy = f x, y dxdy = f x, y dxdy + f x, y dxdy
= = +
( ) = ( ) = ( ) + ( )
( ) = ( ) = ( ) + ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+"+" +"+" +"+" +"+"
+"+" +"+" +"+" +"+"
+"+" +"+" +"+" +"+"
+"+" +"+" +"+" +"+"
R R1*"R2 R1 R2
*"
*"
*"
V = f x, y dxdy
( )
+"+"
z
R
z = f ( x, y )
V2 = f x, y dxdy
( )
+"+"
V1 = f x, y dxdy
( )
R2
+"+"
R1
0
y
R1 R2
R
x
V = V1 +V2
(ii) Niech funkcje f, g bÄ™dÄ… caÅ‚kowalne na prostokÄ…cie R oraz niech Ä…,²" . Wtedy
"
"
"
îÅ‚Ä…f x, y + ²g x, y Å‚Å‚dxdy = Ä… f x, y dxdy + ² g x, y dxdy
îÅ‚ + Å‚Å‚ +
Å‚Å‚
îÅ‚ + Å‚Å‚ = + ( )
îÅ‚ + = ( ) + ( )
( ) ( )ûÅ‚ = ( ) ( )
( ) ( )ûÅ‚ ( )
( ) ( )ûÅ‚ ( ) ( )
( ) ( )ûÅ‚
+"+" ðÅ‚ +"+" +"+"
+"+" ðÅ‚ +"+" +"+"
+"+" ðÅ‚ +"+" +"+"
+"+" ðÅ‚ +"+" +"+"
R R R
(iii) Funkcja ciągła na prostokącie R jest na nim całkowalna.
TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki podwójnej po prostokącie)
(o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)
Jeżeli funkcja f : R = ×
jest caÅ‚kowalna na prostokÄ…cie R := a,b × c,d oraz dla każdego
= ×
= ×
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
d b
îÅ‚d Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
x " a,b istnieje całka f x, y dy, to istnieje całka iterowana f x, y dyśł dx
"
" ( )
" ( )
[ ] ( ) ( )
[ ] ( )
[ ] ( ) ( )
[ ] ( )
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
+" +" +"
+" +" +"
+" +" +"
+" +" +"
c a ðÅ‚ c ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
i zachodzi równość
b
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚d Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
f x, y dxdy = f x, y dyśł dx
=
( ) = ( )
( ) = ( )
( ) ( )
( ) ( )
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
+"+" +" +"
+"+" +" +"
+"+" +" +"
+"+" +" +"
R a ðÅ‚ c ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
DEFINICJA (całki podwójnej po dowolnym obszarze)
2
Niech D ‚" bÄ™dzie obszarem ograniczonym. Niech f : D
‚" bÄ™dzie ograniczona na D
‚"
‚"
oraz niech R ƒ" D bÄ™dzie prostokÄ…tem zawierajÄ…cym obszar D. Ponadto niech funkcja
ƒ"
ƒ"
ƒ"
Å„Å‚ "
Å„Å‚
Å„Å‚ f x, y , x, y " D
Å„Å‚ "
"
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
"
"
"
"
f x , y :=
=
( ) =
( ) =
( )
( )
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
0 , x, y " R \ D
"
"
"
( )
( )
( )
( )
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ół
ół
ół
CAAK PODWÓJN Z FUNKCJI f PO OBSZARZE D definiuje się wzorem
"
"
"
"
f x, y dxdy := f x, y dxdy
=
( ) = ( )
( ) = ( )
( ) ( )
( ) ( )
+"+" +"+"
+"+" +"+"
+"+" +"+"
+"+" +"+"
D R
o ile całka po prawej stronie istnieje. Mówimy wtedy, że FUNKCJA f JEST
CAAKOWALNA NA OBSZARZE D.
UWAGA
"
"
"
"
Całka f x, y dxdy nie zależy od wyboru prostokąta R.
( )
( )
( )
( )
+"+"
+"+"
+"+"
+"+"
R
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
VB = f x, y dxdy
=
= ( )
= ( )
( )
( )
+"+"
+"+"
+"+"
+"+"
D
3
B = x, y,z " : x , y " D, 0 d" z d" f x , y
= " ( ) ( )
" " d" d"
= ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( )
" " d" d"
" d" d"
( )
( )
{ ( ) ( )
{ }
{ }
{ }
}
DEFINICJA (obszarów normalnych względem osi OX, OY)
(i) Obszar domkniÄ™ty D ‚" 2
‚" nazywa siÄ™ OBSZAREM NORMALNYM WZGLDEM
‚"
‚"
OSI OX, gdy
2
D = x, y " : a d" x d" b, Õ( x ) d" y d" È( x ) ,
= " d" d" d" d"
" d" d" d" d"
= ( ) d" d"
= ( )
" d" d"
( )
( )
{ }
{ }
{ }
{ }
gdzie Õ,È sÄ… funkcjami okreÅ›lonymi i ciÄ…gÅ‚ymi w [a,b] takimi, że
Õ( x ) d" È( x ), x " a,b .
d" "
d" "
d" "
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
(ii) Obszar domkniÄ™ty D ‚" nazywa siÄ™ OBSZAREM NORMALNYM WZGLDEM
‚"
‚"
‚"
OSI OY, gdy
2
D = x, y " : c d" y d" d , h( y ) d" x d" g( y ) ,
= " d" d" d" d"
" d" d" d" d"
= ( ) d" d"
= ( )
" d" d"
( )
( )
{ }
{ }
{ }
{ }
gdzie h, g są funkcjami określonymi i ciągłymi w [c,d] takimi, że
d" "
h( y ) d" g( y ), y " c,d .
d" "
d" "
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki podwójnej po obszarze normalnym względem OX)
2
Jeżeli funkcja f : D ‚"
jest caÅ‚kowalna w obszarze D ‚" normalnym wzglÄ™dem osi
‚"
‚"
OX, to
b
îÅ‚È( x ) Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
f x, y dxdy = f x , y dyśł dx
=
( ) =
( ) =
( ) ïÅ‚ ( ) śł
( ) ïÅ‚ ( ) śł
ïÅ‚ ( )
ïÅ‚ ( ) śł
+"+" +" +"
+"+" +" +"
+"+" +" +"
+"+" +" +"
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
D a ïÅ‚Õ( x ) śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
UWAGA (o całce po prostokącie)
Jeżeli funkcja f : R
jest całkowalna w prostokącie
2
R := ( x, y )" : a d" x d" b, c d" y d" d
= " d" d" d" d"
= " d" d" d" d"
= " d" d" d" d"
{ }
{ }
{ }
{ }
b
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚d Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
to f x, y dxdy = f x, y dyśł dx
=
( ) = ( )
( ) = ( )
( ) ( )
( ) ( )
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
+"+" +" +"
+"+" +" +"
+"+" +" +"
+"+" +" +"
R a ðÅ‚ c ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
DEFINICJA (obszaru regularnego)
2
Obszar D ‚" nazywa siÄ™ OBSZAREM REGULARNYM, gdy można go podzielić na
‚"
‚"
‚"
skończoną ilość obszarów normalnych względem osi OX lub OY o wnętrzach parami
rozłącznych.
TWIERDZENIE (o całce podwójnej po obszarze regularnym)
2
Niech obszar regularny D ‚" bÄ™dzie sumÄ… obszarów normalnych D1 ,..., Dn o wnÄ™trzach
‚"
‚"
‚"
parami rozłącznych oraz niech funkcja f będzie całkowalna na tym obszarze. Wtedy
n
f ( x, y )dxdy = f ( x, y )dxdy
=
=
=
"
"
"
"
+"+" +"+"
+"+" +"+"
+"+" +"+"
+"+" +"+"
k =1
=
=
=
D Dk
DEFINICJA
Niech ", D będą obszarami odpowiednio na płaszczyznach uOv, xOy.
PRZEKSZTAACENIEM OBSZARU " W OBSZAR D nazywa siÄ™ funkcjÄ™ ! : " D
!
!
!
określoną wzorem
x, y = ! u,v = Õ u,v ,È u,v , u,v " "
= ! = "
= ! = "
= ! = "
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
OBRAZEM ZBIORU " przy przekształceniu ! nazywa się zbiór
!
!
!
! " := x, y : x = Õ u,v , y = È u,v , u,v " "
! = = = "
"
! = = = ( ) ( )
! = = = ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }
( ) ( ) ( ) "
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) }
( ) ( ) ( )
{ }
{
{ }
{
Przekształcenie ! nazywa się RÓŻNOWARTOŚCIOWYM, gdy różnym punktom
!
!
!
z " przyporządkowane są różne punkty z D.
DEFINICJA
JACOBIANEM PRZEKSZTAACENIA
! u,v = Õ u,v ,È u,v , u,v " "
! = "
! = "
! = "
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
nazywa się funkcję określoną wzorem
"Õ "
" "
îÅ‚ " "Õ
îÅ‚ " "
îÅ‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
( ) ( )Å‚Å‚
( ) ( )śł
( ) ( )Å‚Å‚
( ) ( )śł
ïÅ‚" u,v "v u,v śł
ïÅ‚
ïÅ‚" śł
ïÅ‚
" Õ,È
"
" ( )
" ( )
( )
( )
"
"
"
J! u,v = := det śł
= = ïÅ‚"
( ) = = ïÅ‚"u śł
( ) = =
( ) ïÅ‚ śł
( ) ïÅ‚ śł
!
!
!
" u,v "
" "
" ( ) "
" ( )
( )
( )
ïÅ‚" śł
ïÅ‚"È u,v "È u,v śł
ïÅ‚"
ïÅ‚"
( ) ( )śł
( ) ( )śł
( ) ( )śł
( ) ( )śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚ "u "v ûÅ‚
ðÅ‚ " " ûÅ‚
ðÅ‚ " " ûÅ‚
ðÅ‚ " " ûÅ‚
TWIERDZENIE (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)
Niech
Å„Å‚ =
Å„Å‚
Å„Å‚ = Õ u,v
Å„Å‚x = ( )
= ( )
( )
( )
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
(i) przekształcenie ! : , u,v " " odwzorowuje różnowartościowo wnętrze
! "
"
! ( )
! ( )
"
( )
( )
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
y = È u,v
=
= ( )
= ( )
( )
( )
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ół
ół
ół
obszaru regularnego " na wnętrze obszaru regularnego D
(ii) funkcje Õ,È majÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne czÄ…stkowe rzÄ™du pierwszego na pewnym zbiorze
otwartym zawierajÄ…cym obszar "
(iii) funkcja f będzie ciągła na obszarze D
(iv) jacobian J! przekształcenia ! jest różny od zera wewnątrz "
!
!
!
!
!
!
Wtedy
f ( x, y )dxdy = f ( Õ u,v ,È u,v ) J! u,v dudv
=
= ( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
!
!
!
+"+" +"+"
+"+" +"+"
+"+" +"+"
+"+" +"+"
D "
DEFINICJA (współrzędnych biegunowych)
PoÅ‚ożenie punktu P na pÅ‚aszczyznie XOY można opisać przy pomocy pary liczb Õ,Á ,
( )
( )
( )
( )
gdzie Õ oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy dodatniÄ… częściÄ… osi OX a promieniem wodzÄ…cym punktu
P Õ" 0,2Ä„ lub Õ"
" "
" "
" "
[ ] [- ]
[ ] [- ]
]
( [ ] [-Ä„,Ä„ ; Natomiast Á oznacza odlegÅ‚ość punktu P od poczÄ…tku
( [ ] [- ]
)
( )
( )
)
ukÅ‚adu współrzÄ™dnych Á e" 0 . ParÄ™ liczb Õ,Á nazywa siÄ™ WSPÓARZDNYMI
e"
e"
e"
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
BIEGUNOWYMI PUNKTU PAASZCZYZNY.
UWAGA (o całce podwójnej we współrzędnych biegunowych)
(i) Współrzędne x, y punktu płaszczyzny XOY danego we współrzędnych biegunowych
( )
( )
( )
( )
Õ,Á okreÅ›lone sÄ… wzorami
( )
( )
( )
( )
x = Ácos Õ
=
Å„Å‚ =
Å„Å‚ =
Å„Å‚
Å„Å‚
² :
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
òÅ‚
y = Á sinÕ
=
=
=
ół
ół
ół
ół
(ii) PrzeksztaÅ‚cenie ² , które każdemu punktowi Õ,Á przyporzÄ…dkowuje punkt x, y
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
określony powyższymi wzorami nazywa się PRZEKSZTAACENIEM
BIEGUNOWYM.
îÅ‚-Á sinÕ cos Õ
îÅ‚-
îÅ‚- Å‚Å‚
îÅ‚- Å‚Å‚
Å‚Å‚
Å‚Å‚
(iii) J² Õ,Á = det = >
=
( ) = = >
( ) = = >
( )
( )
ïÅ‚Ácos Õ sinÕśł = Á > 0 wewnÄ…trz prostokÄ…ta
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
" = Õ,Á : 0 d" Ä… < Õ < ² d" 2Ä„, 0 d" Á d" r
= d" < < d" d" d"
= ( ) d" < < d" d" d"
= ( ) d" < < d" d" d"
( )
( )
{ }
{ }
{ }
{ }
(iv) f x, y dxdy = f Ácos Õ,Á sinÕ ÁdÕdÁ , D = ² "
= =
( ) = ( ) = ( )
( ) = ( ) = ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+"+" +"+"
+"+" +"+"
+"+" +"+"
+"+" +"+"
D "
Wyszukiwarka