Przykładowy sprawdzian z kinematyki v 2 0

y
c
a
Sprawdzian z TMM zadania przykładowe
0
�3
Wyniki obliczeń należy wpisać do tabelki z dokładnością do trzech cyfr po przecinku. 3
b
1. Na rysunku przedstawiono schemat kinematyczny mechanizmu w położeniu jakie przyjął w chwili, gdy
2
prędkość kątowa członu 1 wynosiła �1. Policzyć prędkość kątową członu 3 w rozpatrywanej chwili.
a
�1 1
Dane: a = 1 (m), b = 2 (m), c = 3 (m), �1 = 1 (rad/s). x
0
y
a
2. Na rysunku przedstawiono schemat kinematyczny mechanizmu. Człon 3 porusza się
1
�2
�1
b
wzdłuż prowadnicy równoległej do osi x globalnego układu odniesienia, parametr r
odmierza jego położenie. Orientacja członu 1 jest określona przez kąt �1. Należy
2
c
policzyć kąt �1 w chwili, gdy r = 6 (cm). Do tabelki należy wpisać rozwiązanie
x
z przedziału (0, Ą/2).
3
r
Dane: a = c = 1 (cm), b = 6 (cm).
�ł -1 łł 0
x2 + y �ł łł
3. Dany jest układ równań: Ś(x, y) a"
�łx3 2 y - 4śł = .
�ł0śł
-
�ł �ł
�ł �ł
Układ rozwiązywano metodą Newtona Raphsona, przyjmując przybliżenie startowe x0 = 2 oraz y0 = 1. Należy obliczyć wartość x1,
uzyskaną po pierwszym kroku iteracji.
Imię i nazwisko �3 (rad/s) �1 (rad) x1 ( )
Marek Wojtyra 0.375 1.240 1.500
Rozwiązanie zadania 1
Wprowadzamy lokalne, związane z członami, układy odniesienia w sposób pokazany na rysunku b).
y y0 y
c
a
Ą3
c
0
�3
3
b
b
2
Ą2
d
a
a
Ą1
�1 1
x x0 x
0
a) b) c)
Aańcuch kinematyczny opisujemy za pomocą wieloboku wektorowego, pokazanego na rysunku c).
Wektory a, b, c i d są stałe w odpowiednich układach odniesienia:
0 c a + c
�ł łł �ł łł �ł łł �ł - a
łł
a(1) =
�łaśł, b(2) = �łbśł, c(3) = �ł śł, d(0) = �ła + bśł. (1)
0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
Pisząc równanie wieloboku wektorowego pamiętamy, aby wszystkie wektory dodawać w tym samym,
globalnym układzie odniesienia. Przeliczając wektor z lokalnego do globalnego układu odniesienia korzystamy
z odpowiedniej macierzy kosinusów kierunkowych. Otrzymujemy następujące równanie wieloboku
wektorowego:
R1a(1) + R2b(2) - R3c(3) - d(0) = 0 . (2)
Ze sposobu wprowadzenia lokalnych układów odniesienia wynika, że w rozpatrywanej chwili kąty opisujące
obroty członów względem podstawy mechanizmu są zerowe (należy jednak pamiętać, że są to wielkości
zmienne w czasie):
cos�1 - sin�1 1 0
�ł łł �ł łł
�1 = 0, R1 = =
�łsin� cos�1 śł �ł0 1śł = I2�2, �2 = 0, R2 = I2�2, �3 = 0, R3 = I2�2. (3)
�ł 1 �ł �ł �ł
Różniczkując równanie wieloboku wektorowego, pamiętamy, że jedynie macierze kosinusów kierunkowych
zależą od czasu, otrzymujemy zatem:
&� &� &�
�R1a(1)�1 + �R2b(2)�2 - �R3c(3)�3 = 0 . (4)
&� &�
To samo równanie można zapisać inaczej, grupując nieznane prędkości �2 i �3 po lewej stronie, a znaną
&�
prędkość �1 = �1 po prawej:
&�
�2
�ł łł
&�
[�R2b(2) - �R3c(3)] �ł śł = -�R1a(1)�1 . (5)
&�
�ł�3 �ł
Jak wiadomo, macierz &! ma następującą postać:
0
�ł -1
łł
� =
�ł1 0 śł. (6)
�ł �ł
Podstawiając (1), (3) i (6) do (5), otrzymujemy:
&�
�ł- b 0 �2 a�1
łł �ł łł �ł łł
= . (7)
�ł śł
&�
c - (a + c)śł �ł�3 śł �ł 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Pozostaje tylko podstawienie danych liczbowych i rozwiązanie układu równań liniowych (np. metodą
wyznaczników):
&�
�ł- 2 0 �2 1
łł �ł łł �ł łł - 3
&�
= , �3 = �3 = = -0.375 (rad/s) . (8)
�ł
&�
3 - 4śł �ł�3 śł �ł0śł 8
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Warto zauważyć, że przystępując do rozwiązywania zadania, lokalne układy odniesienia można związać
z członami na wiele różnych sposobów. Schemat postępowania nie ulegnie zmianie, mogą się jednak zmienić
szczegóły obliczeń. Dla rozwiania wątpliwości, wprowadzmy lokalne układy odniesienia nieco inaczej
i przepiszmy wzory w odpowiednio zmienionej formie.
y0
Ą3
Ą2
Ą1
x0
d)
Dla lokalnych układów odniesienia wprowadzonych tak, jak na rysunku d) zmianie ulegają tylko wzory (1)
i (3), pozostałe równania pozostają natomiast bez zmian:
�ł
a a + c
�ł łł �ł łł �ł łł �ł - a
łł
b2 + c2 łł f
a(1) =
�ł0śł, b(2) = �ł 0 śł = �ł0 śł, c(3) = �ł śł, d(0) = �ła + bśł. (1a)
0
�ł �ł �ł śł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł
0
�ł -1 c / f 1 0
łł �ł - b / f
łł �ł łł
�1 = Ą / 2, R1 =
�ł1 0 śł, �2 = atan2(b,c), R2 = �łb / f c / f śł, �3 = 0, R3 = �ł0 1śł. (3a)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Rozwiązanie zadania 2
Wprowadzamy lokalne, związane z członami, układy odniesienia w sposób pokazany na rysunku a).
y
y
a
a
1
�2
�1
b
b
2
c
c
x
x
rw
3
r
a) b)
Aańcuch kinematyczny opisujemy za pomocą wieloboku wektorowego, pokazanego na rysunku b).
Wektory a, b, c i w są stałe w odpowiednich układach odniesienia:
a b 0 1
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
a(1) =
�ł0śł, b(2) = �ł0śł, c(0) = �łcśł, w(0) = �ł0śł. (1)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
Pisząc równanie wieloboku wektorowego pamiętamy, aby wszystkie wektory dodawać w tym samym,
globalnym układzie odniesienia. Przeliczając wektor z lokalnego do globalnego układu odniesienia korzystamy
z odpowiedniej macierzy kosinusów kierunkowych. Otrzymujemy następujące równanie wieloboku
wektorowego:
c(0) + R1a(1) + R2b(2) - rw(0) = 0 , (2)
gdzie:
cos�1 - sin�1 cos�2 - sin�2
�ł łł �ł łł
R1 =
�łsin� cos�1 śł, R2 = �łsin� cos�2 śł. (3)
�ł 1 �ł �ł 2 �ł
W zadaniu dana jest wartość przemieszczenia r, poszukiwane są natomiast kąty �1 i �2, zależność (2) możemy
zatem potraktować jako układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. W przypadku bardziej złożonych
zależności rozwiązania układu (2) poszukiwalibyśmy zapewne metodami numerycznymi, tym razem jednak
znajdziemy analityczne rozwiązanie układu nieliniowych równań algebraicznych (2). Podstawiając (1) i (3) do
(2), otrzymujemy:
0 cos�1 - sin�1 a cos�2 - sin�2 b r 0
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
+ + - = , (4)
�łcśł �łsin� cos�1 śł �ł0śł �łsin� cos�2 śł �ł0śł �ł0śł �ł0śł
�ł �ł �ł 1 �ł �ł �ł �ł 2 �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
A po wykonaniu mnożenia macierzy i wektorów oraz uporządkowaniu:
b cos�2 = r - a cos�1
ńł
�łbsin� = -(c + a sin�1) . (5)
ół 2
Sumując stronami powyższe równania podniesione do kwadratu, otrzymujemy:
b2 cos2 �2 + b2 sin2 �2 = r2 - 2ra cos�1 + a2 cos2 �1 + c2 + 2casin�1 + a2 sin2 �1 . (6)
Wykorzystując tzw. jedynkę trygonometryczną i porządkując wzór (6), otrzymujemy:
2a(r cos�1 - csin�1)= r2 + a2 + c2 - b2 . (7)
Przyjmując, że pewna zmienna pomocnicza ł jest zdefiniowana jako ł = atan2(c, r), możemy napisać:
r c
c
ł
cosł = , sin ł = . (8)
r
r2 + c2 r2 + c2
Wykorzystując powyższe podstawienia, a następnie wzór na kosinus sumy kątów
( cos(ą + � ) = cosą cos � - siną sin � ), równanie (7) możemy przekształcić do postaci:
r2 + a2 + c2 - b2
cos(�1 + ł )= . (9)
2a r2 + c2
Z równania (9) możemy wyznaczyć poszukiwany kąt �1:
r2 + a2 + c2 - b2
�1 = ą arccos - atan2(c, r) . (10)
2a r2 + c2
W obliczeniach według wzoru (10) należy przyjąć znak +, aby uzyskać rozwiązanie z przedziału (0, Ą/2):
�1 H"1.2405 (rad)
Rozwiązanie zadania 3
Niewiadome x i y zapisujemy w postaci wektora:
x
�ł łł
q = . (1)
�ł
yśł
�ł �ł
Układ równań można przepisać w postaci:
2
�ł x2 + y -1 łł
�ł q1 + q2 -1 łł 0
�ł łł
Ś(q)a" . (2)
�łx3 2 y - 4śł =
�łq3 2q2 - 4śł =
�ł0śł
-
-
�ł �ł
�ł 1 �ł
�ł �ł
Macierz Jacobiego obliczamy, różniczkując Ś(q) względem wektora q:
2x 1
�ł łł �ł łł
2q1 1
Śq(q)a" a" . (3)
�ł3x2
- 2śł �ł3q2 - 2śł
�ł �ł �ł 1 �ł
Zgodnie z treścią zadania przybliżenie startowe wynosi:
x0 2
�ł łł �ł łł
q0 = = . (4)
�ł śł �ł1śł
y0
�ł �ł �ł �ł
Funkcja wektorowa Ś, dana równaniem (2) ma w punkcie q0 wartość:
�ł 22 +1-1 4
łł
�ł łł
Ś(q0)=
�ł23 2 �"1- 4śł = �ł2śł . (5)
-
�ł �ł
�ł �ł
Macierz Jacobiego, dana równaniem (3) ma w punkcie q0 wartość:
2 �" 2 1
�ł łł 4 1
�ł łł
Śq(q0)=
�ł3�" 22 - 2śł =
�ł12 - 2śł . (6)
�ł �ł
�ł �ł
Przyrost obliczany w pierwszym kroku iteracji N-R oznaczamy przez "q:
"x x1
łł
�ł łł �ł - x0
"q = = . (7)
�ł"yśł �ł śł
y1 - y0
�ł �ł �ł �ł
Wartość przyrostu "q oblicza się rozwiązując następujący układ równań liniowych:
Śq(q0)"q = -Ś(q0). (8)
Podstawiając (5), (6) i (7) do (8), otrzymujemy:
4 1 "x 4
�ł łł �ł łł �ł- łł
= . (9)
�ł12 - 2śł �ł"yśł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł- 2śł
�ł
Rozwiązując powyższy układ równań, znajdujemy:
-1
"x = . (10)
2
Ostatecznie zatem, korzystając z zależności (7), obliczamy:
1 3
x1 = x0 + "x = 2 - = = 1.5 . (11)
2 2

Wyszukiwarka