CAA
KA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA W R2 .
Def.
Niech L = S(x, y) " R2 : x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²] , x, y " C1([Ä…, ²]; R)
lub L = S(x, y) " R2 : y = f(x), x " [a, b] , f " C1([a, b]; R)
będzie łukiem regularnym w przestrzeni R2 (nie mającym punktów wielokrotnych).
Wyróżnijmy na łuku L dwa punkty:
poczÄ…tek A(x(Ä…), y(Ä…)) oraz koniec B(x(²), y(²)).
............................................................................................................
A
uk L, w którym wyróżniamy początek i koniec nazywamy łukiem skierowanym.
............................................................................................................
A
uk o początku A i końcu B oznaczamy symbolem AB .
Mówimy wtedy, że łuk AB oraz BA są przeciwnie skierowane
i piszemy często -AB zamiast BA.
.............................................................................................................
Jeżeli wraz ze wzrostem parametru t od Ä… do ² przesuwamy siÄ™
od początku A łuku L do jego końca B, przyjmować będziemy, że łuk L
ma orientacjÄ™ dodatniÄ…. Fakt ten zwykle oznaczamy L+.
.............................................................................................................
W przeciwnym wypadku orientację łuku L uważać będziemy za ujemną
i oznaczać L-.
..............................................................................................................
Orientację łuku zamkniętego L uważać będziemy za dodatnią, jeżeli wraz
ze wzrostem parametru t, punkt S(x,y) przebiega ten Å‚uk w kierunku przeciwnym
do ruchu wskazówek zegara.
----------------------------------------------------------------------------------------------
.....................................................................................................................
Niech P , Q będą parą ciągłych funkcji rzeczywistych dwóch zmiennych,
określonych na łuku gładkim
( ) ( )
L = S(x, y) " R2 : x = x t , y = y t , t " ² , x, y " C1 ² , R
[Ä…, ] ([Ä…, ] )
skierowanym, o poczÄ…tku w punkcie A(x(Ä…), y(Ä…)) i koÅ„cu w punkcie B(x(²), y(²)).
......................................................................................................................
Całkę krzywoliniową nieskierowaną z iloczynu skalarnego wektora
çÅ‚çÅ‚
F(x, y) = P(x, y), Q(x, y) (siły F ) oraz wektora dL = [dx,dy] (przesunięcia po
[ ]
łuku L) o składowych dx oraz dy , nazywamy całką krzywoliniową skierowaną
z układu funkcji P,Q wzdłuż łuku gładkiego skierowanego L , którą oznaczamy
następująco:
çÅ‚çÅ‚
F(x, y)Å"dL = P(x, y)dx + Q(x, y)dy
+" +"
L
AB
------------------------------------------------------------------------------------------------
Tw.
( ) ( )
Jeżeli L = S(x, y) " R2 : x = x t , y = y t , t " ² , x, y " C1 ² , R
[Ä…, ] ([Ä…, ] )
jest Å‚ukiem regularnym skierowanym o poczÄ…tku w punkcie A(x(Ä…),y(Ä…))
i koÅ„cu w punkcie B(x(²),y(²)) , funkcje P,Q" Co(L, R), to
²
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = (+) P(x t , y t ) Å" x t + Q(x t , y t ) Å" y t Å" dt
[
+" +"
Ä…
L+
...........................................................................................................................
1
Analogicznie sformułujmy twierdzenie dla całki krzywoliniowej skierowanej
dla Å‚uku regularnego L :
( )
L = S(x, y) " R2 : y = f x , x " [a, b], f " C1([a, b], R) .
..........................................................................................................................
Tw.
( )
Jeżeli L = S(x, y) " R2 : y = f x , x " [a, b], f " C1([a, b], R)
jest Å‚ukiem regularnym skierowanym o poczÄ…tku w punkcie A(a,f(a))
i końcu w punkcie B(b,f(b)) , funkcje P,Q" Co(L, R2), to
b
( ) ( ) ( )]
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = (+) P(x, f x ) + Q(x, f x ) Å" f x Å" dx (1')
[
+" +"
a
L+
...........................................................................................................................
Tw.
Całka krzywoliniowa układu funkcji P(x,y), Q(x,y) po krzywej regularnej
K ‚" R2 bÄ™dÄ…cÄ… sumÄ… skoÅ„czonej liczby Å‚uków regularnych L,
które nie mają wspólnych punktów wewnętrznych, jest sumą
całek krzywoliniowych tej funkcji po poszczególnych łukach regularnych.
.............................................................................................................................
Wybrane własności całki krzywoliniowej skierowanej.
1. Niech L = S(x, y) " R2 : x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²] , x, y " C1([Ä…, ²]; R)
będzie łukiem regularnym skierowanym o początku w punkcie A(x(ą), y(ą))
oraz koÅ„cu w punkcie B(x(²), y(²)) i niech C " L bÄ™dzie dowolnym punktem tego Å‚uku.
Niech P , Q będą parą ciągłych funkcji rzeczywistych dwóch zmiennych,
określonych na łuku L.
Wówczas
a) P(x, y)dx + Q(x, y) dy = P(x, y)dx + Q(x, y) dy +
+" +"
AB AC
+ P(x, y)dx + Q(x, y) dy (2)
+"
CB
b) P(x, y)dx + Q(x, y) dy = - P(x, y)dx + Q(x, y) dy (3)
+" +"
BA AB
Przykład.
Oblicz całkę: xdx + 2ydy
+"
+
L
gdzie L+ = x, y " R2 : y = sin x, x " [0, Ä„]
( )
Ä„ Ä„
xdx + 2ydy= + [x + 2 sin x Å" cos x]dx = + [x + sin 2x]dx =
+" +" +"
L 0 0
2
cos 2x cos 2Ä„ 0 cos 0
Å‚Å‚ Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚
= îÅ‚ x2 - [0,Pi]= îÅ‚ Ä„2 - - - = Ä„
2 2 2 2 ðÅ‚ 2 2 ûÅ‚ 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
........................................................................................................
lub dla L+ = x, y " R2 : x = t, y = sin t, t " [0, Ä„]
( )
2
Ä„
Ä„2
xdx + 2ydy = + [t Å" 1 + 2 sin t Å" cos t ]dt = .
+" +"
2
L 0
........................................................................................................................
Def.
Niech K ‚" D ‚" R2, P, Q " C0(D, R), Ä…, ² " R o poczÄ…tku w punkcie A
i końcu w punkcie B.
Całka krzywoliniowa skierowana
P(x, y)dx + Q(x, y) dy
+"
AB
nie zależy od drogi całkowania w obszarze D, jeżeli ma jednakową wartość
wzdłuż każdej krzywej leżącej w tym obszarze łączącej punkt początkowy A
i końcowy B.
...........................................................................................................................
Tw.
Jeżeli P, Q " C0(D, R), gdzie D jest obszarem jednospójnym w R2 ,
to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to aby całka krzywoliniowa
skierowana nie zależała od drogi całkowania jest, aby wyrażenie
P(x, y)dx + Q(x, y) dy
było różniczką zupełną funkcji F = F(x,y), tzn., że
"F(x, y) "F(x, y)
= P(x, y) oraz = Q(x, y) (4)
"x "y
Wówczas
P(x, y)dx + Q(x, y) dy = F(B) - F(A (5)
+"
AB
--------------------------------------------------------------------------------------------
Natomiast warunek konieczny i wystarczający na to, aby funkcja F spełniająca (4)
istniała, zawiera
Tw.
Jeżeli P, Q " C1(D, R) , gdzie D jest obszarem jednospójnym w R2 ,
to warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby istniała funkcja F,
której różniczką zupełną jest wyrażenie P(x, y)dx + Q(x, y) dy,
jest spełnienie równości
"P(x, y) "Q(x, y)
= (6)
"y "x
----------------------------------------------------------------------------------------
W przypadku, gdy L jest krzywą regularną, zamkniętą, ograniczającą
pewien jednospójny obszar D ( krzywa Jordana), wówczas istnieje związek
między całką krzywoliniową skierowaną po tej krzywej, a całką podwójną
po tym obszarze.
Sformułujmy mianowicie
Tw. Greena
Jeżeli P, Q " C1(D, R) i D jest obszarem jednospójnym normalnym względem
obu osi układu współrzędnych, wówczas całka krzywoliniowa skierowana
po zamkniętym dodatnio zorientowanym brzegu L obszaru D
"Q
îÅ‚ Å‚Å‚dxdy.
"P
P(x, y)dx + Q(x, y) dy = -
ïÅ‚ śł
+" +"+"
"x "y
ðÅ‚ ûÅ‚
L D
3
Przykład.
Oblicz całkę:
Å„Å‚ üÅ‚
brzegiem
ôÅ‚ ôÅ‚
(2xy - y)dx + x2dy, gdzie L+ :òÅ‚jest obszaru ograniczonego linia
+" żł
ôÅ‚ ôÅ‚
L
x2 + y2 = 4
ół þÅ‚
Ponieważ krzywa L jest zamkniętym brzegiem jednospójnego i normalnego
względem obu osi układu współrzędnych, to wykorzystując twierdzenie Greena
oraz uwzględniając dodatnią orientację linii L mamy
(2xy - y)dx + x2dy = + [2x - 2x + 1]dD = 4Ä„.
+" +"+"
L D
Przykład.
ydx + xdy
+"
L+
gdzie L jest częścią linii o równaniu y = ln x dla x"[1, e]
Metoda I.
e
e
îÅ‚ln 1 Å‚Å‚dx
ydx + xdy = x + x Å" =[x ln x - x + x] = e.
+" +"
x
ðÅ‚ ûÅ‚
1
L 1
Metoda II.
Ponieważ dla P(x,y) = y oraz Q(x,y) = x spełniony jest warunek
"Q
"P
=
"y "x
niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania
dla każdej krzywej zawartej w każdym obszarze jednospójnym
nie zawierajÄ…cym osi OY, zatem istnieje taka funkcja F = F(x,y),
że
Fx(x, y) = P(x, y) oraz F' (x,y) = Q(x,y),
y
tzn. F' (x,y) = y
x
więc F(x,y) = ydx =xy +C(y)
+"
oraz F' (x,y) = x ,
y
dC(y)
tzn. xy + C(y) = x czyli x + = x
[ ]y
dy
dC(y)
stÄ…d = 0zatem C(y) = C, gdzie C" R.
dy
Zatem F(x,y) = xy +C(y) = xy +C, gdzie C" R
(e,1
oraz [ ]
+"ydx + xdy= F(B) - F(A)= xy + C =e
(1,0
L
4
Metoda III.
Ponieważ dla P(x,y) = y oraz Q(x,y) = x spełniony jest warunek
"Q
"P
=
"x "x
niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania
dla każdej krzywej zawartej w każdym obszarze jednospójnym D ‚" R2
nie zawierającym osi OY, zatem wartość całki będzie niezmienna
dla dowolnej krzywej L leżącej w obszarze D , w szczególności ,
gdy L będzie np odcinkiem łączącym początek i koniec krzywej L.
y - y0 x - x0
y - 0
x - 1 1
Ô! y = ( - 1dla x" [1, e]
x
y1 - y0 = x1 - x0 Ô! 1 - 0 =
e - 1 e - 1
Zatem
e
e
e
1 1
îÅ‚ 2
îÅ‚ Å‚Å‚
ydx + xdy = ( - 1 + xëÅ‚ 1 öÅ‚ Å‚Å‚d= 1 2x - 1 dx =
x ) [ ]
+" +"
+"
ðÅ‚x - xûÅ‚ 1 =
íÅ‚ Å‚Å‚
e-1 e-1
ðÅ‚ ûÅ‚ - 1 e - 1
e
L 1
1
1
îÅ‚ îÅ‚ëÅ‚e2 ëÅ‚12
= - eöÅ‚ - - 1öÅ‚ = e .
ïÅ‚
Å‚Å‚
ðÅ‚ - 1 ðÅ‚íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
e
Ćwiczenia.
Oblicz całki:
a) w opisie jawnym,
b) w opisie parametrycznym.
1. ( - y dx + x - y dy, gdzie K+ : x2 + y2= 2x
x ) ( )
+"
K+
Å„Å‚ üÅ‚
L- jest brzegiem
ôÅ‚ ôÅ‚
2. exdx, gdzie : òÅ‚
obszaru ograniczonego liniami
+" żł,
ôÅ‚ ôÅ‚
L-
x = 0, y = 2, x = ln x
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
K+ jest brzegiem
ôÅ‚ ôÅ‚
3. 2ydx + 2xdy , gdzieòÅ‚ obszaru ograniczonego liniami
+" żł,
ôÅ‚ ôÅ‚
K+
y = x , y = 0, x + y = 2
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
K+ jest brzegiem
ôÅ‚ ôÅ‚
ëÅ‚x2 öÅ‚
4. + y2 Å‚Å‚ dx + d , gdzieòÅ‚ obszaru ograniczonego linia
+" żł,
íÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
K+
x2 + y2 = 4
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
K+ jest brzegiem
ôÅ‚ ôÅ‚
5. 2dy , gdzieòÅ‚ obszaru ograniczonego linia
+" żł,
ôÅ‚ ôÅ‚
K+
x2 + y2 = 2x
ół þÅ‚
5
Å„Å‚ üÅ‚
L- jest brzegiem
ôÅ‚ ôÅ‚
6. dx. gdzieòÅ‚ obszaru ograniczonego linia
+" żł,
ôÅ‚ ôÅ‚
L-
x2 + y2 = -2x + 2y
ół þÅ‚
ydx - xdy
7. , gdzie
+"
x2 + y2
L-
Å„Å‚ üÅ‚
L- jest brzegiem
ôÅ‚ ôÅ‚
a) obszaru ograniczonego linia
òÅ‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
x2 + y2 = 1
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
L- jest brzegiem
ôÅ‚ ôÅ‚
b) obszaru ograniczonego linia
òÅ‚ żł.
ôÅ‚ ôÅ‚
x2 + y2 = 6x - 8
ół þÅ‚
6