Stabilność BIBO kryterium algebraiczne Routha-Hurwitza
Wa ne!informacje:
" Liczba!zmian!znaków!wspó"czynników!w!pierwszej!kolumnie!oznacza!liczb#!
pierwiastków!równania!charakterystycznego!znajduj$cych!si#!w!prawej!
pó"p"aszczy%nie
" W!przypadku!gdy!w!trakcie!oblicze&!wyst$pi!ca"y!rz$d!zer,!równanie!
charakterystyczne!ma!pierwiastki!urojone,!sprz# one
" Post#powanie!w!przypadku,!gdy!w!pierwszej!kolumnie!wyst$pi!zero!zostanie!
pokazane!na!'wiczeniach
s6 a6 a4 a2 a0
s5 a5 a3 a1 0
a5a4 - a6a3 a5a2 - a6a1 a5a0 - a6 Å"0
s4 = A = B = a0 0
a5 a5 a5
Aa3 - a5B Aa1 - a5a0
s3 = C = D 0 0
A A
BC - AD Ca0 - AÅ"0
s2 = E = a0 0 0
C C
ED - Ca0
s1 = F 0 0 0
E
Fa0 - E Å"0
s0 = a0 0 0 0
F
144
Inżynieria systemów dynamicznych
Stabilność BIBO kryterium algebraiczne Routha-Hurwitza - przykład
Wyznacz,!jakie!powinny!by'!warto(ci!parametrów!regulatora,!aby!poni szy!
uk"ad!by"!BIBO!stabilny!
1
R(s) Y(s)
as + k
_ s(s + 2)2
Równanie!charakterystyczne
s3 + 2s2 + (4 + a)s + k = 0
(4 + a) > 0
Warunek konieczny
k > 0
s3 1 4 + a
Warunek z tablicy
- k + 2a + 8
s2 2 k
> 0
2
- k + 2a + 8
s1 0
k > 0
2
s0 k
145
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
Stabilność BIBO kryterium algebraiczne Routha-Hurwitza - przykład
4
1
2
a > k - 4
2
k > 0
0
a > -4
a
-2
-4
-6
-8
-5 0 5 10 15
k
146
Inżynieria systemów dynamicznych
Równanie charakterystyczne z równania różniczkowego
Dla modelu danego równaniem ró!niczkowym
n n-1
d y(t) d y(t) dy(t)
+ an-1 + + a1 + a0 y(t)
dtn dtn-1 dt
m m-1
d u(t) d u(t) du(t)
= bm + bm-1 + + b1 + b0u(t)
dtm dtm-1 dt
snY(s) + an-1sn-1Y(s) + + a1sY(s) + a0Y (s)
= bmsmU (s) + bm-1sm-1U (s) + + b1sU(s) + b0U(s)
Równanie charakterystyczne
sn + an-1sn-1 + + a1s + a0 = 0
147
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
Równanie charakterystyczne z modelu stanowego
Dla modelu danego modelem stanowym
"
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
Równanie charakterystyczne
det[sI - A]= 0
148
Inżynieria systemów dynamicznych
Wartości własne macierzy
Warto!ciami w"asnymi macierzy A nazywamy pierwiastki równania
charakterystycznego
det[sI - A]= 0
Wa#ne informacje:
" je!li wszystkie elementy macierzy A s$ liczbami rzeczywistymi, to jej warto!ci w"asne
s$ liczbami rzeczywistymi b$d% parami liczb zespolonych sprz&#onych
" warto!ci w"asne macierzy A s$ jednocze!nie miejscami zerowymi wielomianu
mianownika transmitancji, czyli biegunami systemu (UWAGA: tylko wtedy, gdy nie
zachodzi kompensacja czynników licznika i mianownika przy wyznaczaniu transmitancji
na podstawie modelu stanowego)
" systemy o tej samej transmitancji ale o ró#nych modelach stanowych maj$ to samo
równanie charakterystyczne, czyli ich macierze procesu maj$ te same warto!ci w"asne
149
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
Stabilność totalna (wewnętrzna) układu sterowania
Rozwa my!typowy!schemat!uk"adu!sterowania!ze!sprz# eniem!zwrotnym:!
D1(s)
U(s)
W(s)
R(s) Y(s)
C(s) G(s)
_
D2(s)
H(s)
Totalna!(wewn#trzna)!stabilno$%!tego!uk"adu!wymaga,!aby!wszystkie!
wyst#puj&ce!w!nim!sygna"y!by"y!ograniczone,!je$li!sygna"y!wej$ciowe!s&!
ograniczone.
Wszystkie!wyst#puj&ce!w!uk"adzie!transmitancje!musz&!wi#c!by%!stabilne!w!
sensie BIBO.
150
Inżynieria systemów dynamicznych
Stabilność totalna (wewnętrzna) test wewnętrznej stabilności
D1(s)
U(s)
W(s)
R(s) Y(s)
C(s) G(s)
_
D2(s)
H(s)
Uk"ad!ze!sprz# eniem!zwrotnym!jak!na!rysunku!b#dzie!wewn#trznie!stabilny!
wtedy i tylko wtedy, gdy transmitancja operatorowa 1+H(s)C(s)G(s) nie ma
zer w p.p.!z!w"&czeniem!osi!urojonej,!za$!w!iloczynie!H(s)C(s)G(s) nie
wyst#puj&!uproszczenia!zer!z!biegunami!le &cymi!w!p.p. i na osi urojonej.
151
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
Stabilność totalna (wewnętrzna) test wewnętrznej stabilności - przykład
D1(s)
Przyk!ad:
U(s)
W(s)
R(s) Y(s)
C(s) G(s)
_
D2(s)
H(s)
Nast pi!o"uproszczenie"
1
s -1 1 1
G(s) = bieguna w p. s=1 uk!ad"
H(s)C(s)G(s) = Å" =
s -1 nie"jest"wewn#trznie"
s +1 s -1 s +1
stabilny
s -1
C(s) =
Y(s) C(s)G(s) 1
s +1 = =
R(s) 1+ H(s)C(s)G(s) s + 2
H(s) =1
Y(s) G(s) s +1
= =
D1(s) 1+ H(s)C(s)G(s) (s -1)(s + 2)
Uk!ad"jest"stabilny"z"punktu"widzenia"wej$cia"zadaj cego"r(t),"ale"jakiekolwiek"zak!ócenie"
pojawiaj ce"si#"na"wej$ciu"d1(t)"spowoduje"jego"destabilizacj#
152
Inżynieria systemów dynamicznych
Stabilność totalna (wewnętrzna) test wewnętrznej stabilności - przykład
Przyk!ad:
U(s)
R(s) Y(s)
C(s) G(s)
_
Nast pi!o"uproszczenie"
s -1
1 s -1 1
G(s) = bieguna w p. s=1 uk!ad"
C(s)G(s) = Å" =
s +1 nie"jest"wewn#trznie"
s -1 s +1 s +1
stabilny
1
C(s) =
s -1
Y(s) C(s)G(s) 1
= =
R(s) 1+ C(s)G(s) s + 2
U(s) C(s) 1
= =
R(s) 1+ C(s)G(s) (s -1)(s + 2)
153
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
Stabilność totalna (wewnętrzna) test wewnętrznej stabilności - przykład
Model!uk adu!w!Simulinku
Uk ad!jest!stabilny!z!punktu!
widzenia!wyj"cia,!ale!wewn#trz!
uk adu!sygna !steruj#cy!u(t)!b$dzie!
nieograniczony
154
Inżynieria systemów dynamicznych
Stabilność totalna (wewnętrzna) model stanowy - przykład
Wyznaczmy!transmitancj$!systemu!danego!równaniami!stanu:
îÅ‚-1 2 1
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
A = , B = [1 [0]
ïÅ‚ ïÅ‚0śł, C = -1], D =
1 0śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
s 2
1 îÅ‚ Å‚Å‚
-1
[sI - A] =
ïÅ‚1
(s -1)(s + 2) s +1śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1
-1
G(s) = C[sI - A] B = [1 -1]îÅ‚s 2 Å‚Å‚îÅ‚1Å‚Å‚
ïÅ‚1 s +1śłïÅ‚0śł
(s -1)(s + 2)
ðÅ‚ ûÅ‚ðÅ‚ ûÅ‚
1 s -1
G(s) = [1 -1]îÅ‚sÅ‚Å‚ =
ïÅ‚1śł
(s -1)(s + 2) (s -1)(s + 2)
ðÅ‚ ûÅ‚
1
G(s) =
(s + 2)
Zauwa%my:!model!transmitancyjny!w!tym!przypadku!ma!rz#d!ni%szy!ni%!
model!stanowy&!Dlaczego?!Jakie!s#!tego!konsekwencje?
155
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
Stabilność totalna (wewnętrzna) test wewnętrznej stabilności - przykład
Odpowiedz skokowa układu wygenerowana
clear all; close all; clc;
w Matlabie
T=0:0.05:11;
1
A = [-1 2; 1 0];
B = [1; 0];
0.5
C = [1 -1];
D = [0];
0
0 2 4 6 8 10 12
[Y,T,X] = step(ss(A,B,C,D),T)
4
x 10
2
subplot(3,1,1);
plot(T,Y);
1
ylabel('y(t)')
0
subplot(3,1,2);
0 2 4 6 8 10 12
plot(T,X(:,1));
4
x 10
ylabel('x_1(t)')
2
subplot(3,1,3); 1
plot(T,X(:,2));
0
ylabel('x_2(t)')
0 2 4 6 8 10 12
t
xlabel('t')
156
Inżynieria systemów dynamicznych
Stabilność asymptotyczna
Niech dany będzie pewien układ:
"
x(t) = Ax(t), x(0) = x0
Mówimy, że układ ten jest asymptotycznie stabilny, gdy dla dowolnego
warunku poczÄ…tkowego zachodzi:
t " Ò! , x(t) 0
Warunkiem asymptotycznej stabilno!ci jest to, aby wszystkie warto!ci
własne macierzy A leżały w lewej półpłaszczy"nie
UWAGA:
Warunkiem wystarczajÄ…cym BIBO stabilno!ci jest stabilno!# asymptotyczna
157
Inżynieria systemów dynamicznych
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
W
YMAGANIA STAWIANE
UKAADOM
REGULACJI
y(t)
1
x (t)
2
x (t)
Wyszukiwarka