GRANICE I CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
I. Obliczyć granice funkcji.
x+3 x2-9 x-3
1) lim 2) lim 3) lim
x2-9 x-3 x2-9
x2 x3 x3
x2-2x+1 x2-4
4) lim 2x - 100 5) lim 6) lim
x3-x x2-2x
x2345 x1 x2
x2-5x+4 x3+3x2+2x 2x2+5x+2
7) lim 8) lim 9) lim
x3-1 x2-x-6 x2+2x
x1 x-2 x-2
"
(x-1) 2-x
x2-x+6 x2-x-6
10) lim 11) lim 12) lim
x2-1 x3+8 x3+8
x1 x-2 x-2
x2-4 3x-4 8x3-1
13) lim 14) lim 15) lim
(x+2)3 2x2+x4 6x2-5x+1
1
x-2 x0
x
2
"
x- x
x2+x 1 3
"
16) lim 17) lim 18) lim(1-x - )
x x 1-x3
x0 x0 x1
1 1 1 3 x4-5x
19) lim(x-2 - ) 20) lim(1-x + ) 21) lim
x2-4 x3-1 (x2-3x+1
x"
x2 x1
"
3
x2
22) lim (5x + 3 x + 2) 23) lim (3x - x2)3 24) lim (2xx - )
2
-1 2x+1
x" x" x"
"
1 2x+3 3x+3
( x2+1+x)2 - )
x x+4 x+1
"
25) lim 26) lim (3 27) lim 2
3
x6+1
x" x" x"
x2+x-1 2x3+x2-3x+1 3x2-2x
28) lim (2x -x+1)3 29) lim 30) lim
2
(2x+1)2(5-x) x2+2x+5
x-" x-" x-"
"
"
x2+4 sinx
31) lim x( x2 + 1 - x) 32) lim 33) lim
x+2 x
x-" x" x"
x+sin x arc sin x arctgx
34) lim 35) lim 36) lim
Ä„x
x tg x
x" x"
x1 2
"
1 1 1+x-1
37) lim x sin 38) lim x cos 39) lim
x x 2
x"
x0 x0
" " "
1+x2-1 1+x-1 1+x-1
40) lim 41) lim 42) lim
x x x2
x0 x0 x0
" " " "
x2+1-1 x-1-2 x2+1- x+1
" "
43) lim 44) lim 45) lim
x-5
x2+16-4 1- x+1
x0 x5 x0
"
" " "
3
x2- x x+h- x
1+x2-1
"
46) lim 47) lim 48) lim
2
x-1 h
x1 h0 x0
" "
"x
"
3 3 "
1+x- 1-x
49) lim 50) lim ( x + a - x) 51) lim ( x2 + 1 - x)
x" x"
x0
"x
sin 2x x sin x
52) lim x( x2 + 1 - x) 53) lim 54) lim
sin 7x x+2x2
x"
x0 x0
tgkx x2 sin2 x
55) lim 56) lim 57) lim
x tgx x2
x0 x0 x0
tg2x a
"
58) lim 59) lim xctgx 60) lim
sin 5x 1-cos a
x0 x0 a0
2arcsix 2x-arcsinx 1+cos x
61) lim 62) lim 63) lim
3x 2x+arcsinx sin2 x
xĄ
x0 x0
tgÄ…-sin Ä… 1-sin x 3
64) lim 65) lim 66) lim (1 - )x+2
Ä…3 cos2 x x
Ć x"
Ä…0
x
2
x
67) lim (x+1)x 68) lim (1+x)x 69) lim (x+1)2x-1
x-1 x-2
x" x" x"
1
1
ln(9+x)-ln 9
+1
2x 4x2
70) lim(1 + x) 71) lim(1 + x2) 72) lim
x
x0 x0 x0
2 2
1 1+x
73) lim x(ln(x + 4) - ln x) 74) lim (x +1)x 75) lim ln
x2-1 x 1-x
x" x"
x0
1 1
ln(a+x)-ln a
sin x sin x
76) lim(1 + sin x) 77) lim(cos x) 78) lim
x
x0 x0 x0
ln x-1 ex-e-x esin 2x-esin x
79) lim 80) lim 81) lim
x-e sin x x
xe
x0 x0
1
1+cos x cos x
x "
82) lim 83) lim x(e - 1) 84) lim
3
sinx Ä„
xĄ x"
(1-sin x)2
x
2
1
II. Zbadać ciągłość funkcji. Określić rodzaje punktów nieciągłości.
"
x2 7 + x - 3 1
1-x
1) f(x) = 2) f(x) = 3) f(x) = 3
x - 2 x2 - 4
1 1 |x - 1|
x-1
4) f(x) = 2 5) f(x) = (x + 1) sin 6) f(x) = ex
x + 1 x - 1

"
1
-1
x
x - 1 e
x2 x 3
7) f(x) = 8) f(x) = 9) f(x) =
1
+1
2x + 1 x > 3
x - 1 x
e

x + 1 1
x - 1 x < 1
10) f(x) = 11) f(x) = 12) f(x) =
x
1
ln x x 1 1-x
x+1
1 - e
1 + e
Å„Å‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x < 0
" ôÅ‚ 1
ôÅ‚
x-1 òÅ‚
x
1 + e
x < 1
x-1
sin x
13) f(x) = 14) f(x) =
ôÅ‚
x > 0
ln x x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x2
ôÅ‚
ół
1 x = 0
Å„Å‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
sin sin x x < 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x
"
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1 - cos x x
òÅ‚
Ä„
x " (0, )
2
15) f(x) =
x2 sin x
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
Ä„
ôÅ‚
ôÅ‚
x
ôÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚ x
ół
0 x = 0
III. Czy można tak dobrać wartość parametru, aby funkcja była ciągła?
Å„Å‚
x2-9

ôÅ‚
x = -3

òÅ‚ Ä„
x+3
2x + a x
2
1) f(x) = - 7 x = -3
2) f(x) =
a2
Ä„
ôÅ‚
cos x x >
ół
2
1 x = 0
Å„Å‚
"
ôÅ‚ - 2-x
2x
òÅ‚
a + artgx x <
x = 0

"3
3) f(x) = 4)
x
ôÅ‚
log3 x x 3
ół
ln a x = 0
Å„Å‚ Å„Å‚
x
ôÅ‚ - 2x - 3
ôÅ‚ - arcsinx
x2
òÅ‚ òÅ‚
x = 0

x = -1

5) f(x) = 6) f(x) =
x + arctgx
x + 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
p x = -1 k x = 0
Å„Å‚
sin ax
ôÅ‚
ôÅ‚
"
ôÅ‚
-Ä„ x < 0
òÅ‚ 3
2
x + a x 0
sin 2x
7) f(x) = 8) f(x) = 1
b x = 0
ôÅ‚
x
(1 + x) x > 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x2 + x + 1 x > 0
IV. Wykazać, że funkcja f(x) posiada miejsca zerowe w podanym przedziale.
1. f(x) = x - 1 + arctgx w < 0, 1 >
2. f(x) = x - 2x - 1 w < 0, 1 >
V. Pokazać, że istnieje rozwiązanie równania w podanym przedziale.
1. xex = 1 dla x "< 0, 1 >
x2-2x
2. x + 1 = ln(x2 + 2) dla x "< -1, 9 > 3. = -3 dla x "< -2, 2 >.
x+3
2
ODPOWIEDZI
I.
1) - 1 2) 6 3) nie istnieje 4) 4590 5) 0
2 3 1
6) 2 7) - 1 8) - 9) 10)
5 2 2
5
11) nie istnieje 12) - 13) nie istnieje 14) " 15) 6
12
16) 1 17) - 1 18) - 1 19) nie istnieje 20) - 1
1
21) " 22) " 23) - " 24) 25) 2
4
1
26) - 1 27) 8 28) 29) 1 30) 3
8
1
31) 32) 1 33) 0 34) 1 35) 0
2
1
36) 0 37) 0 38) " 39) 0 40)
2
1
41) 42) nie istnieje 43) 4 44) 4 45) - 1
2
1 1 2
"
46) 3 47) 48) 49) 50) 0
2 x 3 3
1 2
51) 0 52) 53) 54) 0 55) k
2 7
"
2
56) 0 57) 1 58) 59) 1 60) 2
5
2 1 1 1
61) 62) 63) 64) 65)
3 3 2 2 2
1
2
66) e-3 67) e2 68) e-1 69) e6 70) e
1 1
4 9
71) e 72) e 73) e 74) e2 75) e2
1
76) e 77) e-1 78) 79) e-1 80) 2
a
1
81) 1 82) 83) 1 84) 0
2
II.
1) w x0 = 2 II-go rodzaju 2) w x0 = 2 I-go rodzaju typu luka (usuwalna)
3) w x0 = -2 II-go rodzaju 4) w x0 = 3 II-go rodzaju
5) w x0 = 1 I-go rodzaju,typu luka (usuwalna) 6) w x0 = 1 I-go rodzaju, typu skok
7) w x0 = 1 I-go rodzaju, typu luka 8) w x0 = 3 I-go rodzaju, typu skok
9) w x0 = 0 I-go rodzaju, typu skok 10) w x0 = 1 funkcja ciągła
11) w x0 = -3 I-go rodzaju, typu skok 12) w x0 = 1 I-go rodzaju, typu skok
13) w x0 = 1 I-go rodzaju, typu skok 14) w x0 = 0 II-go rodzaju
Ä„
15) w x0 = 0 I-go rodzaju typu skok w x1 = funkcja ciągła
2
III.
1 Ä„
1) a = 1 lub a = -1 2) a = -Ä„ 3) a = 4 4) a = - 5) p = -4
2 3
6) k = 0 7) a = 2 i b = 1 8) a = e
3