POTGOWANIE PIERWIASTKOWANIE UKAADY RÓWNAC am an = am+n n n n ax + by = c ab = a b am : an = am-n (dla m>n ^ aą0)
n x + b1y = c1 (am)n = amn am = (n a )m a1 (ab)n = anbn n a b a a n (a/b)n = an/bn (dla bą0) = W = = ab1 - a1b W ą 0 n b b a1 b1 a0=1 1 n n n m mn a = a a = a c b WX WX = = cb1 - c1b x = 1 WARTOŚĆ BEZWZGLDNA c1 b1 W a-n = an x2 = x a c WY m 1 n n WY = = ac1 - a1c y = a = (a )m x gdy x ł 0
a1 c1 W x = m 1 n n a- = (a )- m - x gdy x < 0 TRÓJMIAN KWADRATOWY WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCI f(x)=ax2+bc+c (a+b)2 = a2+2ab+b2 BEZWZGLDN D=b2-4ac (a-b)2 = a2-2ab+b2 Równanie: x-a= b, oznacza, że Jeżeli D>0, wtedy: (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 x-a = b x-a = -b. Postać kanoniczna - b - D (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 x1 = Nierówność: x-a2a f (x) = a(x - p)2 + q a2-b2 = (a-b)(a+b) x-a>-b Ł x-aa3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) - b + D Postać iloczynowa Nierówność: x-a>b, jest spełniona gdy: x2 = a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) 2a f (x) = a(x - x1)(x - x2) x-a<-b x-a>b Jeżeli D=0, wtedy: Wzory redukcyjne: Funkcje trygonometryczne różnicy kątów: b sin(90+a) = cosa sin(180+a) = -sina sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb x0 = - cos(90+a) = -sina cos(180+a) = -cosa 2a tg(90+a) = -ctga tg(180+a) = tga cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb Współrzędne wierzchołka paraboli: ctg(90+a) = -tga ctg(180+a)= ctga tga - tgb tg(a - b) = b D ć 1 + tga tgb W- ,- sin(270+a) = -cosa sin(360+a) = sina Ł ł 2a 4a cos(270+a) = sina cos(360+a) = cosa ctga ctgb + 1 Wzory Viete a: ctg(a - b) = tg(270+a) = -ctga tg(360+a) = tga ctgb - ctga b ctg(270+a)= -tga ctg(360+a) = ctga x1 + x2 = - a Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego: Fukncje trygonometryczne sumy kątów: c cos2a = cos2 a - sin2 a sin2a = 2sina cosa x1 x2 = sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb a cos2a = cos2 a - sin2 a cos2a = 1- 2sin2 a cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb 1 1 x1 + x2 + = 2tga cos2a = 2cos2 a -1 x1 x2 x1 x2 tga + tgb tg2a = tg(a + b) = 1- tg2a 1- tga tgb TRYGONOMETRIA ctg2a - 1 ctga ctgb - 1 sin2a + cos2a = 1 ctg2a = ctg(a + b) = 2ctga ctga + ctgb tgactga = 1 Funkcje tygonometryczne połowy kąta: Różnice funkcji trygonometrycznych: Suma częściowa: a - b a + b (n -1)n a 1 - cosa a 1+ cosa sina - sin b = 2 sin cos Sn = na1 + r sin = ą , cos = ą 2 2 2 2 2 2 2 a - b a + b znak + lub - bierzemy zależnie od tego, do której a1 + an cosa - cosb = -2 sin sin Sn = n 2 2 a 2 ćwiartki należy sin(a - b) 2 tga - tgb = CIG GEOMETRYCZNY to taki ciąg liczbowy, w cosa cosb a 1 - cosa a 1+ cosa którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały tg = , ctg = an+1 2 sina 2 sina sin(b - a) ctga - ctgb = = q Sumy funkcji trygonometrycznych: sina sin b an a + b a - b sina + sinb = 2sin cos Wyraz ogólny ciągu: a = a qn-1 n 1 2 2 CIGI LICZBOWE Suma częściowa: a + b a - b 1- qn cosa + cosb = 2cos cos CIGIEM ARYTMETYCZNYM nazywamy taki ciąg 2 2 Sn = a1 , gdy q ą1 liczbowy, w którym różnica kolejnych wyrazów jest 1 - q sin(a + b) stała r =a n n+1- a tga + tgb = Sn = n a1, gdy q = 1 cosa cosb an-1 + an +1 Suma nieskończonego ciągu geometrycznego: an = sin(a + b) 2 a1 ctga + ctgb = S = ,dla q < 1 Wyraz ogólny ciągu: a = a + (n-1)r n 1 sina sinb 1 - q POLA FIGUR PAASKICH Romb: LOGARYTMY S = ah S = a2 sina loga x = b ab = x Trójkąt: d1 d2 1 1 loga 1 = 0 loga a = 1 S = S = ah, S = ab sina 2 2 2 loga x + loga y = loga xy a + b + c Trapez: S = p( p - a)( p - b)( p - c) , p = x 2 a + b loga x - loga y = loga S = h y S = pr, p - połowa obwodu; r - pr. okręgu 2 wpisanego loga xm = m loga x , R - pr. okręgu opisanego Koło i okrąg: abc S = S = Pr2 a abc S 4R loga ax = x alog x = x R = r = 4S p Trójkąt równoboczny: STEREOMETRIA 2p = 2Pr p - połowa obwodu a2 3 a 3 Pole wycinka koła: S = h = Sześcian: V=a3 4 2 a Prostopadłościan: V=abh S = Pr2 Równoległobok: 360 Walec: V=Pr2h S = ah S = ab sina Ostrosłup foremny: V=1/3a2h Długość łuku koła: Stożek: V=1/3Pr2h, S-boczne=Prl d1 d2 a S = sina l = Pr Kula: V=4/3Pr3, S=4Pr2 2 180 GEOMETRIA ANALITYCZNA Wyznacznik (Dla trójkąta 1/2 det): PRAWDOPODOBIECSTWO
n( A) r r r r AB = [x2 - x1, y2 - y1] P( A) = S = det(a,b) = a b sina n(W) r r AB = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Własności: a[ax,ay ] b[bx ,by ] P(Ć)=0 r ax ay AB P(A) Ł P(B) Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: r det(a,b) = = a b - a b x y y x P(A) Ł 1 y - y1 x - x1 b b x y = P(A )=1-P(A) y2 - y1 x2 - x1 Iloczyn skalarny: P(AB)=P(A) + P(B) - P(AB) r r r r r r Odległość punktu od prostej: a ob = a b cosp (a,b) Symbol Newtona: r r r r Ax0 + By0 + C ć n! n a^b a o b = 0 d = = r r A2 + B2 Ł kł k!(n - k)! a = [a ,a ] b = [b ,b ] x y x y Współczynnik kierunkowy: Wariacje: r r z powtórzeniami: y2 - y1 a o b = axbx + ayby Wnk = nk a = x2 - x1 oblicznie długości wektorów z iloczynu skalarnego bez powtórzeń: n! Vnk = Warunek równoległości: A B = A B OKRG 1 2 2 1 (n - k)! Warunek prostopadłości: ac = -1 Równanie okręgu: Prawdopodobieństwo warunkowe: (x - a)2 + (y - b)2 = r2 P( A B) x2+y2-2ax-2by+c=0 P( A B) = P(B) sin(-a) = -sina SERU & CYPEK Prawdopodobieństwo przyczyny: cos(-a) = cosa P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+...+P(ABn)+P(Bn) tg(-a) = -tga Przepisywanie prac dyplomowych, wypracowań, itp. P(ABi)P(Bi) ctg(-a) = -ctga P(Bi A)= Tworzenie wykresów, rysunków, P(A) a 0o 30o 45o 60o 90o schematów, tabel, itp. Zdarzenie niezależne: 1 2 3 sin 0 1 P(AB)=P(A)P(B) 2 2 2 Przepisywanie ściąg w bardzo małych FUNKCJE I WYKRESY FUNKCJI 3 2 1 cos 1 0 formatach. 2 2 2 Funkcja różnowartościowa 3 tg 0 1 3 - Ł [(x1 ą x2 ) ( f (x1) ą f (x2 ))] 3 Wszystko na zamówienia. x1 ,x2 3 ctg - 3 1 0 3 Atrakcyjne ceny (do uzgodnienia). Funkcja rosnąca Ł [x1 < x2 f (x1) < f (x2)] Zlecenia prosimy składać odpowiednio x1 ,x2 wcześnie. Funkcja malejąca I II III IV Zgłoszenia prosimy składać sin + + - - Ł [x1 < x2 f (x1) > f (x2)] x1 ,x2 cos + - - + u osób u których została Funkcja parzysta: Ł f (-x) = f (x) x tg + - + - nabyta ta ściąga. Funkcja nieparzysta Ł f (-x) = - f (x) ctg + - + - x Granica ciągu: Wzory podstawowe: (c)ó = 0, (xn)ó = n xn -1 sin x liman = g Ł Ł an - q < e ó limc = c, lim x = a , lim = 1 nĄ e >0 n0 n >n0 1 1 1 ć xa xa x0 x ( x)ó = , = - Monotoniczność ciągów liczbowych: Ł 2 x xł x2 rosnący ( ) lim xn = an , lim x = a a > 0 Ł an+1 > an (sin x)ó = cosx , (cos x)ó = - sin x xa xa nN malejący limsin x = sina , limcos x = cosa 1 1 Ł an+1 < an xa xa (tgx)ó = , (ctgx)ó = - nN cos2 x sin2 x GRANICA FUNKCJI P0CHODNA Równanie stycznej do wykresu: Zachodzi następujące twierdzenie o działaniach na y = f ó(x0)(x - x0) + f (x0) granicach: jeśli (c f (x))ó = c f ó(x) , oraz wtedy: liman = a limbn = b PLANIMETRIA nĄ nĄ ( f (x) + g(x))ó = f ó(x) + gó(x) Twierdzenie sinusów: a b c lim(an + bn) = a + b = = = 2R n Ą sina sin b sing ( f (x) - g(x))ó = f ó(x) - gó(x) Twierdzenie cosinusów: lim(an - bn) = a - b n Ą ( f (x) g(x))ó = f ó(x) g(x) + f (x) gó(x) a2 = b2 + c2 - 2bc cosa lim(an bn) = a b ó b2 = a2 + c2 - 2ac cosb n Ą ć f (x) f ó(x) g(x) - f (x) gó(x) = 2 an a Ł g(x) ł c2 = a2 + b2 - 2ab cosg (g(x)) lim = ,gdy b ą 0 n Ą bn b