matematyka ii


POTGOWANIE PIERWIASTKOWANIE UKAADY RÓWNAC
am an = am+n n n n
ax + by = c
ab = a b
am : an = am-n (dla m>n ^ aą0)

n
x + b1y = c1
(am)n = amn am = (n a )m a1
(ab)n = anbn n
a b
a a
n
(a/b)n = an/bn (dla bą0) = W = = ab1 - a1b W ą 0
n
b b a1 b1
a0=1
1
n n n m mn
a = a a = a c b
WX
WX = = cb1 - c1b x =
1 WARTOŚĆ BEZWZGLDNA c1 b1 W
a-n =
an x2 = x
a c
WY
m 1
n n WY = = ac1 - a1c y =
a = (a )m x gdy x ł 0

a1 c1 W
x =
m 1
n n
a- = (a )- m - x gdy x < 0
TRÓJMIAN KWADRATOWY
WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Z WARTOŚCI f(x)=ax2+bc+c
(a+b)2 = a2+2ab+b2 BEZWZGLDN D=b2-4ac
(a-b)2 = a2-2ab+b2 Równanie: x-a= b, oznacza, że Jeżeli D>0, wtedy:
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
x-a = b x-a = -b. Postać kanoniczna
- b - D
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 x1 =
Nierówność: x-a2a f (x) = a(x - p)2 + q
a2-b2 = (a-b)(a+b)
x-a>-b Ł x-aa3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) - b + D Postać iloczynowa
Nierówność: x-a>b, jest spełniona gdy:
x2 =
a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
2a
f (x) = a(x - x1)(x - x2)
x-a<-b x-a>b
Jeżeli D=0, wtedy: Wzory redukcyjne: Funkcje trygonometryczne różnicy kątów:
b sin(90+a) = cosa sin(180+a) = -sina
sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb
x0 = -
cos(90+a) = -sina cos(180+a) = -cosa
2a
tg(90+a) = -ctga tg(180+a) = tga cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
Współrzędne wierzchołka paraboli:
ctg(90+a) = -tga ctg(180+a)= ctga
tga - tgb
tg(a - b) =
b D
ć
1 + tga tgb
W- ,- sin(270+a) = -cosa sin(360+a) = sina
Ł ł
2a 4a
cos(270+a) = sina cos(360+a) = cosa
ctga ctgb + 1
Wzory Viete a: ctg(a - b) =
tg(270+a) = -ctga tg(360+a) = tga
ctgb - ctga
b ctg(270+a)= -tga ctg(360+a) = ctga
x1 + x2 = -
a
Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego:
Fukncje trygonometryczne sumy kątów:
c
cos2a = cos2 a - sin2 a
sin2a = 2sina cosa
x1 x2 = sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb
a
cos2a = cos2 a - sin2 a cos2a = 1- 2sin2 a
cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb
1 1 x1 + x2
+ =
2tga
cos2a = 2cos2 a -1
x1 x2 x1 x2 tga + tgb
tg2a =
tg(a + b) =
1- tg2a
1- tga tgb
TRYGONOMETRIA
ctg2a - 1
ctga ctgb - 1
sin2a + cos2a = 1 ctg2a =
ctg(a + b) =
2ctga
ctga + ctgb
tgactga = 1
Funkcje tygonometryczne połowy kąta: Różnice funkcji trygonometrycznych: Suma częściowa:
a - b a + b (n -1)n
a 1 - cosa a 1+ cosa
sina - sin b = 2 sin cos
Sn = na1 + r
sin = ą , cos = ą
2 2
2
2 2 2 2
a - b a + b
znak + lub - bierzemy zależnie od tego, do której a1 + an
cosa - cosb = -2 sin sin
Sn = n
2 2
a 2
ćwiartki należy
sin(a - b)
2
tga - tgb = CIG GEOMETRYCZNY to taki ciąg liczbowy, w
cosa cosb
a 1 - cosa a 1+ cosa którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały
tg = , ctg =
an+1
2 sina 2 sina sin(b - a)
ctga - ctgb = = q
Sumy funkcji trygonometrycznych:
sina sin b an
a + b a - b
sina + sinb = 2sin cos Wyraz ogólny ciągu: a = a qn-1
n 1
2 2 CIGI LICZBOWE
Suma częściowa:
a + b a - b
1- qn
cosa + cosb = 2cos cos
CIGIEM ARYTMETYCZNYM nazywamy taki ciąg
2 2 Sn = a1 , gdy q ą1
liczbowy, w którym różnica kolejnych wyrazów jest
1 - q
sin(a + b) stała r =a n
n+1- a
tga + tgb = Sn = n a1, gdy q = 1
cosa cosb an-1 + an +1
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego:
an =
sin(a + b) 2
a1
ctga + ctgb =
S = ,dla q < 1
Wyraz ogólny ciągu: a = a + (n-1)r
n 1
sina sinb
1 - q
POLA FIGUR PAASKICH Romb: LOGARYTMY
S = ah S = a2 sina
loga x = b ab = x
Trójkąt:
d1 d2
1 1 loga 1 = 0 loga a = 1
S =
S = ah, S = ab sina
2
2 2
loga x + loga y = loga xy
a + b + c
Trapez:
S = p( p - a)( p - b)( p - c) , p = x
2
a + b loga x - loga y = loga
S = h y
S = pr, p - połowa obwodu; r - pr. okręgu
2
wpisanego
loga xm = m loga x
, R - pr. okręgu opisanego Koło i okrąg:
abc
S = S = Pr2
a
abc S
4R loga ax = x alog x = x
R = r =
4S p
Trójkąt równoboczny:
STEREOMETRIA
2p = 2Pr p - połowa obwodu
a2 3 a 3
Pole wycinka koła:
S = h =
Sześcian: V=a3
4 2
a
Prostopadłościan: V=abh
S = Pr2
Równoległobok:
360 Walec: V=Pr2h
S = ah S = ab sina
Ostrosłup foremny: V=1/3a2h
Długość łuku koła:
Stożek: V=1/3Pr2h, S-boczne=Prl
d1 d2
a
S = sina
l = Pr Kula: V=4/3Pr3, S=4Pr2
2
180
GEOMETRIA ANALITYCZNA Wyznacznik (Dla trójkąta 1/2 det): PRAWDOPODOBIECSTWO

n( A)
r r
r r
AB = [x2 - x1, y2 - y1] P( A) =
S = det(a,b) = a b sina
n(W)
r
r
AB = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Własności:
a[ax,ay ] b[bx ,by ]
P(Ć)=0
r ax ay
AB P(A) Ł P(B)
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: r
det(a,b) = = a b - a b
x y y x P(A) Ł 1
y - y1 x - x1
b b
x y
=
P(A )=1-P(A)
y2 - y1 x2 - x1
Iloczyn skalarny:
P(AB)=P(A) + P(B) - P(AB)
r r r
r r r
Odległość punktu od prostej: a ob = a b cosp (a,b) Symbol Newtona:
r r
r r
Ax0 + By0 + C ć n!
n
a^b a o b = 0
d = =
r
r
A2 + B2 Ł kł k!(n - k)!
a = [a ,a ] b = [b ,b ]
x y x y
Współczynnik kierunkowy: Wariacje:
r
r
z powtórzeniami:
y2 - y1 a o b = axbx + ayby
Wnk = nk
a =
x2 - x1 oblicznie długości wektorów z iloczynu skalarnego bez powtórzeń:
n!
Vnk =
Warunek równoległości: A B = A B OKRG
1 2 2 1
(n - k)!
Warunek prostopadłości: ac = -1
Równanie okręgu:
Prawdopodobieństwo warunkowe:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
P( A B)
x2+y2-2ax-2by+c=0
P( A B) =
P(B)
sin(-a) = -sina
SERU & CYPEK
Prawdopodobieństwo przyczyny:
cos(-a) = cosa
P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+...+P(ABn)+P(Bn) tg(-a) = -tga
Przepisywanie prac dyplomowych,
wypracowań, itp.
P(ABi)P(Bi)
ctg(-a) = -ctga
P(Bi A)=
Tworzenie wykresów, rysunków,
P(A)
a 0o 30o 45o 60o 90o
schematów, tabel, itp.
Zdarzenie niezależne:
1 2 3
sin 0 1
P(AB)=P(A)P(B)
2 2 2
Przepisywanie ściąg w bardzo małych
FUNKCJE I WYKRESY FUNKCJI 3 2 1
cos 1 0 formatach.
2 2 2
Funkcja różnowartościowa
3
tg 0 1 3 -
Ł [(x1 ą x2 ) ( f (x1) ą f (x2 ))] 3 Wszystko na zamówienia.
x1 ,x2
3
ctg - 3 1 0
3 Atrakcyjne ceny (do uzgodnienia).
Funkcja rosnąca
Ł [x1 < x2 f (x1) < f (x2)]
Zlecenia prosimy składać odpowiednio
x1 ,x2
wcześnie.
Funkcja malejąca I II III IV
Zgłoszenia prosimy składać
sin + + - -
Ł [x1 < x2 f (x1) > f (x2)]
x1 ,x2
cos + - - +
u osób u których została
Funkcja parzysta: Ł f (-x) = f (x)
x tg + - + -
nabyta ta ściąga.
Funkcja nieparzysta Ł f (-x) = - f (x) ctg + - + -
x
Granica ciągu: Wzory podstawowe:
(c)ó = 0, (xn)ó = n xn -1
sin x
liman = g Ł Ł an - q < e
ó
limc = c, lim x = a , lim = 1
nĄ e >0 n0 n >n0 1 1 1
ć
xa xa x0 x
( x)ó = , = -
Monotoniczność ciągów liczbowych:
Ł
2 x xł x2
rosnący ( )
lim xn = an , lim x = a a > 0
Ł an+1 > an (sin x)ó = cosx , (cos x)ó = - sin x
xa xa
nN
malejący limsin x = sina , limcos x = cosa 1 1
Ł an+1 < an xa xa (tgx)ó = , (ctgx)ó = -
nN cos2 x sin2 x
GRANICA FUNKCJI
P0CHODNA Równanie stycznej do wykresu:
Zachodzi następujące twierdzenie o działaniach na
y = f ó(x0)(x - x0) + f (x0)
granicach: jeśli
(c f (x))ó = c f ó(x)
, oraz wtedy:
liman = a limbn = b
PLANIMETRIA
nĄ nĄ
( f (x) + g(x))ó = f ó(x) + gó(x) Twierdzenie sinusów:
a b c
lim(an + bn) = a + b = = = 2R
n Ą sina sin b sing
( f (x) - g(x))ó = f ó(x) - gó(x)
Twierdzenie cosinusów:
lim(an - bn) = a - b
n Ą
( f (x) g(x))ó = f ó(x) g(x) + f (x) gó(x)
a2 = b2 + c2 - 2bc cosa
lim(an bn) = a b
ó
b2 = a2 + c2 - 2ac cosb
n Ą ć f (x) f ó(x) g(x) - f (x) gó(x)
=
2
an a
Ł g(x) ł c2 = a2 + b2 - 2ab cosg
(g(x))
lim = ,gdy b ą 0
n Ą
bn b


Wyszukiwarka