Przepływy płynów Płyny są to ciecze lub gazy. Cechy płynów: 1. Aatwość zmiany wzajemnego położenia elementów płynu względem siebie. W ciałach stałych jest to możliwe jedynie pod działaniem dużych sił zewnętrznych. 2. Płyny przybierają kształt zbiornika, w którym się znajdują. Ciecze tworzą w zbiorniku powierzchnię swobodna, natomiast gazy wypełniają całkowicie jego objętość. 3. Gazy mają znacznie większą ściśliwość w stosunku do cieczy, tzn. zdolność do zmiany objętości pod wpływem sił zewnętrznych. W opisie przepływu płynów najważniejszymi właściwościami są gęstość i lepkość. Rozpatrując gęstość płyny można podzielić na płyny ściśliwe (gazy) i płyny nieściśliwe (ciecze). Siły działające w płynach: 1. Masowe (objętościowe): siły grawitacji, siły bezwładności (d'Alamberta). Siły te odniesione do jednostki masy mają wymiar przyspieszenia). 2. Powierzchniowe, które mogą być normalne lub styczne do rozpatrywanych powierzchni. W zagadnieniach statyki znaczenie mają tylko siły normalne. Płyny mają znikomą zdolność do przenoszenia naprężeń rozciągających, stąd praktyczne znaczenie mają tylko siły ściskające. Siły powierzchniowe odniesione do jednostki powierzchni mają wymiar ciśnienia. Do uproszczonych rozważań dotyczących przepływu płynów wprowadzono pojęcie płynu idealnego (doskonałego). Przez gaz doskonały rozumie się zbiór cząsteczek doskonale sprężystych, które można traktować jako punkty materialne pomiędzy którymi nie występują żadne siły międzycząsteczkowe. Gazy doskonałe spełniają prawo Boyla-Mariotta, Gay-Lusaca, Cherles a i Clapeyrona. Ciecz doskonała jest pozbawiona lepkości, nieściśliwa i nie zmienia swej objętości wraz ze zmianą temperatury ma stałą objętość. W cieczy doskonałej nie ma oddziaływań międzycząsteczkowych. W przyrodzie nie ma płynów doskonałych. Płyny rzeczywiste opisujemy za pomocą równań dla płynów doskonałych z pewnymi poprawkami. Przez poprawki rozumiemy jakieś mnożniki lub wyrażenia uwzględniające pewne właściwości płynów. Zdefiniujmy gęstość. Jak wiadomo jest to iloraz masy i objętości płynu. m r = V Gęstość jest stała w stałej temperaturze. Ciecze są praktycznie nieściśliwe, co dla wody można zilustrować za pomocą zależności: DV Dp = -510-5 V p Dla gazów istnieje zależność gęstości od ciśnienia i temperatury. Dla gazów doskonałych zależność tę można wyprowadzić z równania Clapeyrona: p V = n RT m p V = RT M skąd 1 p M r = RT Dla gazów rzeczywistych zależność ta jest modyfikowana do postaci: p M r = z RT gdzie z współczynnik ściśliwości gazu. W przepływach cieczy rzeczywistych występują siły ścinające: y F w Nieruchoma powierzchnia Stosunek siły ścinającej F do pola powierzchni A nazywa się naprężeniem ścinającym i jego wielkość dla przepływu płynu rzeczywistego została opisana przez Newtona zależnością: F dw = t = -h A dy Z równania tego wynika, że naprężenia ścinające powodujące wzajemne przesuwanie się dwóch warstw cieczy oddalonych od siebie o odległość dy jest wprost proporcjonalne do gradientu prędkości w tym kierunku. Współczynnik proporcjonalności h nazywa się współczynnikiem lepkości dynamicznej, lepkością dynamiczną lub po prostu lepkością. Dla płynów newtonowskich, tj. gazów i większości cieczy np. wody, oleju, alkoholu itp. Jest to wielkość stała zależna tylko od temperatury. Wymiar współczynnika lepkości dynamicznej wynika oczywiście z równania Newtona: N m = [h] m2 s m N [h]= s = Pa s m2 Wśród płynów nienewtonowskich czyli nie stosujących się do prawa Newtona można wymienić galarety, pasty, farby olejne, szlamy, zawiesiny itp. Średnia prędkość płynu Przepływ płynu przez rurociąg może zaistnieć wtedy, gdy w rozpatrywanym wycinku rurociągu wystąpi gradient ciśnienia. Można to powiedzieć inaczej: gradient ciśnienia & Dp > 0 wywołuje ruch płynu m > 0 (strumień masy płynu jest większy od zera). Jak wytworzyć taki gradient ciśnienia? Dla cieczy najprostszym sposobem jest pochylenie rurociągu, to znaczy, zastosowanie różnicy poziomów pomiędzy wlotem i wylotem. Innym sposobem może być zastosowanie pompy lub dla gazu wentylatora czy dmuchawy. 2 s Badania doświadczalne wykazały, że prędkość płynu w rurociągu nie jest stała. Największa jest w osi rury, a najmniejsza w pobliżu ścianki. Spowodowane jest to tarciem płynu o ścianki rury, a także tarciem wewnętrznym (lepkością). Jeżeli w odległości r od osi rurociągu wyznaczy się pierścień o grubości dr i polu powierzchni przekroju: dA = 2p r dr , który porusza się z prędkością wr, to różniczkowy strumień objętości płynu wyrazi się wzorem: & dV = wr dA = 2p r wr dr , a cały strumień objętości płynu: R & V = r wr dr 2p 0 Prędkością średnią płynu nazywamy stosunek całkowitego strumienia do całego pola powierzchni przekroju poprzecznego rurociągu. R & V 1 wśr = = 2p r wr dr A A 0 Aby obliczyć prędkość średnią płynu w rurociągu za pomocą powyższego wzoru należy poznać (zmierzyć) rozkład prędkości lokalnych wzdłuż całego przekroju poprzecznego. Średnie prędkości w rurociągach przemysłowych Ciecze newtonowskie 1 3 m/s Ciecze lepkie 0,3 2 m/s Gazy 8 25 m/s Para wodna nasycona 20 40 m/s Para wodna przegrzana 30 50 m/s. 3 r r d Rodzaje przepływów Reynolds wykorzystał bardzo prostą instalację pokazaną na poniższym rysunku, za pomocą której stwierdził, że płyny poruszają się odmiennie w zależności od prędkości, z jaką płyną przez rurociąg. Zwiększając średnicę rur obserwował ruch laminarny nawet przy większych prędkościach, zmieniając właściwości cieczy także obserwował inne wartości prędkości przy których występował ruch laminarny. Na tej podstawie zdefiniował pewną bezwymiarową liczbę, która określa stosunek sił bezwładności do sił lepkości i od jego nazwiska przyjęła ona miano liczby Reynoldsa. Dla rurociągu o przekroju kołowym można zapisać: Fb d2 w2 r w d r Re = = = Fh w d h h Reynolds stwierdził, że ruch laminarny występuje w zakresie liczb Reynoldsa do wartości krytycznej wynoszącej: Rekr = 2300 . Ruch przejściowy występuje w zakresie: 2300 Ł Re Ł 10000 , a ruch burzliwy dla Re > 10000 Zatem przepływ płynu może być laminarny. Gdy prędkości płynu są małe, wówczas elementy cieczy poruszają się po liniach (torach) prostych równoległych do osi rurociągu. Nie pojawiają się zmiany prędkości w kierunku przepływu. Każdy element płynu pozostaje w obrębie danej warstewki i w przekroju poprzecznym nie zmienia swego położenia względem innych elementów płynu. Foto 4 A Wr A Dla dużych prędkości płynu występuje przepływ burzliwy (turbulentny), występują gradienty prędkości nie tylko w kierunku przepływu, ale również w kierunku prostopadłym i we wszystkich innych. Foto A W r A Zaznaczone wektory należy traktować jako wartości średnie dla danego promienia r. Dla przepływu laminarnego (uwarstwionego) rozpatrzmy rozkład ciśnień i naprężeń ścinających na pewnym elemencie cieczy w kształcie walca, który płynie w rurze o przekroju kołowym. Aby wystąpił przepływ ciśnienie p1 musi być różne od ciśnienia p2. Jeśli ruch elementu cieczy jest jednostajny, to występuje równowaga siły związanej z różnicą ciśnień i hamującej siły będącej konsekwencją występowania lepkości. Można to zapisać zależnością: t 2p r L = (p1 - p2 )p r2 dwr - h 2p r L = (p1 - p2)p r2 dr dwr (p1 - p2 ) r = - dr L h 2 po scałkowaniu dla warunku granicznego: dla r = R, wr = 0 5 wr r (p1 - p2 ) r dr r dw = - L h 2 0 R uzyskuje się zależność: 2 ł R2 Dp r ć wr =
ę1- ś 4h L R Ł ł ę ś
Wzór ten opisuje prędkość lokalną w rurze o przekroju kołowym dla ruchu laminarnego i może służyć do wyznaczenia prędkości lokalnej w funkcji promienia czyli tak zwanego profilu prędkości w rurze. Analizując matematycznie tę zależność widać, że profil prędkości w ruchu laminarnym jest paraboliczny. Aby obliczyć strumień objętości płynu w rurociągu podczas przepływu laminarnego należy połączyć ostatnią zależność i równanie opisujące cały strumień, co prowadzi do równości: p R4 Dp & V = 8 h L znanej pod nazwą równania Hegena Poisuille a. Na podstawie równania wyprowadzonego powyżej można wyznaczyć trzy ważne wielkości, tj. prędkość średnią płynu w rurociągu, prędkość maksymalną w osi rury i prędkość na ścianie rurociągu: & V R2 Dp wśr = = A 8h L dla r = 0 czyli w osi rury: R2 Dp wmax = 4 h L dla r = R czyli na ścianie rury: wR = 0 Z porównania wzorów można wyciągnąć jeszcze jeden wniosek, otóż stosunek prędkości średniej do prędkości maksymalnej: wśr = 0,5 wmax a ponadto można wykazać, że: 2 ł r wr = wmax ę1- ć ś .
R Ł ł ę ś
Równanie ciągłości przepływu Jeśli wyobrazimy sobie rurociąg, nawet o zmiennej średnicy, przez który płynie płyn, to ta ilość płynu, który wpływa na początku musi być identyczna z ta ilością płynu, która wypływa na końcu. Ilościowo można to ująć równaniem ciągłości przepływu, które mówi, że strumień masy wzdłuż rurociągu nie zmienia się: & & m1 = m2 A1 w1 r1 = A2 w2 r2 Dla cieczy to samo równanie można zapisać w postaci: A1 w1 = A2 w2 & & lub V1 = V2 , co słowami wyraża się: wzdłuż rurociągu strumień objętości nie ulega zmianie. 6 Równanie Bernoulliego Jeżeli w pewnym przewodzie zmierzymy wartość ciśnienia statycznego i dynamicznego w miejscu przewężenia, jak i w miejscu nie przewężonego przekroju, otrzymamy zależność mówiącą, że suma ciśnień statycznego i dynamicznego z jednego miejsca pomiaru (np. z miejsca przewężenia), będzie równa sumie ciśnień w miejscu nie przewężonym. Możemy wtedy napisać równanie: pdynamiczne + pstatyczne= pdynamiczne' + pstatyczne' = const Oznacza to, że energia ta nie zmienia się i stanowi w obu przypadkach taką samą wartość. Prawo Bernoulliego mówi, że każdemu zwiększeniu się prędkości, a co za tym idzie ciśnienia dynamicznego, musi automatycznie towarzyszyć zmniejszenie się ciśnienia statycznego i na odwrót, przy każdym zmniejszeniu prędkości i ciśnienia dynamicznego, rośnie ciśnienie statyczne. Jeśli w wybranej strudze płynu o zmiennym przekroju (zmiennej prędkości) i zmiennej wysokości położenia w polu sił grawitacyjnych sporządzić bilans energii, to równanie Bernoulliego zapisze się w postaci: w2 p + + h g = const 2 r Zatem równanie Bernoulliego stanowi matematyczny zapis niezniszczalności energii w ruchu ustalonym płynu doskonałego. w2 - oznacza energię kinetyczną płynu, [J/kg], 2 p - oznacza energię statyczną ciśnienia, [J/kg], r h g - oznacza energię potencjalną położenia, [J/kg]. To samo równanie można zapisać w postaci sumy ciśnień [Pa] i wówczas przybierze ono postać: w2 r + p + r g h = const 2 lub jako sumę członów o wymiarze wysokości [m] w2 p + + h = const 2 g r g 7 Zastosowania równania Bernoulliego Jeśli przez rurociąg o zmiennym przekroju (jak na rysunku) płynie ciecz, to w przekroju mniejszym wskutek wzrosty prędkości maleje ciśnienie, co widać obserwując poziom cieczy w rurkach spiętrzających. 1. Pomiar średniej prędkości płynu za pomocą kryzy pomiarowej. Równanie Bernoulliego dla płynu doskonałego dla przekrojów 1 i 2 można zapisać w postaci: 2 w1 r w2 r 2 p1 + r g h1 + = p2 + r g h2 + 2 2 Rurociąg jest poziomy i gęstość cieczy jest stała, zatem: 8 1 o 2 D D D 2 p1 - p2 w2 - w1 2 = r 2 Zgodnie z równaniem ciągłości: A2 w1 = w2 A1 A0 A2 Nazwijmy stosunek = m współczynnikiem rozwarcia kryzy, a stosunek = m A1 A0 współczynnikiem przewężenia strumienia (współczynnikiem kontrakcji), wówczas równanie ciągłości ma postać: w1 = w2 m m Po wstawieniu ostatniej zależności do równania Bernoulliego otrzyma się: p1 - p2 w2 - w2 m2 m2 2 2 = , a stąd: r 2 1 2 (p1 - p2) w2 = r 1- m2 m2 Wykorzystując równanie ciągłości znajduje się prędkość cieczy w otworze kryzy A2 w0 = w2 = w2 m , zatem: A0 m 2 (p1 - p2) 2 Dp w0 = = a r r 1- m2 m2 gdzie współczynnik a nazywamy współczynnikiem przepływu. Należy zauważyć, że nie jest on wartością stałą, a zależy od stopnia rozwarcia kryzy oraz od współczynnika przewężenia strumienia, tj. od burzliwości przepływającej cieczy. Strumień masy cieczy, który mierzy kryza pomiarowa, oblicza się zatem z zależności: 2 Dp & m = A0 w0 r = a A0 r znając doświadczalną wartość Dp . 2. Rotametry 9 Umieszczenie pływaka w rurce stożkowej powoduje, że w czasie przepływu płynu pływak utrzymuje się na pewnej wysokości w zależności od wielkości strumienia płynu. Prędkość liniową płynu w przekroju pierścieniowym pomiędzy pływakiem a ścianą stożkowej rury rotametru "w" można obliczyć z równania, które wynika oczywiście z równania Bernoulliego i porównania sił działających na pływak: 2 g Vp (rp - r) w = yr Ap r Położenie pływaka można obliczyć znając geometrię rury lub można je określić na drodze doświadczalnej dla różnych strumieni objętości. 3. Pomiar prędkości za pomocą rurki Prandtla Pomiar lokalnej prędkości przepływu w rurociągu za pomocą Rurki Prandtla 2 Dp wr = r Różnicę ciśnienia całkowitego i ciśnienia statycznego, tj. ciśnienia dynamicznego mierzy się za pomocą mikromanometrów. 10 D h D h 4. Wypływ cieczy ze zbiorników 1,A1,w1 p1=patm 0,A0,w0 2,A2,w2 p2=patm Jeśli w dnie otwartego zbiornika, w którym utrzymywany jest stały poziom cieczy otworzyć otwór, to równanie Bernoulliego można zapisać w postaci: 2 w1 r w2 r 2 p1 + r g h1 + = p2 + r g h2 + + Dpstrat 2 2 Jeśli przyjąć, że: Dpstrat 0 oraz, że h1 - h2 = H , to: w = 2 g H 2 A2 Pamiętając, że stosunek = m (współczynnik kontrakcji) oraz uwzględniając straty A0 ciśnienia za pomocą pewnego współczynnika, można napisać, że strumień objętości cieczy wypływającej z otworu wynosi: Vrzecz = j A0 2 g H Współczynnik j nazywany jest współczynnikiem wypływu i jego wartość zależy od kształtu końcówki wypływowej. 11 H ~H 5. Opróżnianie zbiorników A dh 0,A0,w0 W różniczkowym czasie dt poziom lustra cieczy obniża się o wartość dh . Objętość tej cieczy wypływa przez otwór w dnie, zatem: - A dh = A0 w0dt - A dh = A0 j 2 g hdt Po rozdzieleniu zmiennych i scałkowaniu w granicach 0 t oraz H H = 0 otrzyma się zależność: H 1 A(h)dh t =
A0 j 2 g H=0 h Jeśli pole powierzchni lustra ciecz jest stałe na każdej wysokości, to całkowity czas opróżniania zbiornika można wyliczyć z zależności: A 2 t = H , A0 j 2 g natomiast czas opróżniania do pewnej wysokości H1 z zależności: A 2 t = ( H - H1) A0 j 2 g 12 H h