Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 1 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY Etapy rozwiązania zadania Uwagi Podanie dziedziny funkcji f: - 6, 8 . 1.1 1 Podanie wszystkich miejsc zerowych funkcji f: x = -2, x = 3, x = 6 . 1.2 1 Podanie wartości funkcji f dla argumentu x = 5 : f (5) = -1. 1.3 1 Podanie zbioru wartości funkcji f: - 2,6 . 1 1.4 1 Podanie przedziału o długości 3, w którym funkcja f jest rosnąca: 5, 8 . 1.5 1 Zapisanie zbioru wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje 1.6 1 wartości ujemne: x " *" 3,6 . (-2,3 ) ( ) Zapisanie, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem Przyznajemy punkt, gdy 2.1 1 funkcji f jest równa 2 i należy do przedziału 0,5 . zdający zapisze xw = 2 . Obliczenie najmniejszej wartości funkcji f w przedziale 0,5 : f (2) = 0 . 2.2 1 Obliczenie największej wartości funkcji f w przedziale 0,5 : f (5) = 9 . 2.3 1 2 Przekształcenie lewej strony nierówności do postaci iloczynowej 2 ( - x " 1- x e" 0 i podanie miejsc zerowych: x = 1 lub x = 2 , ) ( ) 2.4 1 (albo wyznaczenie pierwiastków trójmianu y = x2 - 3x + 2 ). Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: - ",1 *" 2, " . ) 2.5 ( 1 ż#x + y = 7 # Zapisanie układu równań wynikających z treści zadania: . 3 3.1 1 # # - y = 3 #x 7 + 3 7 - 3 3.2 2 Rozwiązanie układu równań: x = i y = . 2 2 Obliczenie iloczynu szukanych liczb: x " y = 1. 3.3 1 Nr Nr Liczba zadania punktów czynności Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 2 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy II sposób rozwiązania: ż#x + y = 7 # 3.1 1 Zapisanie układu równań wynikających z treści zadania: . # # - y = 3 #x Podniesienie stron każdego z równań do kwadratu i zapisanie układu: ż# x2 + 2xy + y2 = 7 3.2 2 . # 2 #x - 2xy + y2 = 3 Obliczenie iloczynu szukanych liczb: x " y = 1. 3.3 1 Zapisanie równania prostej AB: 2x - 3y + 2 = 0. 4.1 1 12 Obliczenie odległości punktu C od prostej AB: 13 . 4.2 1 13 4 Zapisanie warunku, przy którym punkt D leży na prostej AB: 4.3 1 2 3m + 2 = 0 stąd m = 0 . (-1 )- Stwierdzenie i zapisanie, że dla m `" 0 punkty A, B i D są wierzchołkami 4.4 1 trójkąta. Wystarczy jeśli zdający Wykorzystanie definicji pierwiastka wielomianu i zapisanie warunku: 5.1 1 zapisze Q 1 = 0 . ( ) 2"13 - 3"12 - 3"1+ d = 0. Obliczenie wartości współczynnika d, gdy liczba 1 jest pierwiastkiem 5.2 1 wielomianu: d = 4 . Zapisanie wielomianu Q dla d = 2 w postaci sumy iloczynów, z których 5.3 1 będzie wynikał wspólny czynnik: Q x = 2 x3 +1 - 3x x +1 . ( ) ( ) ( ) Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów i zapisanie 5 5.4 1 wielomianu Q w postaci: Q x = 2 x +1 x2 - x +1 - 3x x +1 . ( ) ( ) ( ) ( ) Zapisanie wielomianu Q w postaci iloczynu dwóch wielomianów: 5.5 1 Q x = x +1 2x2 - 5x + 2 . ( ) ( ) ( ) Zapisanie wielomianu Q w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia 5.6 1 pierwszego: Q x = x +1 2x -1 x - 2 lub Q x = 2 x +1 x - ( - 2 . x ( ) ( )( )( ) ( ) ( )# 1 ś# ) ś# ź# 2 # # Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 3 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy Wykorzystanie wzoru na różnice kwadratów i zapisanie lewej strony 216 - 32 216 + 32 6.1 ( )( ) 1 nierówności w postaci: " x . 216 + 32 Włączenie przed nawias wspólnego czynnika 25 i zapisanie prawej strony 6 6.2 1 nierówności w postaci: 25 25 - 216 = -25 216 - 25 . ( ) ( ) 6.3 Rozwiązanie nierówności: x >-32. 1 Zapisanie najmniejszej liczby całkowitej spełniającej daną nierówność: . ) 1 6.4 (-31 I sposób rozwiązania: 7 7.1 1 Obliczenie przybliżonej wartości kąta ą : ą H" 41. Obliczenie przybliżonej wartości kąta: H" 53. 7.2 1 Wystarczy obliczenie Oszacowanie sumy kątów ą i : ą + > 90 . 7.3 1 przybliżonej wartości sumy tych kątów. 7.4 Stwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. 1 II sposób rozwiązania: 3 7.1 1 Obliczenie sin (na podstawie równości sin = cosą ): sin = . 4 7 7.2 1 Obliczenie cos : cos = . 4 3 7 7.3 1 Obliczenie tg : tg = . 7 Porównanie uzyskanego wyniku z wartością funkcji tg daną w zadaniu 7.4 1 i stwierdzenie sprzeczności oraz zapisanie wniosku: trójkąt nie jest prostokątny. Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 4 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy III sposób rozwiązania: B
24 7.1 1 ą C A Wykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej AC AC : = cosą stąd AC = 18 . AB Wykorzystanie definicji funkcji tangens i obliczenie długości przyprostokątnej AC 27 7.2 1 . BC : = tg stąd BC = . BC 2 Obliczenie sumy kwadratów przyprostokątnych i kwadratu 2 7.3 2 2 2 27 1 2 1 # ś# przeciwprostokątnej: AC + BC = 18 + = 506 , AB = 576 . ( ) ś# ź# 24 # # 2 2 2 Uzyskanie sprzeczności AC + BC `" AB i zapisanie wniosku: trójkąt nie 7.4 1 jest prostokątny. IV sposób rozwiązania: Wykorzystanie definicji funkcji cosinus i obliczenie długości przyprostokątnej 7.1 1 AC AC : = cosą stąd AC = 18 . AB Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i obliczenie długości przyprostokątnej 7.2 1 BC: BC = 6 7 . 3 Wykorzystanie funkcji tangens i obliczenie tangensa kąta : tg = . 7.3 1 7 3 4 Uzyskanie sprzeczności: tg = i z warunków zadania tg = . 7.4 1 3 7 Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 5 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy 13 Zapisanie równania: 3n +1 = 37 . 8.1 ( ) 1 44 8.2 Rozwiązanie równania: n = 50 . 1 Wystarczy, że zdający Zauważenie, że wartości wyrazów a1, a5, a9, a13, a17, a21, a25,& są liczbami zapisze sumę całkowitymi tworzącymi ciąg arytmetyczny lub obliczenie pierwszego wyrazu 1+ 4 + 7 +10 + ... 8.3 1 bez jej ostatniego składnika. ciągu a1 = 1 i zapisanie, że kolejny składnik szukanej sumy jest większy od Obliczenie różnicy ciągu nie poprzedniego o 3. 8 jest konieczne. Obliczenie ostatniego składnika szukanej sumy: a49 = 37 . 8.4 1 8.5 Obliczenie liczby wyrazów ciągu, które są liczbami całkowitymi: 13. 1 Jeżeli zdający od razu 1+ 37 a1 + a49 1+ 37 zapisze "13 , to Obliczenie sumy : S13 ="13 = "13 = 247 . 8.6 1 2 22 otrzymuje punkty w czynnościach 8.3, 8.4 i 8.5. Wprowadzenie oznaczeń, np.: r promień podstawy stożka, h wysokość stożka, l tworzącą stożka i zapisanie, że l = 3 oraz przedstawienie metody obliczenia długości promienia podstawy stożka, np. " porównanie długości łuku, równego trzeciej części łuku okręgu o 9 9.1 1 promieniu l i obwodu koła w podstawie stożka o promieniu r : 1 "2Ąl = 2Ą r lub 3 " porównanie pola trzeciej części pola koła o promieniu l i pola powierzchni 1 bocznej stożka Ąl2 = Ą rl . 3 9.2 Wyznaczenie promienia podstawy stożka: r = 1. 1 9.3 1 Obliczenie wysokości stożka: h = 2 2 . Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 6 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy 1 1 2 2 9.4 1 Obliczenie objętości stożka: V = "Ą " r2 " h = "Ą "12 " 2 2 = Ą . 3 3 3 Wprowadzenie oznaczeń, np.: a, b długości boków równoległoboku h1 3 i wykorzystanie zależności = do zapisania proporcji zachodzącej między h2 5 10.1 1 a 3 bokami a oraz b równoległoboku: = . b 5 5 Wyznaczenie długości jednego z boków równoległoboku, np.: b = a . 10.2 1 3 Zapisanie obwodu równoległoboku w zależności od długości jednego z boków, 5 10.3 1 np.: 2a + 2" a = 144 . 3 5 Wyznaczenie długości boków równoległoboku: a = 27 , b = " 27 = 45 . 10.4 1 10 3 Nie oceniamy, czy zdający II sposób rozwiązania: analizuje zależność między Wprowadzenie oznaczeń, np.: a, b - długości boków równoległoboku i 10.1 1 długościami boków zapisanie pola równoległoboku na dwa sposoby: a " h1 = b" h2 . równoległoboku. b 3 Obliczenie stosunku długości boków równoległoboku: = . 10.2 1 a 5 a + b = 72 ż# # Zapisanie układu równań z niewiadomymi a i b , np.: . 10.3 1 #b 3 #a = # 5 Rozwiązanie układu równań i zapisanie długości boków równoległoboku: 10.4 1 a = 45 , b = 27 . Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki 7 Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy 11.1 Zapisanie, że w danym doświadczeniu jest 35 zdarzeń elementarnych. 1 Zapisanie, że 7 zdarzeń elementarnych sprzyja zdarzeniu A suma 11.2 1 wylosowanych liczb jest podzielna przez 5. 7 1 Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P A = = . 11.3 ( ) 1 35 5 II sposób rozwiązania: (metoda drzewa) Narysowanie drzewa: np. Zdający, analizując drugi 1 1 1 1 1 etap losowania, może 11.1 1 5 5 5 5 5 11 uwzględnić tylko istotnie