3. Fale EM w dielektryku idealnym i stratnym 3.1. Równanie falowe w dielektryku idealnym W obszarach ośrodka materialnego, w których nie ma ładunków swobod- nych i prądów swobodnych, równania Maxwella mają postać przedstawio- ną w pierwszej kolumnie tabeli 3.1. Ośrodek ten można nazwać idealnym dielektrykiem ( = 0) bez zródeł. W ośrodku liniowym D = E i B = źH i jednorodnym równania Maxwella redukują się do postaci podanej w drugiej kolumnie tabeli 3.1. Tabela 3.1. Równania Maxwella (materia) bez swobodnych ładunków i prądów Postać ogólna Ośrodek liniowy i jednorodny prawo AmpŁre a "D "E " H = " B = ź (3.1a) z poprawką Maxwella "t "t prawo Faradaya "B "B " E = - " E = - (3.1b) "t "t "" D = 0 "" E = 0 (3.1c) prawo Gaussa "" B = 0 "" B = 0 (3.1d) bez nazwy Zależność (3.1a) poddajemy rotacji "E #ś# " (" B) =" ź ś#ź# "t # # stosujemy tożsamość (5) z tabeli 1.3 i zmieniamy kolejność operatorów " "(" " B) - "2B = ź (" E) "t wykorzystujemy (3.1b) "2B "(" " B) - "2B = -ź "t2 a następnie (3.1d) i przenosimy wszystkie składniki na jedną stronę "2B "2B - ź = 0 (3.2a) "t2 Podobnie postępując z (3.1b) otrzymujemy "2E "2E - ź = 0 (3.2b) "t2 3-1 Otrzymaliśmy oddzielne (tzw. rozprzężone) równania różniczkowe dru- giego rzędu dla E i B nazywane wektorowymi równaniami falowymi. W układzie kartezjańskim każda składowa pól E i B spełnia skalarne równanie falowe "2Ei "2Ei "2Ei 1 "2Ei ++- = 0 dla i = 1, 2, 3 (3.3a) 222 "x1 "x2 "x3 v2 "t2 "2Bi "2Bi "2Bi 1 "2Bi ++- = 0 dla i = 1, 2, 3 (3.3b) 222 "x1 "x2 "x3 v2 "t2 Prędkość rozchodzenia się fal elektromagnetycznych w liniowym jedno- rodnym dielektryku idealnym wyrażona jest zależnością 11 c v == = (3.4) n ź rźr0ź0 1m gdzie c =H" 3,0 "108 oraz n a" rźr . s 0ź0 Oznaczenie n to współczynnik załamania ośrodka materialnego. Dla większości materiałów źr jest bliskie jedności i dlatego n E" r . 3.2. Płaska fala monochromatyczna Ważne miejsce w teorii fal ma rozwiązanie wektorowego równania falo- wego (3.2b) w postaci płaskiej fali monochromatycznej: " ( Er,t) = E0ej(kr-t ) (3.5) Ć Ć gdzie E0 = xĘ01 + yĘ02 + zĘ03, r = xx1 + wx2 + ę x3, k = xk1 + wk2 + ę k3. Wielkości E0i dla i = 1, 2, 3 są amplitudami w odpowiednich kierunkach układu kartezjańskiego. Dla fali płaskiej powierzchnie falowe (powierzchnie o jednakowej fa- zie) są płaszczyznami wzajemnie równoległymi. Postać fali płaskiej jest szczególnie użyteczna z matematycznego punktu widzenia. Podstawiając (3.5) do równania falowego (3.2b) uzyskujemy zależ- ność między długością wektora falowego k a pulsacją , czyli tzw. zależ- ność dyspersyjną: "2 " " "2E0ej(kr-t) - ź E0ej(kr-t) = 0 ! k =(3.6) "t2 v Powyższa zależność liniowa oznacza, że dielektryk idealny jest ośrodkiem niedyspersyjnym. Przykład: Wyznaczyć rotację, dywergencję oraz laplasjan dla płaskiej fali monochromatycznej danej wzorem (3.5). 3-2 Rozwiązanie. Zauważamy, że E0i dla i = 1, 2, 3 nie zależą od współrzęd- nych. Wyznaczając operatory różniczkowe obliczamy pochodne cząstko- we wyłącznie członu eksponencjalnego, np. po współrzędnej x1 " " " " 1 ej(kr-t) = ej(k x1+k2x2 +k3x3 -t) = jk1ej(kr-t) "x1 "x1 a po współrzędnej xi, i = 1, 2, 3 " " " E0ej(kr-t ) = jkiE0ej(kr-t ) "xi Dywergencja (3.5) to z definicji """ " " " E01ej(kr-t) + E02ej(kr-t) + E03ej(kr-t) = "x1 "x2 "x3 " " " jk1E01ej(kr-t) + jk2E02ej(kr-t) + jk3E03ej(kr-t) stąd " " "" E0ej(kr-t) = jk " E0ej(kr-t) (3.7) Pierwsza składowa rotacji (3.5) to "" " " E03ej(kr-t) - E02ej(kr-t) = "x2 "x3 " " jk2E03ej(kr-t) - jk3E02ej(kr-t) pozostałe składowe uzyskujemy przez cykliczną zamianę wskazników. Stąd rotacja " " " E0ej(kr-t) = jk E0ej(kr-t) (3.8) Druga pochodna "2 " " ej(kr-t) =-ki2E0ej(kr-t) "xi2 stąd laplasjan (3.5) " 2 2 2 " " "2E0ej(kr-t) = -(k1 + k2 + k3 )E0ej(kr-t) = -k2E0ej(kr-t) (3.9) 3.3. Właściwości płaskiej fali monochromatycznej Równania falowe (3.2) zostały wyprowadzone z równań Maxwella. Każde rozwiązanie równań Maxwella (dla dielektryka idealnego) musi więc speł- niać równanie falowe, ale twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe równania Maxwella nakładają dodatkowe ograniczenia na E i B. W szczególności, rozpatrując płaską falę monochromatyczną rozcho- Ć dzącą się w kierunku k , ponieważ " " B = 0 i " " E = 0, więc Ć Ć k " E = 0 i k " B = 0 (3.10) 3-3 Oznacza to, że zarówno wektor natężenia pola elektrycznego jak i wektor indukcji magnetycznej są prostopadłe do kierunku propagacji. Takie fale nazywamy poprzecznymi elektromagnetycznymi (TEM transverse electromagnetic). "B Z prawa Faradaya " E = - wynika dodatkowo związek "t 1 Ć B = (k E) . (3.11) v Przykład: Wyprowadzić zależność (3.11). Rozwiązanie: Podstawiamy do prawa Faradaya L : " E = jk E = 5kk E "B P : - = jB "t
Podstawiając z (3.6) zależność dyspersyjną k = uzyskujemy (3.11). v 3.4. Impedancja falowa i impedancja właściwa ośrodka Definicja: Impedancją właściwą ośrodka bezstratnego nazywamy wiel- kość ź Z = (3.12)
Wprowadza się też impedancję właściwą próżni ź0 Z0 =H" 120Ą H" 377. (3.13) 0 Za pomocą impedancji właściwej ośrodka można zapisać zależność mię- dzy natężeniem pola magnetycznego H a natężeniem pola elektrycznego E dla fali płaskiej typu TEM w postaci 1 Ć H = (k E) . (3.13) Z Definicja: Impedancją falową nazywamy stosunek prostopadłych do kie- runku rozchodzenia się fali składowych natężenia pola elektrycznego i magnetycznego: EĄ" Zf = (3.14) HĄ" Ze wzoru (3.13) wynika, że dla fali TEM impedancja falowa jest równa impedancji właściwej ośrodka Zf = Z. 3-4 3.5. Równanie falowe w ośrodku stratnym Rozważmy liniowy, jednorodny ośrodek materialny w których istnieją ła- dunki swobodne , a gęstość prądu swobodnego J jest, zgodnie z prawem Ohma, proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego J = E. W takim ośrodku, podobnie jak dla idealnego dielektryka D = E i B = źH i równania Maxwella przyjmują postać podaną w pierwszej kolumnie tabe- li 3.2. Można wykazać, że w ośrodku o niezerowej konduktywności po- czątkowa gęstość ładunku swobodnego 0(0) zanika z czasem wg wzoru
# ś#. 00 (t) = (0)exp - t(3.15) ś# ź#
# # Wielkość a" jest tzw. czasem relaksacji. Dla miedzi (dobry prze- wodnik) jest on rzędu 10 19 s, dla słabych przewodników jest znacznie dłuższy, ale w końcu gęstość ładunku swobodnego zanika. Po tym okresie przejściowym przyjmujemy 0 = 0 i równania Maxwella przyjmują postać podaną w drugiej kolumnie tabeli 3.2. Tabela 3.2. Równania Maxwella w ośrodku stratnym Ośrodek liniowy Ten sam ośrodek po rozpłynię- i jednorodny ciu ładunku swobodnego 0 prawo AmpŁre a "E "E " B = ź E + ź " B = ź E + ź (3.16a) z poprawką "t "t Maxwella prawo Faradaya "B "B " E = - " E = - (3.16b) "t "t "" E = 0 (3.16c) prawo Gaussa 1 "" E =
"" B = 0 "" B = 0 (3.16d) bez nazwy Przykład. Wykazać słuszność wzoru (3.15). Wskazówka. Korzystamy z równania ciągłości dla ładunku swobodnego " " " J + = 0 "t a następnie z prawa Ohma w postaci różniczkowej i prawa Gaussa. 3-5 Analogicznie jak dla ośrodków bezstratnych stosując rotację do (3.16a) oraz (3.16b) otrzymujemy "E #ś# " (" B) =" ź E + ź ś#ź# "t # # " "(" " B) - "2B = ź (" E) + ź (" E) "t "B "2B -"2B = -ź - ź "t "t2 oraz "B # ś# " (" E) = " - ś# ź# "t # # " "(" " E) - "2E = - (" B) "t " "E #ś# -"2E = - ź E + ź ś#ź# "t "t # # Wykorzystaliśmy tożsamość (5) z tabeli 1.3 oraz " " B = 0 i "" E = 0, stąd "E "2E "2E - ź - ź = 0 (3.17a) "t "t2 "B "2B "2B - ź - ź = 0 (3.17b) "t "t2 Podobnie jak dla ośrodka bezstratnego otrzymaliśmy identyczne w swej postaci rozprzężone równania falowe dla pól E i B. 3.6. Płaska fala monochromatyczna w ośrodku stratnym Poszukajmy rozwiązania równań (3.17) w postaci fali płaskiej monochro- matycznej: " " Er,t) = E0ej(Kr-t ), B(r,t) = B0ej(Kr-t ) (3.18) ( Skoncentrujmy naszą uwagę na polu elektrycznym E. Podstawiając (3.18) do (3.17) 2 -K + jź + ź2 = 0 2 ś# #1+ j ś# 2 K = jź + ź2 = ź2 #1+ j = ś#ź# ź# v2 ś# # # # #
ś# 2 K = k2 #1+ j oraz k = (3.19) ś#ź# v # # uzyskujemy równanie dyspersyjne. 3-6 Obliczając pierwiastek z tego wyrażenia otrzymujemy
K = k 1+ j = ą + j (3.20)
gdzie 22
# ś# # ś# 1++1 1+-1 ś# ź# ś# ź#
# # # # ą = k , = k (3.21) 22 Wektor K nazywany jest zespolonym wektorem propagacji. We wzo- rze (3.18), a wcześniej (3.5) wprowadzając jednostkę urojoną j przyjęli- śmy wygodniejszy do obliczeń zespolony zapis fali monochromatycznej. Jak widać zapłaciliśmy za to przekształceniem wektorów E i B oraz K w wektory zespolone, które nie mają sensu fizycznego i nie należy im przypisywać właściwości geometrycznych. Przykład. Równanie falowe w ośrodku stratnym w przybliżeniu har- monicznym. Wektorowe równanie falowe w dielektryku idealnym ma postać "2Er,t) ( "2Er,t) - ź = 0 ( "t2 W przybliżeniu harmonicznym można je zapisać jako "2E(r,) + 2 źEr,) = 0 ( Dla ośrodka stratnego wprowadzając formalnie zamiast przenikalności
"2E + 2 źE = 0 Pozwala to na wyznaczenie zamiast liczby falowej k = ź , zespolonej
liczby falową K w postaci
K a" ź = k 1- j = ą - j
gdzie 22
# ś# # ś# 1++1 1+-1 ś# ź# ś# ź#
# # # # ą = k , = k 22 3-7 3.7. Właściwości płaskiej fali monochromatycznej w ośrodku stratnym Bez straty ogólności możemy tak zorientować układ współrzędnych aby rozwiązaniem równania (3.17) były postaci E ~exp( jKx3) albo E ~ exp(- jKx3) . Występują dwa znaki, ze względu na kwadratową zależ- ność we wzorze (3.19). Jeżeli szukamy fali płaskiej monochromatycznej poruszającej się w dodatnim kierunku osi x3 to rozwiązanie równania (3.17) może być zapisane w postaci 3 E(x3,t) = E0ej(Kx -t) = E0e- x3ej(ą x3 -t) (3.22a) Postępując analogicznie dla pola B otrzymujemy B(x3,t) = B0ej( Kx3 -t) = B0e- x3ej(ą x3-t) (3.22b) Jak widać część urojona wielkości K prowadzi do tłumienia fali. Z wiel- kością tą wiąże się głębokość wnikania w 1 w = (3.23)
Część rzeczywista wielkości K określa następujące parametry fali: " długość fali 2Ą = (3.24) ą " prędkość rozchodzenia się (prędkość fazową)
Przykład. Moduł i część rzeczywista wektora zespolonego E. Wektor zespolony E można zapisać w postaci sumy dwóch wektorów rze- czywistych E = Re(E) + j Im(E) Modułem wektora zespolonego nazywamy wyrażenie o postaci E = E " E* . Część rzeczywistą wektora zespolonego można obliczyć z wyrażenia E + E* Re(E) = . 2 Przykład. Wychodząc z równania (3.20) wyznaczyć ą i w postaci podanej w (3.21). 3-8 Tłumione fale płaskie (3.22) spełniają zmodyfikowane równania falowe (3.17) dla dowolnych wartości E0 i B0. Ale równania Maxwella nakładają dodatkowe ograniczenia, które pozwalają określić względne amplitudy, fazy i polaryzacje E i B. Analogicznie jak w ośrodku bezstratnym rozpatrując falę płaską roz- chodzącą się w kierunku dodatnim osi x3, ponieważ "" B = 0 i " " E = 0, więc E3 = 0 i B3 = 0 (3.27) Tłumione fale płaskie, podobnie jak w dielektryku idealnym są także po- rzecznymi elektromagnetycznymi (TEM transverse electromagnetic). Możemy tak zorientować osie układu współrzędnych aby natężenie pola elektrycznego E było spolaryzowane wzdłuż osi x1 Ć E(x3,t) = xE01e- x3ej(ą x3 -t) (3.28) "B wtedy z prawa Faradaya " E = - otrzymujemy "t K B(x3,t) = w E01e- x3ej(ą x3 -t) (3.29)
(z prawa AmpŁre a z poprawką Maxwella wynika to samo). Jak widać po- la E i B są do siebie prostopadłe. 3.8. Wyznaczenie rzeczywistych pól E i B Wektory opisane równaniami (3.28) i (3.29) są zespolone i nie mają sensu fizycznego. Sens fizyczny mają części rzeczywiste tych wektorów. Aby je wyznaczyć zastosujemy przedstawienie zespolonych wielkości za pomocą ich modułu i fazy: E01 = E0 exp jE; (3.30) KK0 exp j K0E0 E01 = E0 exp jE = exp j(E +) = B0 exp jB
W powyższych wyrażeniach wielkości E0, B0, K0 są wielkościami rze- czywistymi przy czym 22
a" arctg# ś# (3.31) ś# ź# ą # # 3-9 Jak widać ze wzoru (3.30) B -E = tak więc pole magnetyczne opóz- nia się względem pola elektrycznego. Rzeczywiste amplitudy wielkości E i B są powiązane zależnością 2 B0 K0 # ś# = = ź 1+ (3.32) ś# ź# E0 # # Stąd rzeczywiste pola E i B dla fali płaskiej w ośrodku stratnym mają po- stać Ć E(x3,t) = xE0e- x3cos(ą x3 - t + E ) (3.33) B(x3,t) = wB0e- x3cos(ą x3 - t + E +) 3.9. Przybliżenie słabego przewodnika (dielektryk o małych stratach) Rozważmy ośrodek o małych stratach, tzn. dla którego
<< 1.
Dla obliczenia ą i wykorzystamy rozwinięcie w szereg Maclaurina wy- rażenia 1 1 1 1+ u = 1+ u - u2 +& H" 1+ u 2 8 2 2
# ś# gdzie u = . W tym przypadku ś# ź#
# # 2
# ś# 1++1 ś# ź#
# # ą = k H" k = ź , 2 2 2
# ś# 1 1+-1# ś# 1+-1 ś# ź# ś# ź# k ź ź 2 # # # # = k H" k == = 22 2 2 2 3-10 Wynika stąd, że współczynnik tłumienia w przybliżeniu nie zależy od częstotliwości. Natomiast współczynnik fazy ą, a co za tym idzie prędkość fazowa i długość fali 12Ą 2Ą 2Ą vf = H" = ; = H" = ą k ą k ź ź są w przybliżeniu identyczne w ośrodku małostratnym i bezstratnym. Mo- żemy także zaniedbać przesunięcie fazowe pola magnetycznego względem elektrycznego, ponieważ k 1 2 tg = H" = H" 0 ! H" 0. ą k 2 Pola elektryczne i magnetyczne fali płaskiej w ośrodku bezstratnym i małostratnym przedstawia rysunek 3.1. Rys. 3.1. Płaska fala elektromagnetyczna w ośrodku bezstratnym i małostratnym 3.10. Przybliżenie rzeczywistego przewodnika Przewodniki charakteryzują się bardzo dużą konduktywnością i możemy założyć, że
>> 1.
Wykorzystując to przybliżenie dla obliczenia ą 22
# ś# # ś# 1++1 ś# ź# ś# ź# ź # # # # ą = k H" k = ź = k = 22 2 2 2 3-11 i analogicznie 2
# ś# 1+-1 ś# ź# ź # # = k H" 22 wyznaczamy prędkość fazową i długość fali 2 2Ą 2Ą 2Ą vf = H" = ; = H" = ą ź ź ą ź ź 22 Jak widać prędkość fazowa zależy od częstotliwości. Ten efekt nazywamy dyspersją. Można obliczyć przesunięcie fazowe czyli kąt o jaki pole magnetyczne opóznia się względem pola elektrycznego Ą tg = H"1! H" . ą 4 Głębokość wnikania maleje wraz ze wzrostem częstotliwości zgodnie ze wzorem 12 w = = ź Szczególnie dla dużych częstotliwości (rzędu mega- i gigaherców) głębo- kość wnikania jest bardzo mała. Mówimy wtedy o zjawisku naskórkowo- ści. Pola elektryczne i magnetyczne fali płaskiej w ośrodku stratnym przedstawia rysunek 3.2. Rys. 3.2. Płaska fala elektromagnetyczna w przewodniku rzeczywistym. 3-12 3.11. Zespolona przenikalność elektryczna i magnetyczna Gdy zależność pól E i H dana jest przez czynnik exp(- jt) dogodnie jest dysponować oznaczeniami dla części rzeczywistej i urojonej obu przeni- kalność. Przyjęły się następujące oznaczenia1: 2 2 2 2 2 2 = + j , ź = ź + jź W niektórych podręcznikach zależność od czasu jest dana przez czynnik exp(+ jt) ; przyjmuje się wtedy oznaczenia 2 2 2 2 2 2 = - j , ź = ź - jź Dysponując tymi definicjami można omówić zjawisko strat mocy fali na przykładzie strat elektrycznych. Całkowity prąd (przewodzenia i przesunięcia) w dielektryku dla pól proporcjonalnych do exp(- jt) ma gęstość wyrażającą się wzorem 2 2 2 2 2 2 j = E - j( + j )E = ( + )E + j E Składowa prądu będąca w fazie z polem elektrycznym, czyli propor- 2 2 cjonalna do ( + )E wywołuje straty mocy, natomiast składowa prądu 2 proporcjonalna do ( )E powoduje magazynowanie energii. Definiuje się wielkość zwaną tangensem kąta stratności (w tym przy- padku stratności elektrycznej) jako stosunek tych dwóch składowych 2 2 + tg = 2
Wzór ten jest szczególnie ważny przy dużych częstościach (decyduje licz- nik). Natomiast przy małych częstościach pomija się składową urojoną przenikalności elektrycznej i o stratach decyduje konduktywność ośrodka. Wzór powyższy przyjmuje wtedy prostszą postać
tg =
W ośrodkach ferromagnetycznych rozważa się też starty magnetyczne i wprowadza analogicznie tangens kąta stratności magnetycznej 2 2 2 2 ź ź tgź = = 2 2 ź ź Zwróćmy uwagę, że dzięki odmiennym definicjom zespolonych prze- nikalności, definicje kątów stratności są jednakowe zarówno dla pól pro- porcjonalnych do exp(- jt) jak i do exp(+ jt) . 1 K. Bochenek, Metody analizy pól elektromagnetycznych PWN Warszawa, Wrocław 1961 str. 13. 3-13 3.12. Impedancja falowa i impedancja właściwa ośrodka stratnego Definicja: Impedancją właściwą ośrodka stratnego nazywamy wielkość jź Z = + j Definicja: Impedancją falową ośrodka stratnego nazywamy stosunek pro- stopadłych do siebie i kierunku rozchodzenia się fali wektorów zespolo- nych pola elektrycznego i magnetycznego: EĄ" Zf = HĄ" Można wykazać, podobnie jak dla fali TEM w ośrodku idealnym, że im- pedancja falowa jest równa impedancji właściwej ośrodka: 2 2 E1 + E2 Zf = = Z. 2 2 H1 + H2 Inne definicje Definicja. Impedancja falowa (charakterystyczna) stosunek napięcia do prądu fali docelowej w płaszczyznie poprzecznej do osi toru transmisyjne- go. Definicja: Impedancja całkowity opór (pozorny) stawiany przez element, obwód, kabel przepływowi prądu przemiennego o określonej częstotliwo- ści. 3-14