RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKA
AD 14
Wybrane przykłady krzywych płaskich
Krzywe na płaszczyz
nie
Wybrane przykłady krzywych
Cykloida
OkrÄ…g o promieniu a toczy sie bez poslizgu po prostej.
Ustalony punkt tego okręgu porusza się po krzywej zwanej cykloidą.
(Nazwa krzywej pochodzi od Galileusza - 1599)
Krzywe na płaszczyz
nie
Cykloida (c. d.)
Równania parametryczne cykloidy mają postać
x(t) = a(t - sin t),
y(t) = t(1 - cos t))
Otrzymujemy je przyjmujÄ…c za parametr t kÄ…t að jaki tworzÄ…: promieÅ„ okrÄ™gu prostopadÅ‚y
do prostej ( SR ) i promień poprowadzony do wskazanego punktu okręgu ( SP ).
W trójkÄ…cie PQS: SP = a, kÄ…t að = t.
StÄ…d SQ = acost , PQ = asint
S
a
y =ð a -ð SQ =ð a -ð SP cost =ð a(1-ð cost)
að
y
P Q
Ponieważ OR = PR = at
x
R
O
x = OR -ð PQ = a(t -ð sint).
Cykloida jest oczywiście różniczkowalna w sposób ciągły, ale nie jest regularna:
r(t) = 0 gdy t jest caÅ‚kowitÄ… wielokrotnoÅ›ciÄ… liczby 2pð.
Krzywe na płaszczyz
nie
Ewoluta cykloidy
cykloida
ewoluta cykloidy
promień krzywizny
okrÄ…g oskulacyjny
Krzywe na płaszczyz
nie
Wybrane przykłady krzywych
Epicykloida
Okrąg o promieniu a toczy się bez poślizgu po okręgu o promieniu b i jest z nim
styczny zewnętrznie.
Ustalony punkt poruszającego się okręgu wyznacza krzywą zwaną epicykloidą.
okrąg stały
okrÄ…g  ruchomy
epicykloida
Krzywe na płaszczyz
nie
Wybrane przykłady krzywych
Epicykloida (c. d.)
a
k =ð
Kształt epicykloidy zależy od stosunku długości promieni obu okręgów
b
Krzywe na płaszczyz
nie
Wybrane przykłady krzywych
Przykłady epicykloid
k = 1 k = 2 k = 3 k = 4
k = 2.1 = 21/10 k = 3.8 = 19/5 k = 5.5 = 11/2 k = 7.2 = 36/5
Epicykloidy, są szczególnym przypadkiem epitrochoid, które z kolei należą do rodziny rulet.
Krzywe na płaszczyz
nie
Wybrane przykłady krzywych
k = 2
Krzywe na płaszczyz
nie
Ewoluta epicykloidy
epicykloida
ewoluta epicykloidy
promień krzywizny
okrÄ…g oskulacyjny
Krzywe na płaszczyz
nie
Wybrane przykłady krzywych
Hipocykloida
Okrąg o promieniu a toczy się bez poślizgu po okręgu o promieniu b i jest z nim
styczny wewnętrznie.
Ustalony punkt poruszającego się okręgu wyznacza krzywą zwaną hipocykloidą.
okrąg stały
okrÄ…g  ruchomy
hipocykloida
Krzywe na płaszczyz
nie
Wybrane przykłady krzywych
ASTEROIDA
ìð
ïðx =ð a cos3 t
íð
3
ïð
îðy =ð a sin t
okrÄ…g o promieniu a
okrÄ…g o promieniu 4a
asteroida
Krzywe na płaszczyz
nie
Przykłady hipocykloid
k=3 k=4 - astroida k=5 k=6
k=2,1 k=3,8 k=5,5 k=7,2
Hipocykloidy, są szczególnym przypadkiem hipotrochoid, które z kolei należą do rodziny
rulet.
Krzywe na płaszczyz
nie
Ruleta, to krzywa którą wyznacza punkt leżący na krzywej  toczącej się
bez poślizgu po innej krzywej.
Przykład rulety  jest nią cysoida Dioklesa
parabola stała
parabola ruchoma
ruleta  cysoida Dioklesa
Krzywe na płaszczyz
nie
Konstrukcja cysoidy Dioklesa
Dany jest okrąg K, o promieniu a i prosta l styczna do okręgu w
punkcie A. Z punktu O, będącego końcem średnicy OA okręgu,
prowadzimy siecznÄ… przecinajÄ…cÄ… okrÄ…g w punkcie M1 i i prostÄ… l
w punkcie M2. Jeżeli na siecznej odłożymy od punktu M2 odcinek
MM2 = OM1, to koniec M tego odcinka, dla różnych siecznych,
zakreśli krzywą zwaną cysoidą Dioklesa.
Rownania okręgu K i prostej l mają postać:
K : x2 -ð 2ax +ð y2 =ð 0
l : x -ð 2a =ð 0
Przyjmując za parametr t współczynnik kierunkowy siecznej
wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia siecznej,
a następnie równania parametryczne cysoidy
ìð
2at2
ïðx =ð 1+ð t2
ïð
t Îð R
íð
ïðy =ð 2at3
MM2 = OM1
ïð
îð 1+ð t2
Krzywe na płaszczyz
nie
Obwiednia rodziny krzywych
Niech F(x, y, C) = 0 będzie równaniem rodziny krzywych, F jest klasy C1,
C parametrem.
Definicja
Krzywa K nazywamy obwiednią rodziny krzywych, jeżeli spełnia warunki:
-ð krzywa K jest styczna do wszystkich krzywych rodziny,
-ð każdy punkt krzywej K jest punktem stycznoÅ›ci z pewnÄ… krzywÄ… rodziny,
-ð żaden Å‚uk krzywej K nie zawiera siÄ™ w żadnej krzywej rodziny.
Umowa:
Obwiednią (zdegenerowaną) nazywamy punkt, przez który przechodzą wszystkie
krzywe rodziny.
Krzywe na płaszczyz
nie
krzywe rodziny
obwiednia
Krzywe na płaszczyz
nie
Cykloida jest obwiednią rodziny swoich stycznych oraz okręgów krzywiznowych
Krzywe na płaszczyz
nie
Twierdzenie
Jeśli istnieje obwiednia rodziny krzywych F(x, y, C) = 0, to spełnia ona układ
równań
F(x, y,C) =ð 0
ìð
ïð
íðÅ›ðF(x, y,C)
=ð 0
ïð
îð Å›ðC
(Dla wyznaczenia równania obwiedni należy wyeliminować z układu parametr C)
Uwaga
Rozwiązanie powyższego układu równań jest tzw. krzywą wyróżnikową,
która nie musi być obwiednią, ale np. zbiorem punktów osobliwych danej rodziny
Å›ðF Å›ðF
=ð =ð 0
gdy .
Å›ðx Å›ðy
Krzywe na płaszczyz
nie
Przykłady
Rodzina okręgów danych równaniem
(x -ðC)2 +ð y2 =ð1, C ÎðR
Obwiednia - proste y = 1, oraz y = - 1
Rodzina okręgów danych równaniem
(x -ðC)2 +ð (y -ðC)2 =ð C2 , C ÎðR
Obwiednia - osie układu współrzędnych
Rodzina okręgów danych równaniem
(x -ðcosC)2 +ð (y -ðsin C)2 =ð1, C ÎðR
Obwiednia - okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym 2.
Rodzina prostych normalnych do krzywej K
Obwiednia  ewoluta krzywej K
Krzywe na płaszczyz
nie
Zadanie
obwiedniÄ… rodziny prostych jest parabola
Wykazać, że y - 2Cx + C2 = 0 y = x2
Krzywe na płaszczyz
nie
Obwiednią wszystkich położeń prostej ślizgającej się dwoma
ustalonymi punktami, odległymi od siebie o a, po osiach układu
współrzędnych jest asteroida.
Krzywe na płaszczyz
nie
ObwiedniÄ… do rodziny elips
x2 y2
+ð =ð1
C2 (1-ð C)2
jest również asteroida.
DODATEK
Krzywe na płaszczyz
nie
Epitrochoida
Epitrochoida  krzywa zakreślona przez punkt pozostający
w stałym położeniu względem koła toczącego się po
pewnym nieruchomym okręgu.
Równania parametryczne epitrochoidy
gdzie:
·ð R - promieÅ„ nieruchomego okrÄ™gu
·ð r - promieÅ„ toczÄ…cego siÄ™ koÅ‚a
·ð h - odlegÅ‚ość punktu od Å›rodka koÅ‚a o promieniu r
Jeśli h = r to krzywa przyjmuje postać epicykloidy
Jeśli h > r to krzywą nazywamy również epicykloidą
wydłużoną
Jeśli h < r to krzywą nazywamy również epicykloidą
skróconą
Jeżeli stosunek R/r jest liczbą niewymierną, otrzymujemy
okrąg stały
krzywÄ… otwartÄ….
okrÄ…g  ruchomy
epitrochoida
Krzywe na płaszczyz
nie
Trójkąt Reuleaux  krzywa składająca się z łuków okręgów
o środkach i końcach w wierzchołkach trójkąta równobocznego.
Jest to figura o stałej szerokości, czyli taka, w której odległość
pomiędzy równoległymi prostymi podpierającymi nie zależy od
kierunku tych prostych.
Pole powierzchni trójkąta wynosi
i jest najmniejsze spośród wszystkich figur o stałej szerokości
równej d (największe pole powierzchni ma koło).
Franz Reuleaux
Krzywe na płaszczyz
nie
Trójkąt Reuleaux (brzeg pomarańczowego obszaru) czyli część wspólna okręgów
o promieniach d i środkach w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku d.
Sinik Wankla
~ epitrochoida
R/r = 2
wirnik w kształcie zbliżonym do trójkąta Reuleaux (o lekko "spłaszczonych"
krawędziach) mimośrodowo umieszczony w korpusie o epitrochoidalnym przekroju
Sinik Wankla
DZI
KUJ
ZA UWAG