METODY DOBORU NASTAW
7.3.1. Metody analityczne
7.3.1.1 Metoda linii pierwiastkowych
7.3.2 Metody doświadczalne
7.3.2.1. Metoda Zieglera- Nicholsa
7.3.2.2. Wzmocnienie krytyczne
7.3.1.1 Metoda linii pierwiastkowych
Metoda linii pierwiastkowych (metoda miejsc geometrycznych
pierwiastków) - umo\
liwia wyznaczenie poło\
enia pierwiastków równania
charakterystycznego układu zamkniętego na podstawie rozmieszczenia zer i
biegunów transmitancji układu otwartego.
Ze zmianą wzmocnienia układu otwartego pierwiastki te poruszają się po
liniach pierwiastkowych, będących miejscem geometrycznym pierwiastków.
Rozpatrzymy układ ze sprzę\
eniem zwrotnym
E(s) Regulator U(s) Obiekt Y(s)
W(s
Kp
KoGo(s)

Transmitancja układu zamkniętego wynosi
K K0G0(s)
Y (s)
p
GZ (s) = =
W (s) 1+ K K0G0(s)
p
_________________________________________________________________________________________________
1
Powered by xtoff® [e-mail]
Równanie charakterystyczne, którego pierwiastki są biegunami
transmitancji ma postać
1+ K K0G0(s) = 0
p
Pierwiastki układu zamkniętego zale\
ą od współczynnika wzmocnienia
Kp, tym samym mo\
emy mieć wpływ na odpowiedz
dynamiczną układu
zamkniętego przez dobór odpowiedniej wartości Kp.
Rozwa\
my mechanizm konstruowania wykresu pierwiastków przy
wykorzystaniu wzmocnienia jako zmiennego parametru. Zało\
ymy, \
e
transmitancja układu otwartego KpK0G0(s) jest funkcją wymierną, licznik ma
postać KpK0b(s), gdzie b(s) jest wielomianem stopnia m
m
b(s) = sm + b1sm-1 + ... + bm = (s - z1)(s - z2)...(s - zm ) = - zi )
"(s
i=1
Mianownik jest wielomianem a(s) n-tego stopnia, a ne"m
n
a(s) = sn + a1sn-1 + ...+ an = - pi )
"(s
i=1
Dla potrzeb analizy zało\
ono, \
e wzmocnienie obiektu K0 jest dodatnie,
oraz zdefiniujmy parametr miejsca geometrycznego jako
K = K K0
p
Miejsca zerowe (pierwiastki) b(s) = 0 sÄ… zerami transmitancji GZ(s) i
oznaczamy je jako zi, podobnie miejsca zerowe (pierwiastki) a(s) = 0 sÄ…
biegunami transmitancji GZ(s) i oznaczamy je jako pi.
Mo\
na teraz przedstawić poło\
enie pierwiastków równania na kilka
mo\
liwych sposobów. Ka\
de z poni\
szych równań ma te same pierwiastki
1+ KG0(s) = 0
b(s)
1+ K = 0
a(s)
a(s) + Kb(s) = 0
1
G0(s) = -
K
Równania te określa się często jako formuły pierwiastków równania
charakterystycznego.
_________________________________________________________________________________________________
2
Powered by xtoff® [e-mail]
 Linia pierwiastkowa jest zbiorem wartości s, dla których w powy\
szych
równaniach zachowana jest dodatnia wartość K (oraz Kp).
Rozwiązaniami równań są pierwiastki układu zamkniętego, więc mo\
na
powiedzieć, \
e metoda linii pierwiastkowych jest sposobem wnioskowania o
własnościach układu zamkniętego na podstawie transmitancji układu otwartego
KG0(s).
7.3.2.1. Metoda Zieglera- Nicholsa
Ziegler i Nichols zauwa\
yli, \
e odpowiedz
skokowa większości układów
sterowania ma kształt podobny do tego z rysunku 1a. Krzywa ta mo\
e być
otrzymana z danych eksperymentalnych lub symulacji dynamicznej obiektu.
Krzywa o kształcie S jest charakterystyczna dla układów wy\
szych
rzędów.
Transmitancja
O
Ke-sT
G(s) =
(*)
Ts +1
aproksymuje układy wy\
szych rzędów prostym układem I rzędu z dodatkowym
opóz
nieniem To wyra\
onym w sekundach. Stałe w równaniu (*) mogą być
określone z odpowiedzi skokowej procesu. Jeśli styczna narysowana jest w
punkcie przegięcia krzywej odpowiedzi, wówczas nachylenie linii jest
wyznaczane ze wzoru R=K/T, a przecięcie stycznej z osią czasu określa czas
opóz
nienia To.
W tej metodzie wybór parametrów regulatora opiera się na współczynniku
zanikania równym w przybli\
eniu 0.25. Oznacza to, \
e dominująca składowa
przejściowa zanika do jednej czwartej swojej wartości maksymalnej po jednym
okresie oscylacji (rys. 2). Takie zanikanie odpowiada współczynnikowi ś = 0.21
w układzie II rzędu i wartość ta ustalona została na zasadzie kompromisu
pomiędzy szybką odpowiedzią i wystarczającym zapasem stabilności.
Autorzy symulowali równania dla ró\
nych układów na komputerze
analogowym i stroili parametry regulatorów, a\
uzyskali odpowiedzi
przejściowe zanikające do 25% poprzedniej wartości w jednym okresie. Metoda
Zieglera-Nicholsa bazujÄ…ca na odpowiedzi skokowej daje dobre rezultaty, gdy
spełniony jest następujący warunek :
TO
0.15 < < 0.6
T
_________________________________________________________________________________________________
3
Powered by xtoff® [e-mail]
(rys. 1) (rys. 2)
7.3.2.2. Wzmocnienie krytyczne
Wzmocnienie krytyczne to wzmocnienie regulatora proporcjonalnego,
który połączony szeregowo z obiektem spowoduje znalezienie się układu
zamkniętego na granicy stabilności (pojawiają się niegasnące drgania okresowe).
W tej metodzie kryterium strojenia parametrów opiera się na ocenie
układu znajdującego się na granicy stabilności. Ten algorytm strojenia mo\
e być
stosowany dla układów typu 0 posiadających rząd > 2. Mo\
e być równie\

zastosowana do samostrojenia regulatorów PID. Metoda ta mo\
liwa jest do
zastosowania jeśli mo\
liwe jest znalezienie wzmocnienia przy którym wykres
Nyquista przecina punkt krytyczny lub kiedy linia pierwiastkowa przecina oÅ›
liczb urojonych. Wzmocnienie to mo\
e być znalezione eksperymentalnie,
wymaga się wówczas zwiększania wzmocnienia w układzie zamkniętym a\
na
wyjściu pojawią się oscylacje o stałej amplitudzie. Jest to w niektórych
zastosowaniach praktycznych bardzo niebezpieczna operacja. Zwiększa się
wzmocnienie proporcjonalne a\
zauwa\
y się oscylacje o stałej amplitudzie,
odpowiada to wzmocnieniu krytycznemu Kkr i oscylacjom o okresie Tosc . Okres
oscylacji powinien być mierzony kiedy amplituda oscylacji jest dość mała.
_________________________________________________________________________________________________
4
Powered by xtoff® [e-mail]
Nastawy regulatorów według Zieglera i Nicholsa
Regulator K/Kkr Ti/Tos TdTos
P 0,5 - -
PI 0,45 0,83 -
PID 0,6 0,5 0,125
Przyjęcie nastaw regulatorów z powy\
szej tabeli, pozwala uzyskać
przebiegi przejściowe o charakterze zbli\
onym do przedstawionego na
następnym rysunku. Przeregulowanie jest rzędu 15 - 20%, a liczba oscylacji nie
przekracza dwóch.
_________________________________________________________________________________________________
5
Powered by xtoff® [e-mail]