Wydział: WiLiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Układy równań liniowych
Zad.1 Metodą macierzy odwrotnej rozwiąż następujące układy równań:
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x + y + z = 5 x + y + z = 4
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
a) b)
2x + 2y + z = 3 2x - 3y + 5z = -5
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
3x + 2y + z = 1 -x + 2y - z = 2
Zad.2 Rozwiąż, stosując wzory Cramera, następujące układy równań:
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
4x + 5y - 6z = 3
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2x - y = 3
a) b)
y - 2z = -1
ół ôÅ‚
ôÅ‚
3x + y = 2
ôÅ‚
ół
2x + 3y - 3z = 2
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚ - 4y - 2z + 6w = 4
2x
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
5x + 2y - 2z = 5
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
x + y - 2w = -3
c) d)
3x + y + 2z = 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - y - 6w = 3
7x
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
2x + 3y + 2z = 5
ôÅ‚
ół
3x - 3y - 2z = 1
Zad.3 Rozwiąż następujące układy równań:
Å„Å‚ Å„Å‚
òÅ‚ òÅ‚
6x - 4y = 1 x + 2y + 5z = 4
a) b)
ół ół
-3x + 2y = 5 3x - y + z = 5
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - y + 2z - w = 1
3x + y - z = 2 x
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
c) d)
8x + 3y + 6z = 3 5x + y - 2z + w = 5
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ół
6x + 2y - 2z = -5 x + y - 2z + 6w = 1
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
2x + y + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ - 3y = 8
ôÅ‚
2x
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
3x - y + 3z = 2
e) f)
x + y = -1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
x + y + z = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
5x - y = 7
ôÅ‚
ół
x - y + z = 1
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x + 6y - 3z - 8w + 3u = 9
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - y + z + 2w - u = 3
3x
ôÅ‚
òÅ‚
g)
4x + 4y + 3z + 2w + 5u = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ -x + y + z - 2w + 3u = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
2x + 3y - z - 4w + 2u = 8
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
2x + 3y + z - 2w - u = 6
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
4x + 7y + 2z - 5w + u = 17
h)
ôÅ‚
ôÅ‚
6x + 5y + 3z - 2w - 9u = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
2x + 6y + z - 5w - 10u = 12
Zad.4 Dla jakich wartości parametru a układ równań ma rozwiązanie?
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ax + y = 2
ôÅ‚
òÅ‚
3x - y = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + 4y = a
1
Zad.5 Rozwiąż następujące układy jednorodne:
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
x + 3y + 2z = 0
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ - y - z = 0
ôÅ‚
x
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
2x - y + 3z = 0
a) b)
x + 4y + 2z = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - 5y + 4z = 0
3x
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
ôÅ‚
3x + 7y + 3z = 0
ôÅ‚
ół
x + 17y + 4z = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x + z + w = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x - y + z = 0
c)
ôÅ‚
ôÅ‚
y + z - w = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + y + z = 0
Zad.6 W zależności od parametru a rozwiąż układy równań:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ax + y + z = 1
ôÅ‚
òÅ‚
a)
x + ay + z = a
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + y + az = a2
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x + 2y + 4z = 4
ôÅ‚
òÅ‚
b)
(a - 1)x + (a + 1)y + (2a + 2)z = a + 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
(a + 1)x + (3a - 1)y + 16z = 3a + 7
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x + 2y + 4z = 0
ôÅ‚
òÅ‚
c)
(a + 2)x + (a + 3)y + (a + 5)z = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
(2a + 4)x + (a + 5)y + 8z = 0
Odpowiedzi: 1a) x = -2, y = 0, z = 7 , 1b) x = 3, y = 2, z = -1 , 2a) x = 1, y = -1 , 2b) x = y = z = 1 ,
1
2c) x = 0, y = 2, z = - , 2d) x = 0, y = -3, z = 4, w = 0 , 3a) ukł. sprzeczny, 3b) x = 2 - ą, y = 1 - 2ą, z = ą ,
2
1
3c) ukÅ‚. sprzeczny, 3d) x = 1, y = 2Ä… - ², z = Ä…, w = ² , 3e) x = 1, y = -2 , 3f) x = 1, y = z = - , 3g)
2
7 1 21
x = 2, y = -2, z = 0, w = -2, u = 1 , 3h) x = Ä…, y = + ², z = -4 - 2Ä… - ², w = ², u = , 4) a = , 5a)
2 2 2
x = 8Ä…, y = -3Ä…, z = 5Ä… , 5b) x = 11Ä…, y = 7Ä…, z = -7Ä… , 5c) x = y = z = w = 0 ,
2