Egzamin z Równań Różniczkowych, 25 VI 2013 1. godz. 9.00 Zadanie wstępne 1.1 Równanie charakterystyczne pewnego równania różniczkowego liniowego 4 rzędu o stałych współczynnikach ma pierwiastki r1 = 0 , r2 = -2 , r3 = 2i , r4 = -2i . Wyznaczyć rozwiązania szczególne tego równania różniczko- wego tworzące fundamentalny układ rozwiązań. 1.2 Rozwiązać równanie: y = y . "
1.3 Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu sinn x . n=1 1.4 Narysować wykres sumy szeregu Fouriera funkcji
-1 , x " (-Ą, 0) f(x) = na przedziale [-Ą, 2Ą] 3 , x " (0, Ą) 1.5 Dla jakiej wartości p " R krzywizna krzywej
x = p cos t K : t " [0, 2Ą) y = p sin t dla t = Ą jest równa 5 ? 1. godz. 10.00 Zadanie wstępne 1.1 Czy funkcje f1(x) = 1 , f2(x) = x , f3(x) = x2 tworzą fundamentalny układ roz- wiązań pewnego równania różniczkowego liniowego 3 rzędu o stałych współczyn- nikach? Odpowiedz uzasadnić. 1.2 Rozwiązać równanie y = y2 . 2 1.3 Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x) = e-x 1.4 Dla jakiej wartości parametru p " R suma szeregu Fouriera funkcji
1 , x " (-Ą, 0) f(x) = x + p , x " (0, Ą) przyjmuje w punkcie x = 0 wartość równą 0 ? Wyznaczyć wektor normalny główny krzywej opisanej równaniem - (t) = [t , t2 et] dla t = 0 . r , 2. Rozwiązać równanie: y + y tg x = cos2 x 3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego ńł x + y �ł xy - y = (x + y) ln x ół y(1) = 1 4. Rozwiązać zagadnienie początkowe ńł � �ł - y = 0 �ł �ł �ł Ź + 9x = 0 �ł x(0) = 1 �ł �ł ół y(0) = 0 1 2 2 5. Wyznaczyć przybliżoną wartość całki ex dx wykorzystując trzy początkowe wy- 0 2 razy szeregu Maclaurina funkcji y = ex . 6. Dana jest funkcja ńł �ł 4 dla x " (-Ą , -1) �ł f(x) = -4 dla x " (1 , Ą) �ł ół 0 dla x " (-1 , 1) Uzupełnić tę funkcje aby w przedziale [-Ą, Ą] spełniała warunki Dirichleta. Sporządzić wykres. Wyznaczyć szereg Fouriera tej funkcji. 2