Kolokwium z topologii, Potok I, 03.12.2009
ODPOWIEDZI NALEŻY UZASADNIĆ. KAŻDE ZADANIE 25 PUNKTÓW.
                                           
Metryki i w !2 określone są formułami, gdzie 0 = (0, 0), ( , ) = ( , 0), oraz oznacza
metrykÄ™ euklidesowÄ… w !2:
( , ), jeśli , i 0 leżą na jednej prostej,
( , ) =
( , 0) + ( , 0), w przeciwnym razie,
( , ), jeśli ( ) = ( ),
( , ) =
( , ( )) + ( ( ), ( )) + ( , ( )), jeśli ( ) = ( ).
"
2
Dla punktów , " niech ( , ) oznacza odcinek domknięty o końcach i .
                                           
2
Zad.1. Dla punktów , " niech ( , ) oznacza odcinek domknięty o końcach i . Niech
będzie następującym podzbiorem płaszczyzny !2:
" "
1 1 1 1
= ((0, ), ( , )) *" {(0, 0)} *" {(-1, )}
=1 =1
Niech ( , ) (odpowiednio, ( , ) lub ( , )) oznaczają przestrzeń z metryką (odpowiednio,
lub ) obciętą do .
(a) Zbadać zwartość, zupełność i ośrodkowość przestrzeni metrycznych ( , ), ( , ) i ( , ).
(b) Czy wśród tych trzech przestrzeni są przestrzenie homeomorficzne?
                                
Zad.2. Niech : !2 !2 będzie określone formułą
( , ) = ( + , + 2).
Znalez
ć zbiór punktów ciągłości jako przekształcenia z (!2, ) w (!2, ).
                                
Zad.3. Dla ‚" (-", -1] rozpatrzmy nastÄ™pujÄ…cy podzbiór pÅ‚aszczyzny
( ) = { ((0, 0), ( , )) : " }.
Pokazać, że podprzestrzeń ( ) płaszczyzny z metryką euklidesową jest zupełna wtedy i tylko wtedy,
gdy zbiór jest zwarty.
                                
Zad.4. Niech : będzie funkcją ciągłą z przestrzeni metrycznej do przestrzeni
metrycznej taką, że obraz każdego zbioru domknietego w jest domkniety w . Pokazać, że jeśli
-1
dla każdego " zbiór ( ) jest zwarty, to dla każdego zwartego zbioru ‚" przeciwobraz
-1
( ) jest zbiorem zwartym.