dr inż. Magdalena Topczewska
Ćwiczenia nr 3
Zmienna losowa
Zakres teorii
" definicja zmiennej losowej
" dystrybuanta zmiennej losowej
" rozklady zmiennej losowej dyskretnej (zero-jedynkowy, Bernoulliego, Poissona, jednostajny, geometryczny)
" rozklady zmiennej losowej ciaglej (jednostajny, wykladniczy, normalny, standaryzowany normalny, t-
Studenta)
Definicja zmiennej losowej
Niech bedzie dana przestrzeń probabilistyczna (&!, S, P ). Zmienna losowa X nazywamy funkcje określona w przestrzeni &! zda-
rzeń elementarnych, przyjmujaca wartości rzeczywiste, taka że dla każdej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych, dla
których X < x należy do algebry S.
Jeżeli X przyjmuje skończona lub przeliczalna liczbe wartości xi (i = 1, 2, . . .) odpowiednio z prawdopodobieństwami pi (i = 1, 2, . . .;
pi = 1; pi > 0), to X nazywamy zmienna losowa dyskretna (skokowa).
Definicja rozkladu prawdopodobieństwa (zmienna dyskretna)
Funkcje
pi(xi) = P (X = xi)
określona na zbiorze liczb rzeczywistych xi i przyjmujaca wartości pi, bedace prawdopodobieństwami (i = 1, 2, . . .; pi = 1;
pi > 0) nazywamy rozkladem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Definicja dystrybuanty (zmienna dyskretna)
Funkcje
F (x) = P (X < x) = pi
xinazywamy dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej X.
Wlasności dystrybuanty
" F (x) jest niemalejaca
" 0 F (x) 1
" F (-") = 0 oraz F (") = 1
Jeżeli zmienna losowa X przyjmuje wartości z pewnego przedzialu skończonego lub nieskończonego, a liczba jej wartości jest nie-
przeliczalna, to X nazywamy zmienna losowa ciagla.
Definicja zmiennej losowej ciaglej
Jeżeli dla dystrybuanty zmiennej losowej X istnieje nieujemna funkcja f(x) taka, że dla każdego x " R
x
F (X) = f(u)du
-"
to mówimy, że X jest zmienna losowa ciagla.
Funkcje f(x) nazywamy gestościa zmiennej losowej X (f(x) = F (x)).
Zadania
Zad 1.
Zmienna losowa ma rozklad normalny N(0, 1). Obliczyć P (0 < X < 1), P (X > 2), P (|X| < 1).
Zad 2.
Zmienna losowa ma rozklad normalny N(1, 2). Obliczyć P (X < 0), P (X < 1), P (X > -1).
Zad 3.
Znalez
ć rozklad i dystrybuante sumy oczek w dwóch rzutach kostka.
Zad 4.
1
Prawdopodobieństwo, że statystyczny student nie jest przygotowany do ćwiczeń wynosi . Prowadzacy ćwiczenia
3
wybiera przypadkowo cztery osoby. Znalez
ć rozklad i dystrybuante liczby nieprzygotowanych do ćwiczeń stu-
dentów. Obliczyć P (X = 3), P (X < 2).
1
Zad 5.
Prawdopodobieństwo zerwania sie nici na jednym wrzecionie w czasie jednej minuty jest równe 0.003. Tkaczka
obsluguje 1000 wrzecion. Oblicz prawdopodobieństwo, że w czasie jednej minuty zerwa sie
1. dokladnie 2 nici
2. co najwyżej jedna nić
3. co najmniej 3 nici
4. co najmniej 1 nić.
Zad 6.
Dana jest funkcja prawdopodobieństwa
xi -5 -2 0 1 3 8
pi 0.1 0.2 0.1 c 0.2 0.1
Wyznaczyć:
1. stala c
2. wykres funkcji prawdopodobieństwa
3. dystrybuante i jej wykres
4. prawdopodobieństwa P (X = 1), P (X < 3), P (X >= 0), P (-1 <= X < 2) dwoma sposobami:
(a) korzystajac z danej funkcji prawdopodobieństwa
(b) korzystajac z wyznaczonej dystrybuanty
5. znalezione prawdopodobieństwa zilustrować na rysunku dystrybuanty.
Zad 7.
Sprawdzić, czy funkcja
0 dla x < 0
f(x) =
ex dla x 0
1
jest gestościa prawdopodobieństwa. Znalez
ć dystrybuante F (x). Obliczyć prawdopodobieństwo P (X < )
2
i P (1 < X < 2). Zinterpretować te prawdopodobieństwa na wykresie gestości i dystrybuanty.
Zad 8.
Dana jest funkcja
A
dla |x| 1
x4
f(x) =
0 dla x < 1
Dla jakiej wartości A funkcja jest gestościa prawdopodobieństwa zmiennej losowej X? Znalez
ć dystrybuante
oraz prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje wartość wiksza od 2.
Zad 9.
Funkcja
0 dla x 0
f(x) =
1 - e-x dla x > 0
jest dystrybuanta zmiennej losowej X. Wyznaczyć funkcje gestości zmiennej losowej X.
Zad 10.
Robotnik obsluguje 4 jednakowe warsztaty funkcjonujace automatycznie i niezależnie od siebie. Prawdopo-
dobieństwo, że w ciagu godziny warsztat bedzie wymagal zajeecia sie nim wynosi 0.9. Podać najbardziej
prawdopodobna liczbe warsztatów wymagajacych interwencji robotnika.
Zad 11.
Egzaminator zadaje studentom pytania. Prawdopodobieństwo tego, że student odpowie na każde pytanie jest
równe 0.8. Egzaminator przerywa egzamin w chwili, gdy student nie umie odpowiedzieć na zadane pytanie.
Podać rozklad zmiennej losowej X, bedacej liczba pytań, które egzaminator zadawal studentowi oraz znalez
ć
najbardziej prawdopodobna liczbe pytań.
Zad 12.
Wyznaczyć stala b, by funkcja f(x) = bx3 dla 0 x 1 i 0 w pozostalych przypadkach byla funkcja gestości.
2