Najważniejsze twierdzenia ze schematami dowodów - CiÄ…gi - © AT - 1
Twierdzenie
Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny do granicy właściwej, to jest ograniczony, tzn. isnieją liczby m, M "
R takie, że dla każdego n " N zachodzi
m an M .
Dowód
Jeżeli ciąg (an) jest zbieżny do granicy właściwej, to istnieje takie g, że
g = lim an .
n"
Czyli

|an - g| < µ
n>n0
µ>0 n0"N
StÄ…d
g - µ < an < g + µ .
Warunek ten nie obejmuje wyrazów o wskaz
nikach n n0. Niech Z oznacza zbiór wartości tych
wyrazów i niech
A = min Z , B = max Z .
Czyli
A an B
dla n n0.
Wez
my teraz
m = min{g - µ, A} , M = max{g + µ, B} .
Otrzymaliśmy zatem
m an M
dla n " N, co oznacza że ciąg jest ograniczony.
Twierdzenie
Jeżeli ciągi (an), (bn), (cn) spełniają warunki
" an bn cn dla każdego n n0,
" lim an = lim cn = g,
n" n"
Najważniejsze twierdzenia ze schematami dowodów - CiÄ…gi - © AT - 2
to lim bn = g.
n"
Dowód
Chcemy wykazać, że lim bn = g, czyli że
n"

|bn - g| < µ .
n>n0
µ>0 n0"N
Niech µ bÄ™dzie dowolnÄ… liczbÄ… wiÄ™kszÄ… od 0.
Z założenia
lim an = lim cn = g
n" n"
wynika, że istnieją liczby n1 oraz n2 takie, że

|an - g| < µ ,
n>n1

|cn - g| < µ .
n>n2
Dla każdego n > n0 = max{n1, n2} prawdziwe są obie nierówności, czyli
g - µ < an < g + µ ,
g - µ < cn < g + µ ,
z których, wobec założenia an bn cn, wynika nierówność
g - µ < an bn cn < g + µ .
Tak więc

g - µ < bn < g + µ ,
n>n0
lub inaczej

|bn - g| < µ .
n>n0
Czyli wykazaliśmy, że

|bn - g| < µ ,
n>n0
µ>0 n0"N
a więc wykazaliśmy prawdziwość tezy.
Twierdzenie (nierówność Bernoulliego)
Jeżeli x > -1, x = 0 i n 2, to

(1 + x)n > 1 + nx .
Najważniejsze twierdzenia ze schematami dowodów - CiÄ…gi - © AT - 3
Dowód
Dowód indukcyjny.
Sprawdzamy dla n = 2.
(1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x ,
ponieważ x2 > 0.
Załóżmy, że prawdziwa jest nierówność
(1 + x)n > 1 + nx
dla n > 2.
Obie strony powyższej nierówności pomnóżmy przez (1 + x):
(1 + x)n+1 > (1 + nx)(1 + x) ,
(1 + x)n+1 > 1 + nx + x + nx2 ,
(1 + x)n+1 > 1 + (1 + n)x + nx2 .
Ponieważ nx2 > 0, to
(1 + x)n+1 > 1 + (1 + n)x .
Co należało dowieść.
Twierdzenie
n
1
CiÄ…g (en) = 1 + jest rosnÄ…cy.
n
Dowód
Będziemy korzystali z nierówności Bernoulliego w postaci
(1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x
oraz z badania monotoniczności ciągu za pomoca ilorazu
bn+1
.
bn
Czyli
n+1 n+1
1 1
n+1
1 + 1 +
n+2
bn+1 n + 1 1 n + 1 1
n+1
n
= = 1 + = 1 + =
n+1
n+1
bn 1 n n
1
n
1 +
1 +
n
n
Najważniejsze twierdzenia ze schematami dowodów - CiÄ…gi - © AT - 4
n+1 n+1
1 n(n + 2) 1 n2 + 2n + 1 - 1
= 1 + = 1 + =
n (n + 1)2 n (n + 1)2
n+1 n+1
1 (n2 + 1)2 - 1 1 1
= 1 + = 1 + 1 - >
n (n + 1)2 n (n + 1)2
1
z nierówności Bernoulliego dla x = - mamy
(n + 1)2

1 1 1 1
> 1 + 1 + (n + 1) - = 1 + 1 - =
n (n + 1)2 n n + 1
n + 1 n
= · = 1 .
n n + 1
Zatem
bn+1
> 1 ,
bn
a więc ciąg (en) jest rosnący.