zagadnienie 10,13

10. Operator pędu oraz jego funkcje własne (normowanie)
Operator pędu w reprezentacji położeniowej: p = -iŻ
Ć h"
Równanie własne operatora pędu : p�p(� = p�p(� w przypadku 1D daje to następujące równanie różniczkowe:
Ć r) r),
� �
d
-iŻ
hdx�p(x) = p�p(x) , którego rozwiązanie ma postać:
i
Ż
�p(x) = Ceh px
gdzie C - stała. Wprowadzoną stałą znajdujemy z normowania funkcji własnej operatora pędu do delty Diraca :
+" +"
" "
i
"
Ż
2 h|C|2�(p2 - p)
(�p (x), �p(x)) = �p (x)�p(x)dx = |C|2 eh (p-p2 )xdx = 2ĄŻ
2
-" -"
1
"
Wyrażenie stojące przed �(p2 - p) ma być równe 1, stąd mamy(przyjmujemy wartość rzeczywistą dodatnią) C = .
2ĄŻ
h
Podobnie,w przypadku 3D równanie funkcji własnej operatora pędu ma postać:
1 i
� r
Ż
�p(� = eh p��
r)
�
3
(2ĄŻ
h)2
Przy czym stała przed funkcją wykładniczą została tak dobrana, aby (�p , �p) = �(3)(� 2 - p) - normowanie do trójwymi-
p �
� 2 �
�
arowej delty Diraca: �(3)(p2 - p) = �(p2 - px)�(p2 - py)�(p2 - pz)
�
x y z
13. Oscylator harmoniczny rozwiązanie z wykorzystaniem operatorów kreacji i
anihilacji
Rozwiązanie oscylatora harmonicznego sprowadza się do do rozwiązania stacjonarnego równania Schrodingera $� =
1
E� dla potencjału w postaci U(x) = m�2x2, gdzie stała � może być interpretowana jako częstość drgań klasycznego
2
oscylatora harmonicznego w zadanym potencjale U(x). Zatem równanie które dostajemy wygląda następująco:
( )
Ż
h2 d2 1
- + m�2x2 � = E�
2m dx2 2
Można je przepsać w innej, równoważnej formie wprowadzając tzw. operatory kreacji(�+) i anihilacji(�-)
( )
1 h d
Ż
�+ := " + im�x
i dx
2m
( )
1 h d
Ż
�- := " - im�x
i dx
2m
Przy użyciu tak wprowadzonych operatorów, możemy zapisać Hamiltonian jako
1 1
$ = �+�- + h� = �-�+ - h�
Ż Ż
2 2
Następnie twierdzimy, że jeżeli funkcja falowa �(x) spełnia równanie Schrodingera z pewną energią E, to funkcja
�+�(x) spełnia to samo równanie Schrodingera z energią o wartości E + h�. Uzasadnienie polega na tym aby zamiast
Ż
� wstawić �+� i sprawdzić co wyjdzie. Zatem mamy:
1 1 1
$(�+�) = (�+�- + h�)(�+�) = (�+�-�+ + h��+)� = �+(�-�+ + h�)� =
Ż Ż Ż
2 2 2
1 1
= �+(�-�+ - h� + h�)� = �+((�-�+ - h�)� + h��)
Ż Ż Ż Ż
2 2
1
Następnie, korzystając z jednej z postaci Hamiltonianu mamy że (�-�+ - h�)� = E�, czyli:
Ż
2
$(�+�) = �+(E� + h��) = (E + h�)(�+�)
Ż Ż
Zatem funkcji falowej �+� odpowiada energia o h� większa od energii odpowiadającej funkcji �. Podobnym rachunkim
Ż
można sprawdzić, że $(�-�) = (E -h�)�, czyli funkcji �-� odpowiada energia E -h�. Zatem operator kreacji podnosi
Ż Ż
energię stanu � o Ż a operator anihilacji obniża tą energię o h�. Działając na � operatorem anihilacji dostatecznie
h�, Ż
dużą ilość razy, możnaby dojść do stanu w którym energia staje się ujemna. Jednak nasze równanie oscylatora $� = E�
posiada taką własność, że energia E nie może być mniejsza niż minimum potencjału U(x) w tym Hamiltonianie(można
uzasadnić, że funkcja � nie może być znormalizowana gdy E < Umin gdyż � i druga pochodna � ma zawsze ten sam
znak). Zatem nie istnieją stany z ujemną energią i jest pewien najniższy energetycznie stan opisany przez jakieś �0, na
którym próba zadziałania operatorem anihilacji da 0. Czyli dla tego szczególnego stanu mamy �-�0 = 0. Pozwala nam
to ułożyć równanie różniczkowe, z którego możemy znalezć ten podstawowy stan �0 :
( )
1 h d�0
Ż
" - im�x�0 = 0
i dx
2m
Przekształcając i rozdzielając zmienne mamy :
d�0
Ż
h = -m�xdx
�0
Co daje:
+" +"
d�0 1
Ż Ż
h = -m� xdx �! h ln �0 + const = - m�x2
�0 2
m�x2
2Ż
h
�0 = Ke- .
przy czym mozna wyeliminować stałą K poprzez unormowanie(np. w Maple u) �0, co prowadzi do:
"
m� m�x2
4
2Ż
h
�0 = e-
ĄŻ
h
Potrzba jeszcze znalezć wartość własną dla �0, czyli energię odpowiadającą temu stanowi. Wstawiamy to do naszego
równania $�0 = E�0 i liczymy:
1 1
(�+�- + h�)�0 = E0�0 = �+�-�0 + h��0
Ż Ż
2 2
Nie zapominamy oczywiście o tym, że �-�0 = 0, co ostatecznie daje:
1 1
�+(0) + h��0 = E0�0 �! E0 = h�
Ż Ż
2 2
Mając jako punkt zaczepienia energię stanu podstawowego(n=0), możemy ustalić energię dowolnego, n-tego stanu(to
że En+1 - En = h� już wiemy - działamy na �0 operatorem kreacji kolejno podkręcając energię). Zatem:
Ż
( )
1
En = h� n + (1)
Ż
2
Zatem mamy już ustalone energie kolejnych stanów w oscylatorze harmonicznym i znormalizowaną funkcję falową
dla stanu podstawowego. Wiemy także, że kolejne funcje falowe o rosnących energiach są możliwe do uzyskania poprzez
kolejne działanie operatora kreacji na �n(zaczynając od znanego nam już �0). Pozostaje nam jeszcze kwestia normalizacji
tych stanów(gdyż nie ma gwarancji, że jeśli jakiś stan �n jest znormalizowany, to stan �+�n również taki będzie -
przemnożenie �+�n przez dowolną stałą da równnież funkcję spełniającą równanie oscylatora. Okazuje się, że poprawne
normowanie uzyskamy, jeśli przyjmiemy:
"
�+�n = �n+1 (n + 1)Ż
h�
"
�-�n = �n-1 nŻ
h�
Znaczy to, że operator kreacji lub anihilacji działając na unormowany stan �n daje stan o kwadracie modułu równym
nie 1, tylko takim, jaki jest oskreślony przez współczynniki w powyższych wzorach(czyli odpowiednio (n + 1)Ż i nŻ
h� h�)
Próba uzasadnienia np. pierwszej z tych relacji może np. wyglądać następująco: Trzeba policzyć ile wynosi iloczyn
skalarny:
+"
"
(�+�n, �+�n) = (�+�n)"�+�ndx
-"
Przy założeniu że (�n, �n) = 1 (unormowanie) liczymy:
+" +" ( ) ( )
"
" "
1 h d�n h d�n
Ż Ż
"
(�+�n)"�+�ndx = - im�x�n + im�x�n dx =
2m -i dx i dx
-" -"
+" ( )
" "
"
1 d�n d�n d�n " d�n
"
Ż Ż
h2 - hm�x(�n + �n ) + m2�2x2�n�n dx =
2m dx dx dx dx
-"
+" ( )
"
"
1 d�n d�n d
" "
Ż Ż
h2 - hm�x (�n�n) + m2�2x2�n�n dx
2m dx dx dx
-"
Następnie rozdzielamy na 3 osobne całki i 2 pierwsze całkujemy przez części:
" "
+" +" +"
"
"
Ż Ż Ż Ż
h2 " d�n d�n h2 d�n h2 d2�n h2 d2�n
" " "
dx = �n - �n dx = -�n dx

2m dx dx 2m dx 2m dx2 2m dx2
-" -"
-" -"
"
+" +"
" "

Ż Ż Ż
h� d h� h�
" " "
- x (�n�n)dx = - x�n�n + �n�ndx

2 dx 2 2
-" -"
-"
Pierwszy wyraz znika gdy x " .Co do drugiego nie mam już tyle pewności, ale jeśli pomimo będącego tam x będzie to
zbiegało do zera w nieskończoności do dalej już będzie ok.(Może wystarczy fakt, że �0 to gaussian, a kolejne � powstanie z
różniczkowania gaussianu, czyli gaussian z domnożonym jakimś wielomianem. W nieskończoności gaussian i tak zabije
każdy wielomian - trochę machanie rękami). Zatem po wyzerowaniu powyższych wyrazów w nieskończonościach mamy:
( )
+"
"
Ż
h2 d2�n 1 1
"
(�+�n, �+�n) = - + m�2x2�n + h��n �ndx
Ż
2m dx2 2 2
-"
Ale dwa pierwsze człony to lewa strona równania oscylatora harmonicznego:
Ż
h2 d2�n 1
- + m�2x2�n = En�n
2m dx2 2
Zatem ostatecznie:
+" ( )
"
1
"
(�+�n, �+�n) = En + h� �n�ndx =
Ż
2
-"
( ) +" ( ) +"
" "
1 1 1
" "
= En + h� �n�ndx = h�(n + ) + h� �n�ndx =
Ż Ż Ż
2 2 2
-" -"
= h�(n + 1)
Ż
(Używamy wzoru (1) na n-tą energię oscylatora i korzystamy z faktu, że �n jest unormowane). Zatem stała normująca
"
1
"
�+�n do ostatecznego stanu �n+1 wynosi . (Czyli zależność �+�n = �n+1 (n + 1)Ż Podobnie pewnie można
h�).
Ż
h�(n+1)
"
uzasadnić ten drugi wzór: �-�n = �n-1 nŻ
h�.
by wrobel :-)

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zagadnienia 10 13
03 Rozdzial 10 13
TIMECARD ZEST 31 10 13
I UK 10 13 1
IV WL zagadnienia 10 11
Klucz odpowiedzi 10 13
Zagadnienia do 13 rozdziału finanse publiczne Owsiak
2014 10 13 KURCZAK ZE SZPINAKIEM
TI 02 10 13 T B pl(1)

więcej podobnych podstron