MECHANIKA NIEBA
WYKA
AD 4
26.03.2008 r
Pole grawitacyjne i potencjał
Rozwinięcie potencjału w szereg
O  centrum grawitacji
P  element masy dm
z
Q
Potencjał w punkcie Q:
dm
U G
PQ
M
P
dm
Niech PO=r, QO=R wtedy:
0¸
2
2 2
y
PQ r R 2Rr cos
i wyrażenie na potencjał przyjmuje
postad:
x
1
2
2
1 r r
U G 1 2 cos dm
2
R R R
M
Pole grawitacyjne i potencjał
Rozwinięcie potencjału w szereg
Ponieważ R>>r więc możemy wyrażenie
z
podcałkowe rozwinąd wykorzystując
Q uogólnienie dwumianu Newtona:
1
1 3 5 35
2 3 4
2
1 X 1 X X X X Kð
2 8 16 128
P
gdzie:
dm
r r
X 2 cos
0¸
R R
y
x
Pole grawitacyjne i potencjał
Rozwinięcie potencjału w szereg
czyli:
z
1
2
r r
Q
1 2 cos
R R
1 r r
1 2 cos
2 R R
P
2 2
3 r r
dm
2 cos
8 R R
0¸
3 3
y
5 r r
2 cos
16 R R
4 4
35 r r
2 cos Kð
x
128 R R
Pole grawitacyjne i potencjał
Rozwinięcie potencjału w szereg
które po przekształceniu i
uporządkowaniu ze względu na kolejne
z
potęgi r/R daje:
Q
1
2
2
1 r r
U G 1 2 cos dm
2
R R R
M
P
2
1 r r
dm
G 1 P (cos ) P (cos ) Kð dm
1 2
2
R R R
M
0¸
y
gdzie Pn(cos¸) sÄ… wielomianami Legendre a
x
Pole grawitacyjne i potencjał
Wielomiany Legendre a
Wielomiany Legendre a stanowią zbiór funkcji ortogonalnych na odcinku (-1,1).
SÄ… zdefiniowane za pomocÄ… tzw. wzoru Rodriguesa:
n
n n
1 d 1 d
2 n 2 n
P (x ) (x 1) (1 x )
n
n n n n
2 n! dx 2 n! dx
Jak było pokazane wcześniej w. Legendre a mają funkcję tworzącą postaci:
n
P (x )s dla s 1,
n
1
n 0
2
1
1 2sx s
P (x ) dla s 1
n
n 1
n 0 s
Pole grawitacyjne i potencjał
Wielomiany Legendre a
kilka początkowych wielomianów:
P (x ) 1
0
P (x ) x
1
1
2
P (x ) (3x 1)
2
2
1
3
P (x ) (5 x 3x )
3
2
1
4 2
P (x ) (35 x 30 x 3)
4
8
Pole grawitacyjne i potencjał
Rozwinięcie potencjału w szereg
Wyznaczmy kilka kolejnych wyrazów
z
rozwinięcia potencjału:
Q
2
1 r r
U G 1 P (cos ) P (cos ) Kð dm
1 2
2
R R R
M
P
U U U U Kð
0 1 2 3
dm
0¸
y Pierwszy czynnik daje potencjał masy
punktowej:
1 M
U G dm G
0
R R
M
x
Pole grawitacyjne i potencjał
Åšrodek masy
n n n
m x m y m z
i i i i i i
i 1 i 1 i 1
z
x ; y ; z
c n c n c n
m m m
i i i
i 1 i 1 i 1
(xi,yi,zi)
n
rð
m r
i i
rð
i 1
ri
(xc,yc,zc)
r
c n
rc
m
i
i 1
0
y
rð rð
r r dV
rð
V
r
c
M
x
Pole grawitacyjne i potencjał
Rozwinięcie potencjału w szereg
Drugi czynnik:
1 r
z U G cos dm
1
R R
M
Q
(x0,y0,z0)
Iloczyn skalarny wektorów PO i PQ
daje:
(x,y,z) xx yy zz
P
0 0 0
r cos
dm
R
wtedy:
0¸
y
1
U G x xdm y ydm z zdm
1 0 0 0
3
R
Ponieważ początek układu
współrzędnych pokrywa się ze środkiem
x
masy, więc wszystkie trzy całki są
równe 0.
Pole grawitacyjne i potencjał
Tensor momentu bezwładności
Tensor momentu bezwładności wiąże moment pędu ciała z jego prędkością kątową:
rð rð
rð rð rð rð rð rð
L L r m v m r r Î
i i i i i i i i
i i i
pozwala liczyd moment bezwładności ciała w przypadku
obrotu wokół dowolnej osi.
I I I
xx xy xz
Î I I I
yx yy yz
I I I
zx zy zz
momenty główne:
2 2 2 2 2 2
I m y z ; I m z x ; I m x y
xx i i i yy i i i zz i i i
i i i
momenty dewiacyjne:
I I m x y ; I I m x z ; I I m y z
xy yx i i i xz zx i i i yz zy i i i
i i i
Pole grawitacyjne i potencjał
Rozwinięcie potencjału w szereg
Trzeci wyraz:
2
m r 1
2
U G 3 cos 1 dm
2
2
R R 2
M
2
m 3 xx yy zz 1
2 2 2
0 0 0
G dm x y z dm
3 2
R 2 R 2
Pamiętając, że:
2 2
A y z dm
2 2
B x z dm
2 2
C x y dm
są momentami bezwładności względem osi układu współrzędnych.
Pole grawitacyjne i potencjał
Rozwinięcie potencjału w szereg
oraz momenty odśrodkowe względem par płaszczyzn xy i zx, xy i yz oraz xz i zy:
D yzdm
E xzdm
F xydm
są równe 0 w przypadku gdy osie układu pokrywają się z osiami bezwładności,
możemy napisad:
2 2 2
m 1 3 Ax By Cz
0 0 0
U G (A B C )
2
3 2
R 2 2 R
Pole grawitacyjne i potencjał
Przypadek rzeczywisty: 4769 Castalia
Werner, R., Scheeres, D. 1997, CeMDA 65, 313
CeMDA  Celestial Mechanics and Dynamical
Astronomy
Pole grawitacyjne i potencjał
4769 Castalia
Rozmiary planetoidy:
rmax 800 m
rmin 300 m
rśr 543 m
gęstośd 2.1 g/cm3
masa 1.4x1012 kg
Model planetoidy składa się z
3300 elementów powierzchni
tworzących wielościan. Oznacza to, że
dokładnośd odtworzenia powierzchni (rozdzielczośd przestrzenna) sięga około 60m
Pole grawitacyjne i potencjał
4769 Castalia: model potencjału
Korzystając z prawa Gaussa można wyznaczyd
natężenie pola grawitacyjnego przez powierzchnię
planetoidy przy założeniu stałej gęstości.
Pole grawitacyjne i potencjał
Prawo Gaussa
Strumieo natężenia pola g przez
powierzchnię zamkniętą równy jest
całkowitej masie zamkniętej przez tę
powierzchnię pomnożonej przez -4ĄG
rð
rð
gdA 4 G dV
S V
Pole grawitacyjne i potencjał
4769 Castalia: model potencjału
Potencjały związane z miejscami  zszycia
wielokątów są liczone tak jak w przypadku pręta.
Pole grawitacyjne i potencjał
4769 Castalia: model potencjału
Pole grawitacyjne i potencjał
4769 Castalia: natężenie pola grawitacyjnego
Już w odległości rzędu 200 m
od powierzchni dobrym
przybliżeniem potencjału
jest potencjał pręta
(powierzchnie ekwipotencjalne
sÄ… elipsami)
Pole grawitacyjne i potencjał
4769 Castalia: porównanie z metodą szeregów
natężenie pola grawitacyjnego
potencjał
Pole grawitacyjne i potencjał
Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos
Bartczak, P., Breiter, S. 2003, CeMDA 86, 131
Pole grawitacyjne i potencjał
Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos
Potencjał od dwóch prostopadłych prętów:
gdzie:
oraz:
Gm
1 1
Gm
3 3
m m m
1 3
Pole grawitacyjne i potencjał
Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos
Potencjał elipsoidy postaci:
porównywany był z trzema modelami:
P2  rozwinięcie potencjału w szereg
DR  przybliżenie pojedynczym prętem
BB  dwa prostopadłe pręty
Pole grawitacyjne i potencjał
Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos
Fobos
Ida
Zagadnienie dwóch ciał
Zagadnienie dwóch ciał
Równania ruchu
Dwa punkty o masach m1 i m2 odległe o r
z
Działają na siebie siłą o wartości:
m m
1 2
m1(x1,y1,z1) F G
2
rð
r
r
Równania ruchu tych punktów:
m2(x2,y2,z2)
rð
r1 rð rð
rð
rð r r
1 2
&ðr&ð
r2
m Gm m
1 1 1 2
3
r
rð rð
rð r r
y
2 1
&ðr&ð
m Gm m
2 2 1 2
3
r
Otrzymujemy układ sześciu równao
różniczkowych drugiego rzędu (czyli układ
x
dwunastego rzędu).
Zagadnienie dwóch ciał
Równania ruchu
Na poczÄ…tek dodajemy stronami oba
z
równania:
rð rð
&ðr&ð &ðr&ð
m m 0
m1(x1,y1,z1)
1 1 2 2
rð
r
a następnie całkujemy dwukrotnie:
m2(x2,y2,z2)
rð
r1 rð
rð rð
rð
&ð &ð
m r m r A
1 1 2 2
r2
rð rð
rð rð
m r m r At B
1 1 2 2
y
i otrzymujemy pierwszych sześd całek i
sześd stałych całkowania.
x
Zagadnienie dwóch ciał
Równania ruchu
Z def. środka masy:
rð
m r
z
i i
rð
i
r
c
m
i
i
m1(x1,y1,z1)
rð
zastosowanego dla układu dwóch
r
punktów mamy:
m2(x2,y2,z2)
rð
rð rð
r1
rð m r m r
rð 1 1 2 2
r
r2 c
m m
1 2
y
Oznaczmy M=m1+m2, wtedy:
rð rð rð
M r m r m r
c 1 1 2 2
x
Zagadnienie dwóch ciał
Równania ruchu
Wtedy równanie:
rð rð
rð rð
z
m r m r At B
1 1 2 2
przyjmuje postad:
m1(x1,y1,z1)
rð
r
rð rð
rð
M r At B
c
m2(x2,y2,z2)
rð
r1
To równanie określa nam zachowanie
rð
r2
środka masy (barycentrum). Dla t=0
znajduje siÄ™ ono w punkcie B/M.
y
Po zróżniczkowaniu tego równania
otrzymujemy, że barycentrum porusza
się ze stałą prędkością równą A/M
x
Zagadnienie dwóch ciał
Równania ruchu względnego
rð rð
rð r r
1 2
&ðr&ð
m Gm m
1 1 1 2
3
r
z
rð rð
rð r r
2 1
&ðr&ð
m Gm m
2 2 1 2
3
r
m1(x1,y1,z1)
rð
r
wprowadz
my:
rð rð rð
rð rð rð
m2(x2,y2,z2)
&ðr&ð &ðr&ð &ðr&ð
rð
r r2 r1
2 1
r1
rð
r2
czyli:
rð rð
y
rð r r
&ðr&ð
Gm Gm
1 2
3 3
r r
x
Zagadnienie dwóch ciał
Równania ruchu względnego
oznaczmy:
z
G m m
1 2
wtedy r-nie ruchu względnego przyjmuje
m1(x1,y1,z1)
rð ostatecznie postad:
r
rð
rð r
&ðr&ð
0
m2(x2,y2,z2)
rð
3
r
r1
rð
r2
W ten sposób układ sześciu równao
drugiego rzędu został zredukowany do
y
układu trzech równao drugiego rzędu.
Jego rozwiÄ…zanie polega na znalezieniu
sześciu stałych.
x
Zagadnienie dwóch ciał
Całki pól
rð
r
&ðrð&ð
r 0
3
r
z
rð
Mnożymy obustronnie przez r (wektorowo)
i otrzymujemy:
m1(x1,y1,z1)
rð
rð rð
r
&ðr&ð
r 0
m2(x2,y2,z2)
rð po caÅ‚kowaniu:
r1
rð
rð rð rð
&ð
r2
r r c
rð
y
c - moment pędu na jednostkę masy ,
(stała ruchu)
x
Zagadnienie dwóch ciał
Całki pól
Rozpatrzmy dwa przypadki:
z
rð
1. c 0
m1(x1,y1,z1)
rð Ponieważ r musi byd prostopadÅ‚e do c wiÄ™c
r
ruch odbywa się w płaszczyz
nie
prostopadłej do c.
m2(x2,y2,z2)
rð
r1
rð
r2
rð
c 0
2.
rð rð rð
y
d r c r
Ponieważ:
0
3
dt r r
rð
r
const
więc mamy:
x
r
co oznacza, że ruch odbywa się po prostej
przechodzÄ…cej przez centrum grawitacji
Zagadnienie dwóch ciał
II prawo Keplera
Ruch odbywa się w płaszczyz
nie prostopadłej
do wektora momentu pędu.
z
Jeśli wybierzemy płaszczyznę xy jako
pokrywającą się z płaszczyzną ruchu i
m1(x1,y1,z1)
rð
wprowadzimy współrzędne biegunowe to:
r
rð
r r cos , r sin ,0
m2(x2,y2,z2)
rð
rð
r1
c 0,0, c
rð
r2
wtedy:
y
rð rð rð
2
&ð &ð
c c r r r
x
Zagadnienie dwóch ciał
II prawo Keplera
Powierzchnia zakreślona przez wektor
wodzÄ…cy:
1 1
2
A r r r sin r
2 2
t=´t stÄ…d:
r+´r
1
m1 2
&ð &ð
A r
2
´¸
´A
Pamiętając, że:
r t=0
2
&ð
c r
m2
otrzymujemy:
1
&ð
A c const
2
czyli drugie prawo Keplera
Zagadnienie dwóch ciał
I prawo Keplera
Rozpatrzmy cząstkę o masie m poddanej działaniu siły centralnej f(r). Siła jest
skierowana od cząstki do początku układu współrzędnych. Równanie ruchu
czÄ…stki:
rð rð
rð r rð r
&ðr&ð
m&ðr&ð mf r f r
r r
rð
&ð
mnożymy je obustronnie przez r (skalarnie) i otrzymujemy:
2
v
rð rð f r rð rð
&ðr&ð &ð &ð d f r dr
&ð
r r r f r r
2
r
W przypadku oddziaływania grawitacyjnego mamy:
f r
2
r
Całkujemy:
1
2
v h
2 r
Zagadnienie dwóch ciał
I prawo Keplera
Ostatecznie otrzymujemy tzw. całkę sił żywych:
1
2
v h
2 r
która wyraża zachowanie energii w układzie. h jest energią całkowitą.
Przechodząc do współrzędnych biegunowych otrzymujemy:
2
2
&ð
1
1 c
c r
2 2 2
2
&ð
&ð
r r h
&ð
r h
2
2 r
2 2r r
czynnik zwiÄ…zany z energia potencjalna
energia kinetyczna
działaniem siły
odśrodkowej
Zagadnienie dwóch ciał
I prawo Keplera
Wprowadz
my tzw. potencjał efektywny:
2
c
U
eff
2
2r r
Potencjał efektywny w łatwy sposób tłumaczy
kształty orbit:
kołowa  minimum energii planety
eliptyczna  planeta zmienia odległośd między
dwoma skrajnymi wartościami
paraboliczna  zerowa energia (ciało nadlatuje
z nieskooczonosci)
hiperboliczna energia większa od 0
r
E