10. Całka oznaczona
10.1. Całka oznaczona
Definicja 10.1. Niech [a, b] ą" R będzie przedziałem. Wówczas
P : a = x0 < x1 < . . . < xn = b
nazywamy podziałem przedziału [a, b].
LiczbÄ™
df
d(P ) = max (xi - xi-1)
i=1,...n
nazywamy średnicą podziału P . Wprowadzamy oznaczenie
df
"xi = xi - xi-1 dla i = 1, . . . , n.
Ciąg podziałów {Pm}m"N nazywamy normalnym, jeśli
lim d(Pm) = 0.
m+"
Definicja 10.2. Niech f : [a, b] - R będzie funkcją oraz niech
P : a = x0 < x1 < . . . < xn = b
będzie podziałem przedziału [a, b].
LiczbÄ™
n

df
S(f, P ) = S(f, P, x1, . . . , xn) = "xi · f(xi) dla xi " [xi-1, xi]
i=1
nazywamy sumą całkową funkcji f dla podziału P wyznaczoną przez punkty pośrednie
x1, . . . , xn.
Definicja 10.3. Niech f : [a, b] - R będzie funkcją ograniczoną (to znaczy "M > 0 "x "


[a, b] : f(x) M).

Funkcję f nazywamy całkowalną w sensie Riemanna w przedziale [a, b], jeśli dla dowol-
nego normalnego ciągu {Pm}m"N podziałów przedziału [a, b], istnieje granica
lim S(f, Pm, xm, . . . , xm )
1 nm
m+"
niezależna od wyboru punktów pośrednich. Granicę tę nazywamy całką Riemanna funkcji f
w przedziale [a, b] i oznaczamy
b b
f(x) dx lub (R) f(x) dx.
a a
Definicja 10.4. Niech f : [a, b] - R będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Przyj-
muje się następujące oznaczenia:
a b
df
f(x) dx = - f(x) dx,
a
b
a
df
f(x) dx = 0.
a
38
Uwaga 10.1. Wprost z definicji całki Riemanna wynika, że dla funkcji nieujemnej całkę
b
f(x) dx możemy interpretować jako pole pod wykresem funkcji f na przedziale [a, b].
a
y f x
P= ab f x x
a b
Twierdzenie 10.1 (Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna). Niech f : [a, b] - R
będzie funkcją ograniczoną.
1. Jeśli f jest ciągła, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
2. Jeśli f ma skończoną ilość punktów nieciągłości, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
3. Jeśli f jest monotoniczna, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
Twierdzenie 10.2 (Własności całki Riemanna). Jeśli f, g : [a, b] - R są funkcjami całko-
walnymi w sensie Riemanna, a < b, k " R, c " (a, b), to:
f
1. Liniowość caÅ‚ki. Funkcje kf, f Ä… g, f · g, (o ile g(x) = 0 dla x " [a, b]) sÄ… caÅ‚kowalne

g
w sensie Riemanna oraz
b b
kf(x) dx = k f(x) dx
a a
b b b

f(x) Ä… g(x) dx = f(x) dx Ä… g(x) dx;
a a a
2. funkcja |f| jest całkowalna w sensie Riemanna oraz

b b


f(x) dx f(x) dx;


a a
3.
b c b
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
a a c
4.
b
k dx = k(b - a),
a
39
w szczególności
b b
0 dx = 0, 1 dx = b - a;
a a
5. jeśli f 0 (to znaczy " x " [a, b] f(x) 0), to
b
f(x) dx 0;
a
b
jeśli f > 0, to f(x) dx > 0;
a
6. Monotoniczność całki. Jeśli f g, to
b b
f(x) dx g(x) dx;
a a
b b
jeśli f < g, to f(x) dx < g(x) dx;
a a
Twierdzenie 10.3 (Twierdzenie całkowe o wartości średniej). Jeśli f : [a, b] - R jest
funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz "m, M " R "x " [a, b] : m f(x) M, to
b
"µ " [m, M] : f(x) dx = µ(b - a).
a
b
1
df
Uwaga 10.2. Wartość µ = f(x) dx nazywamy wartoÅ›ciÄ… Å›redniÄ… funkcji f na prze-
b - a
a
dziale [a, b].
Twierdzenie 10.4 (Własności całki jako funkcji górnej granicy całkowania). Jeśli f : [a, b] -
R jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz
x
df
F (x) = f(t) dt dla x " [a, b],
a
to:
1. F jest ciągła w [a, b];
2. jeśli f jest ciągła w punkcie x0 " (a, b), to funkcja F jest różniczkowalna w x0 oraz

F (x0) = f(x0);
3. jeśli f jest funkcją ciągłą, to F jest funkcją pierwotną dla f.

Wniosek 10.1. Jeśli f " C [a, b]; R , to

x
d

f(t) dt = f(x0) " x0 " (a, b).

dx
x=x0
a
40
Twierdzenie 10.5 (Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego; Twier-
dzenie Newtona-Leibniza). Jeśli f : [a, b] - R jest funkcją ciągłą, F jest pierwotną funkcji
f, to
b
f(x)dx = F (b) - F (a).
a
Oznaczenie: F |b = F (b) - F (a).
a
b


Wniosek 10.2. Jeśli F " C1 [a, b]; R , to F (x) dx = F |b.
a
a

Twierdzenie 10.6 (Całkowanie przez części). Jeśli u, v " C1 [a, b]; R , to
b b
uv dx = uv|b - u v dx.
a
a a
Ä„
2
Przykład 10.1. Obliczyć x sin x dx.
0
Liczymy
Ä„

2

u(x) = x v (x) = sin x

x sin x dx =

u (x) = 1 v(x) = - cos x
0
Ä„
Ä„ Ä„
2
2 2
= -x cos x + cos x dx = 0 + sin x = 1.


0 0
0
Twierdzenie 10.7 (Całkowanie przez podstawienie; Zmiana zmiennych w całce). Jeśli
f : [a, b] - R jest funkcją ciągłą (a zatem w szczególności całkowalną w sensie Riemanna),
P Ä…" R jest przedziaÅ‚em o koÅ„cach Ä… i ² (to znaczy P = [Ä…, ²] lub P = [², Ä…]), Õ: P - [a, b]
jest funkcjÄ… klasy C1, Õ(Ä…) = a, Õ(²) = b, to
b ²

f(x) dx = f Õ(t) · Õ (t) dt.
a Ä…
1
ln(1 + x)
Przykład 10.2. Obliczyć całkę dx.
1 + x2
0
Zastosujemy dość nietypowe podstawienie: x = Õ(t) = tg t.


1
x = tg t

ln(1 + x)

I = dx = 1

1 + x2 dx = dt

0
cos2 t
Ä„ Ä„
4 4
ln(1 + tg t) 1 ln(1 + tg t)
= · dt = dt
2
1 + tg t cos2 t cos2 t + sin2 t
0 0
Ä„
4
= ln(1 + tg t) dt.
0
41
Przekształcając wyrażenie trygonometryczne 1 + tg t, korzystając ze wzoru:
Ä… + ² Ä… - ²
sin Ä… + sin ² = 2 sin cos ,
2 2
otrzymujemy
sin t sin t + cos t sin t + sin(Ä„ - t)
2
1 + tg t = 1 + = =
cos t cos t cos t
"
Ä„ Ä„ Ä„
2 sin cos(t - ) 2 cos(t - )
4 4 4
= = .
cos t cos t
Wracając do naszej całki, mamy
Ä„
"
4
Ä„
2 cos(t - )
4
I = ln dt
cos t
0
Ä„ Ä„ Ä„
4 4 4
"
Ä„
= ln 2 dt + ln cos(t - ) dt - ln cos t dt .
4
0 0 0

=A =B =C
Policzmy każdą z całek A, B i C osobno:
Ä„
Ä„
4
4
" " "
Ä„ Ä„
A = ln 2 dt = ln 2 · x = ln 2 = ln 2;


4 8
0
0
Ä„

4
Ä„
Ä„
t = - s

4
B = ln cos(t - ) dt =

dt = ds
4
0
Ä„
0 4
= (-1) ln cos(-s) ds = ln cos s ds = C.
Ä„
0
4
Ponieważ B = C, więc niepotrzebna jest nam znajomość całek B i C (wystarczy nam wiedza,
że one istnieją), stąd
Ä„ ln 2
I = A + B - C = A = .
8
10.2. Całki niewłaściwe
Uwaga 10.3. Zdefiniowana całka Riemanna mogła być określona tylko dla funkcji ograniczo-
nej na przedziale ograniczonym.
Rozważa się także całki niewłaściwe (gdy obszar jest nieograniczony lub gdy funkcja jest
nieograniczona).
Definicja 10.5 (Całki niewłaściwe).
1. Niech -" a < b < +" oraz niech f : (a, b] - R będzie funkcją. Przez całkę
niewłaściwą funkcji f na przedziale (a, b] rozumiemy
b b
df
f(x) dx = lim f(x) dx,
a a+
a
a
o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.
42
2. Niech -" < a < b +" oraz niech f : [a, b) - R będzie funkcją. Przez całkę
niewłaściwą funkcji f na przedziale [a, b) rozumiemy
b b
df
f(x) dx = lim f(x) dx,
b b-
a a
o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.
3. Niech -" a < b +" oraz niech f : (a, b) - R będzie funkcją. Przez całkę
niewłaściwą funkcji f na przedziale (a, b) rozumiemy
b b
df
f(x) dx = lim f(x) dx,
a a+
a
b b- a
o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.
b
Definicja 10.6. Gdy całka niewłaściwa f(x) dx istnieje, to mówimy, że całka jest zbieżna
a
(w przeciwnym razie mówimy, że całka jest rozbieżna).
1
1
Przykład 10.3. Pokazać, że całka dx jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy ą < 1.
xÄ…
0
Ponieważ
Å„Å‚
1

òÅ‚
1
x1-Ä… + c dla Ä… = 1,

dx =
1 - Ä…
ół
xÄ…
ln x + c dla Ä… = 1,
więc rozważmy osobno dwa przypadki.
Przypadek 1. Ä… = 1.


1
1 1
1 1 1
dx = lim dx = lim x1-Ä…


xÄ… a0+ xÄ… a0+ - Ä…
1
a
a
0
Å„Å‚
1
òÅ‚
dla Ä… < 1,
1
= lim (1 - a1-Ä…) = - Ä…
1
ół
a0+ 1-Ä…
+" dla Ä… > 1.
Przypadek 2. Ä… = 1.
1
1 1

1 1
dx = lim dx = lim ln x = lim (0 - ln a) = +".


x a0+ x a0+ a0+
a
a
0
Wykazaliśmy zatem, że całka jest zbieżna wtedy i tylko wtedy, gdy ą < 1.
Uwaga 10.4. W rachunkach będziemy pisać krótko
+" b


F (x) zamiast lim F (x)


b +"
a a
oraz
b b

F (x) zamiast lim F (x) .


a -"
-" a
43
10.3. Krzywe i bryły obrotowe
Twierdzenie 10.8. Jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji y = f(x) dla x " [a, b], to
długość krzywej K wyraża się wzorem
b

l(K) = 1 + f (t)2 dt.
a
Twierdzenie 10.9. Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej K : y = f(x) dla x " [a, b]
wokół osi Ox wyraża się wzorem:
b

S = 2Ä„ f(x) 1 + f (x)2 dx.
a
Twierdzenie 10.10. Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru leżącego pod krzywą K : y =
f(x) dla x " [a, b] wokół osi Ox wyraża się wzorem:
b
Vx = Ä„ f(x)2 dx.
a
Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru leżącego pod krzywą K : y = f(x) dla x " [a, b]
wokół osi Oy wyraża się wzorem:
b
Vy = 2Ä„ x f(x) dx.
a
11. Powierzchnie stopnia drugiego
x2 y2 z2
1. Elipsoida + + = 1
a2 b2 c2
x2 y2 z2
2. Hiperboloida jednopowłokowa + - = 1
a2 b2 c2
x2 y2 z2
3. Hiperboloida dwupowłokowa + + = -1
a2 b2 c2
x2 y2
4. Paraboloida eliptyczna + = cz, c = 0

a2 b2
x2 y2
5. Paraboloida hiperboliczna (powierzchnia siodłowa) - = cz, c = 0

a2 b2
x2 y2 z2
6. Stożek eliptyczny + - = 0
a2 b2 c2
7. Walec paraboliczny y2 = 2px
8. Walec kołowy x2 + y2 = r2
44