1. Rola i miejsce fizyki wśród innych nauk. Fizyka a inne nauki przyrodnicze i technika; fizyka a Z.z.e wynika z jednorodności czasu. Czas wykazuje symetrię jednorodności. Upływ czasu w Maksymalną mo\
liwą prędkością w przyrodzie jest prędkość światła w pró\
ni, której wartość jest stała
v v
t1 - x1 t2 - x2
nauki humanistyczne. Podać na czym polega metoda badawcza fizyki i jej związek z określonym układzie inercjalnym nie zale\
y od poło\
enia chwili bie\
ącej na osi czasu. i wynosi c. Prędkość ta jest uniwersalną stała fizyczną.
' c2 ' c2
matematyką. Transformacje Lorentza: (występują w poprzednim pytaniu) t1 = t2 =
v2 v2
Typ oddziaływania Względne natę\
enie Zasięg
1 - 1 -
Fizyka zajmuje znaczące miejsce wśród innych nauk przyrodniczych. Podstawowe prawa
Jądrowe (silne) 1 krótki (ok. 10^(-15)m) c2 c2
rządzące mikromaterią pozwalają na wyjaśnienie zjawisk występujących zarówno w świecie wielkości
Po odjęciu stronami tych równości otrzymamy:
Elektromagnetyczne ok. 10^(-2) długi (")
mikroskopowych jak i w skali kosmicznej. Te same prawa decydują o budowie atomów i cząsteczek 5. Podać wzór relatywistyczny na składanie prędkości. Porównać ze wzorem klasycznym.
Słabe ok. 10^(-5) krótki (ok. 10^(-15)m)
chemicznych, jak i o budowie i działaniu organizmów \
ywych, oraz o budowie i strukturze gwiazd i Otrzymane wartości zestawić na wykresie.
v
Grawitacyjne ok. 10^(-38) długi (")
galaktyk. Dlatego nauki szczegółowe zajmujące się tymi zagadnieniami, takie jak: astronomia, "t - (x2 - x1)
c2
chemia, biologia a nawet medycyna mogą mieć swoje korzenie w fizyce. Klasyczne dodawanie prędkości:
"t0 =
Jaki jest związek fizyki z techniką? Technika opierając się na zrozumieniu zjawisk 3. Względność ruchu, układy inercjalne i nieinercjalne. W jaki sposób mo\
na stwierdzić czy u = u + v
v2
1-
fizycznych  przyczyn i skutków  zmienia otaczający świat człowieka w taki sposób, aby uczynić go znajdujemy się w układzie inercjalnym, czy nieinercjalnym? Transformacje Galileusza, a gdzie:
c2
stosowniejszym do \
ycia w nim, aby zwiększyć wygodę i komfort. Zatem technika stosuje prawa transformacje Lorentza. u  prędkość w układzie U
ale poniewa\
x2 - x1 = v"t , wobec tego
przyrody w praktycznej działalności. W większości wypadków technika opiera się na fizyce i bez u  w układzie U
znajomości fizyki nie mogłaby w ogóle istnieć we współczesnym kształcie. Bez znajomości fizyki nie Ruch jest względny. Jego postrzeganie zale\
y od układu odniesienia. (dla ludzi na Ziemi to Słońce (jeden układ porusza się względem drugiego)
v2
mogły by istnieć takie gałęzie techniki współczesnej, jak elektrotechnika, elektronika, teletechnika, porusza się na niebie, a nie Ziemia porusza się wokół Słońca; dla przechodnia tramwaj porusza się "t0 = "t 1-
c2
lotnictwo, kosmonautyka, nie mówiąc ju\
o technice laserowej, czy energetyce jądrowej. ruchem jednostajnym z szybkością v, a dla pasa\
era tego\
tramwaju, tramwaj pozostaje w spoczynku, Relatywistyczne dodawanie prędkości:
Nie ulega wątpliwości, \
e nowe odkrycia fizyki, prędzej czy póz
niej, zostanÄ… wdro\
one do techniki. tymczasem dla pasa\
era jadącego autem z przeciwka z szybkością v, tramwaj porusza się z szybkością (por. transformacje Lorentza) czyli "t0 < "t , zatem czas trwania jakiegoś zjawiska zachodzącego w pewnym punkcie jest
Tak było za czasów Newtona, Kelvina, Maxwella, i jest obecnie. 2v).
najkrótszy w układzie, względem którego ten punkt spoczywa. Jest to właśnie relatywistyczny efekt
Fizyka ma tak\
e słaby związek z naukami humanistycznymi, głównie z filozofią. Poprzez Układ inercjalny  układ który spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym (bez przyspieszenia) 
wydłu\
enia czasu, tzw. dylatacja czasu. Rysunek przedstawia konstrukcjÄ™ graficznÄ… unaoczniajÄ…cÄ…
badania fizyka tworzy nowe teorie na temat miejsca człowieka we wszechświecie a tak\
e początku spełniona jest I zasada dynamiki Newtona.
poglÄ…dowo dylatacjÄ™ czasu.
ludzkości. Fizyka to tak\
e teorie futurologiczne. Układ nieinercjalny  układ, który porusza się z przyspieszeniem  I zasada dynamiki Newtona jest
Fizyka jest najbardziej ścisłą spośród wszystkich nauk przyrodniczych. Ścisłość tę zawdzięcza niespełniona  działają siły bezwładności.
Względność pomiarów przestrzennych
swej metodzie badawczej opartej w du\
ej mierze na matematyce, która słu\
y jej do opisu zjawisk. Sprawdzając czy działają siły bezwładności mo\
na przekonać się o inercjalności, bądz
nie, układu w
Podstawową cechą opisywanych przez fizykę zjawisk musi być ich weryfikowalność doświadczalna. którym się znajdujemy (na przykład odchylenie poziomu wody w butelce trzymanej w skręcającym,
Względność wymiarów przestrzennych ciała mierzonego w ró\
nych układach odniesienia jest
Taki sposób podejścia warunkuje logikę opartą na matematyce. czy hamującym trolejbusie).
konsekwencjÄ… transformacji Lorentza. Rozwa\
my pręt spoczywający w układzie U i mający w tym
/je\
eli prędkości mają ró\
ne zwroty (niejednakowe, a nie
Transformacje Galileusza: x =x-vt, y =y, z =z, t =t.
układzie długość l0 , którą w łatwy sposób mo\
emy zmierzyć, za pomocą linijki lub określając
jednakowe (niezły \
arcik) ) w miejsce minusów we
2. Podać znane, fundamentalne zasady zachowania Jaki jest związek tych zasad z podstawowymi Transformacje Lorentza:
wzorze nale\
y wstawić plusy/ współrzędne końców.
symetriami czasu i przestrzeni, twierdzenie Noethera. Wymienić cztery oddziaływania vx
t - Zastanówmy się teraz, jak zmierzyć długość tego samego pręta, gdy jest on w ruchu względem innego
podstawowe występujące w przyrodzie oraz podać ich względne natę\
enie i zakres.
x - vt
c2
x2 = , y2 = y , z2 = z , t2 = Wzór relatywistyczny jest ogólniejszy od wzoru układu odniesienia, powiedzmy, względem układu U. Oczywiście, nale\
y wyznaczyć współrzędne
v2 v2 klasycznego. Dla małych w porównaniu z prędkością jego końców w układzie U. Jednak\
e, współrzędne te, dla ruchomego pręta, ciągle się zmieniają. Jasną
1. Zasada zachowania pędu:
1- 1-
2 światła prędkości oba wzory dają zbli\
one wyniki. jest rzeczÄ…, \
e współrzędne końców pręta powinny być wyznaczone jednocześnie. W innym
Całkowity pęd układu odosobnionego jest stały i nie ulega zmianie podczas dowolnych
c2
c przypadku, pomiar współrzędnych chwilowych poło\
eń końców w ró\
nym czasie prowadziłby do
procesów zachodzących układzie.
6. Względność pomiarów przestrzeni i czasu. Wyprowadzić wzór na dylatację czasu. dowolności i moglibyśmy wtedy otrzymać długość pręta dowolną, jaką tylko byśmy sobie za\
yczyli.
p = mv
Wszystkie wzory relatywistyczne, w tym transformacje Lorentza, przy ilorazie v2/c2 dÄ…\
ącym do zera, Przeprowadzić dyskusję wzorów oraz omówić ich znaczenie. Zatem nale\
y przyjąć, \
e przez długość pręta ruchomego będziemy rozumieć odległość między
współrzędnymi jego końców wyznaczonych jednocześnie.
przechodzÄ… we wzory klasyczne, co oznacza, \
e dla niewielkich prędkości zdecydowanie
Układ odosobniony to taki na który nie działają \
adne siły lub są one pomijalnie małe. Powiedzmy, \
e pręt jest umieszczony na osi x' układu U ' w ten sposób, \
e jeden koniec znajduje siÄ™
 wystarczają wzory klasyczne, w tym transformacje Galileusza. Kwadrat w liczniku i mianowniku Względność pomiarów czasu
Z.z.p. wynika z fundamentalnej symetrii  translacji  przestrzeni.
potęgują dą\
enie do zera tego\
ilorazu dla małych prędkości. Wtedy współczynnik Lorentza dą\
y do
w punkcie x'= 0 , natomiast drugi koniec w punkcie x'= l0 . Zatem l0 jest  długością własną pręta,
Przestrzeń jest symetryczna ze względu na translację  oznacza to \
e jest taka sama w
jedności, przez co cały wzór relatywistyczny dą\
y do wzoru klasycznego. Niech w punkcie x układu U znajduje się
czyli długością pręta spoczywającego.
określonym miejscu jak i w miejscu przesuniętym o dowolny odcinek.
Niepoprawność transformacji Galileusza dla du\
ych prędkości wynika z tego, \
e przyjÄ…Å‚ on, \
e czas zegar, którzy mierzy przebieg czasu jakiegoś
Poło\
enie końców pręta w układzie U wyznaczymy w jednakowym momencie czasu t=0. Wtedy
upływa jednakowo w ró\
nych układach, tymczasem czas i przestrzeń są wzajemnie zale\
ne od siebie. zjawiska. Oznaczmy czas trwania tego zjawiska
początek pręta znajdzie się w punkcie x=0, zaś jego koniec w punkcie x=l ; l jest teraz długością pręta
2. Zasada zachowania momentu pędu.
Niepoprawność wzorów klasycznych mo\
na łatwo wykazać na przykład dla formuły składania
mierzony przez zegar w układzie U przez "t0 i
ruchomego. Wstawiając t=0 do transformacji współrzędnej x , otrzymujemy
prędkości (wynikającej z transformacji Galileusza):
mijany zegar w układzie U przez "t . Zatem
Całkowity moment pędu układu odosobnionego jest stały i nie ulega zmianie podczas
klasycznie:
' ' x'= l0
dowolnych procesów zachodzących w układzie "t0 = t2 - t1 . Zegar ruchomy w chwili
u = u + v
tymczasem: x = l
początkowej t1 znajdował się w poło\
eniu x1,
c + v c
L = IÉ
zaś w chwili końcowej t2 - w poło\
eniu x2 . Z
transformacji Lorentza mamy:
4. Postulaty Einsteina w szczególnej teorii względności i transformacje Lorentza.
Z.z.m.p. wynika z fundamentalnej symetrii  izotropowości  przestrzeni. (przestrzeń jest taka
Szczególna teoria względności opiera się na dwóch postulatach. Treść pierwszego jest następująca:
sama we wszystkich kierunkach)
Wszelkie układy inercjalne są równowa\
ne i \
adnego z nich nie da się wyró\
nić za pomocą
jakiegokolwiek zjawiska (mechanicznego, elektromagnetycznego itd.) innymi słowy: nie mo\
na
3. Zasada zachowania energii.
stwierdzić bezwzględności spoczynku jakiegokolwiek układu. Drugim postulatem jest stwierdzenie, \
e:
W układzie odosobnionym suma wszystkich rodzajów energii jest stała.
E= const.
2 3 4
Aby pozostała słuszna zasada zachowania pędu, masa ciała musi zale\
eć od prędkości wg wzoru
x - vt x dx0 md(ct) mcdt 11. Układy prostokątne i ukośnokątne w czasoprzestrzeni rzeczywistej. Interwał
x'= x'= Czwartą współrzędną  czasową, tworzymy analogicznie: p0 = m = = , ale
m0 czasoprzestrzenny. Na czym polega pseudoeuklidesowość czasoprzestrzeni rzeczywistej.
m = , gdzie m0 oznacza masÄ™ spoczynkowÄ… ciaÅ‚a, czyli masÄ™ ciaÅ‚a nieruchomego. dÄ dÄ dÄ
v2 v2
2 Hiperbola niezmiennicza.
1- 1-
ëÅ‚ v öÅ‚ dt 1
c2 c2 1- ìÅ‚ ÷Å‚ korzystajÄ…c z wzoru = (wyprowadzany przy okazji pÄ™du relatywistycznego)
c
íÅ‚ Å‚Å‚ dÄ UkÅ‚ady prostokÄ…tne i ukoÅ›nokÄ…tne zostaÅ‚y omówione przy okazji opracowywania pytania 13. PojÄ™cie
v2
1-
Zachodzi związek pomiędzy energią, pędem i masą: E2 - p2c2 = m2c4 hiperboli niezmienniczej równie\
zostało wspomniane w pytaniu szóstym, natomiast interwał
c2
v2 czasoprzestrzenny był wyjaśnione w pytaniu 10.
l = l0 1 - mc
Pseudoeuklidesowość czasoprzestrzeni rzeczywistej wynika z braku zachowania prostokątności osi
otrzymujemy ostatecznie: p0 = .
c2 Deficyt masy (niedobór masy, defekt masy) - ró\
nica "m między sumą mas nukleonów wchodzących
tej\
e czasoprzestrzeni. W geometrii euklidesowej miejscem geometrycznym punktów jednakowo
v2
w skład jądra atomowego, a masą jądra. Iloczyn niedoboru masy i kwadratu prędkości światła w
Jest to znany wzór na skrócenie Lorentza.
1-
odległych od początku układu współrzędnych na płaszczyz
nie (x, y) jest koło o równaniu x2 + y2 = r2.
pró\
ni jest równy energii wiązania jądra, "E.
c2
Widzimy więc, \
e długość l0 obserwator w układzie U oceni jako krótszą. Ogólnie, przy tej zasadzie
W przypadku płaszczyzny czasoprzestrzeni (x, ct) miejscem geometrycznym zdarzeń mających
1
pomiaru długości, mo\
emy powiedzieć, \
e podłu\
ne liniowe rozmiary ciała są największe w tym jednakowy interwał od początku układu współrzędnych jest hiperbola, która jest określona równaniem
"E = "mc2 Zatem zachodzi relacja czwartej współrzędnej (czasowej) pędu z energią!: p0 = E
układzie, względem którego ciało spoczywa. x2  (ct)2 = ą s2. Jest to właśnie hiperbola niezmiennicza.
c
gdzie:
Tworząc, na wzór interwału wyra\
enie odpowiadające kwadratowi długości czteropędu
"m = Nmn + Zmp - mE(Z,N)
7. Dynamika relatywistyczna. Wzory relatywistyczne na pęd i na siłę, energię całkowitą i 2 2 2 2
p0 - p1 - p2 - p3 = P2 , gdzie p1=px, p2=py, p3=pzx, a p0=E/c otrzymamy:
gdzie:
kinetyczną. Porównać ze wzorami klasycznymi. 12. Co to jest  zdarzenie i  linia świata ? Przedstawić na wykresie czasoprzestrzennym ruch
2
Wielkości fizyczne Wzór klasyczny Wzór relatywistyczny E jednostajny punktu materialnego z dwoma ró\
nymi prędkościami oraz linię świata dla światła.
2 2
" mp=1,00727 - masa protonu - px - p2 - pz = P2

Pęd
c2 y

m v " mn=1,00866 - masa neutronu
p = mv
2 Zdarzenie jest to punkt w czasoprzestrzeni. Linia świata jest to linia przedstawiona na wykresie
p =
Porównując wzór z wy\
ej wyprowadzonÄ… relacjÄ… E = m2c4 + p2c2 otrzymujemy wniosek:
" mE - masa jÄ…dra atomowego
czasoprzestrzennym  wykresie będącym przekrojem czasoprzestrzeni płaszczyzną (x, ct). (dla mniej
v2
" c = 3·108 m/s - prÄ™dkość Å›wiatÅ‚a w pró\
ni P2 = m2c2
1-
wtajemniczonych czwartym wymiarem). Ruch jednostajny jest na takim wykresie reprezentowany
c2 Zatem trzy wielkości: energia, pęd i masa są związane ze sobą wspólną relacją wektorową!!!
liniÄ… prostÄ…, która bÄ™dzie nachylona pod kÄ…tem wiÄ™kszym od 45°. Linia nachylona pod kÄ…tem 45°
Siła F = ma Masa nie jest addytywna, tzn. masa ciała nie jest równa sumie mas jego części składowych!
ëÅ‚ öÅ‚ reprezentuje ruch z prÄ™dkoÅ›ciÄ… Å›wiatÅ‚a, niemo\
liwą do osiągnięcia przez ciało posiadające niezerową
ìÅ‚ ÷Å‚
masę, dlatego dla ciał posiadających masę linia nachylona jest pod kątem większym, a nigdy równym
d d ìÅ‚ mv ÷Å‚ 10. Czterowymiarowa czasoprzestrzeÅ„ Minkowskiego. Interpretacja czterowymiarowa
9. Relatywistyczny związek między pędem i energią. Podać interpretację geometryczną tego
F = p , F = bÄ…dz
mniejszym od 45°.
ìÅ‚ ÷Å‚
transformacji Lorentz'a.
dt dt związku w oparciu o pojęcie czteroWEKTORA. Interpretacja geometryczna energii
v2 ct
ìÅ‚ - ÷Å‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚ spoczynkowej, energii caÅ‚kowitej, pÄ™du oraz masy.
(ruch x = v1t x = ct (ruch z prędkością światła)
c2
íÅ‚ Å‚Å‚
W równaniach transformacyjnych Galileusza czas wchodził na innych prawach ni\
trzy
jedno- x = v2t
Energia całkowita wymiary przestrzenne. W transformacjach Lorentza, czas i przestrzeń występują razem. dzięki temu
mc2 Aby uzyskać relatywistyczny związek między pędem a energią przekształca się wzór relatywistyczny
stajny) v1 < v2
E =
teoria względności w miejsce przestrzeni i czasu posługuje się jednolitą czterowymiarową
na energię całkowitą:
v2
2 czasoprzestrzenią. Poszczególne punkty w tej przestrzeni określone są przez cztery współrzędne: trzy
1- mc2 E m2c2 m2 (c2 - v2 + v2 ) m2 (c2 - v2 ) m2v2 (mv)2
c2 E = = = = + = m2c2 + przestrzenne i jednÄ… czasowÄ…. Punkty te nazywajÄ… siÄ™ zdarzeniami.
v2 c2 v2 v2 v2 v2 v2 Czasoprzestrzeń jest uogólnieniem trójwymiarowej zwykłej przestrzeni x, y, z. Kwadrat
Energia kinetyczna
mv2 mc2 1- 1- 1- 1- 1- 1-
"odległości" między dwoma zdarzeniami dany jest wyra\
eniem:
Ek = Ek = - mc2
c2 c2 c2 c2 c2 c2 x
2
v2
zatem ostatecznie:
1 -
"s2="x2+" y2+"z 2-(c"t)2
2
c2 Inne mo\
liwe linie świata:
E = m2c4 + p2c2
Pierwiastek z powy\
szego wyra\
enia wziętego ze znakiem przeciwnym nazywa się interwałem. Jego
ct
8. Energia kinetyczna, energia całkowita i energia spoczynkowa ciała. Interpretacja wzoru
Interpretacja geometryczna w oparciu o pojęcie czterowektora:
postać i wartość nie ulegają zmianie przy przekształceniach Lorentza (jest niezmiennikiem
v < 0 x0 `" 0, x = x0 + vt
E = mc2 . Masa w teorii względności. Masa i pęd fotonów. Co to jest defekt masy? Dokonuję się jej w oparciu o pojęcie tzw. czterowektora pędu. Odpowiednikiem odległości w
przekształceń Lorentza). Kwadrat interwału mo\
e przybierać wartości zarówno dodatnie jak i ujemne
przestrzeni czterowymiarowej jest interwał, którego kwadrat ma postać:
w zale\
ności od tego czy kwadrat  odległości czasowej jest mniejszy czy większy od kwadratu
Aby utrzymać w mocy w mechanice relatywistycznej słuszność zasady zachowania energii, między 2 2 2 2
(ct)2  x2  y2  z2 = s2, lub x0 - x1 - x2 - x3 = s2 , odległość przestrzennej.
punkt nieruchomy
2
masą a energią ciała musi zachodzić związek E = mc . W zale\
ności od tego, czy oś czasową czasoprzestrzeni przyjmiemy jako rzeczywistą, czy
gdzie: x0=ct, x1a"x, x2a"y, x3a"z,
Jest to słynne równanie Einsteina, wyra\
ające równowa\
ność masy i energii. urojoną, mamy mo\
liwość zbudowania czterowymiarowej czasoprzestrzeni rzeczywistej lub
Wektor pędu w zwykłej przestrzeni trójwymiarowej ma współrzędne:
zespolonej. Do opisu (zobrazowania) czterowymiarowej przestrzeni u\
ywamy przekrojów
E0 = m0c2 - energia spoczynkowa, spoczywające ciało ma zawsze pewną energię związaną ze swoją
dx1 dx1 dx1
p1 = m p1 = m p1 = m , płaszczyznami x  (ct); y  (ct) z  (ct)
masą. Tutaj masa ciała jest równa masie spoczynkowej. x
dÄ dÄ dÄ
Mo\
na w prosty sposób wykazać \
e w czasoprzestrzeni zespolonej przekształcenia Lorentza
ruch ze zmienną prędkością
gdzie Ä  czas wÅ‚asny, niezale\
ny od układu odniesienia
odpowiadają obrotowi układu współrzędnych w czasoprzestrzeni. Przekształcenie współrzędnych
EK = E - E0 - energia kinetyczna ciała równa jest ró\
nicy energii całkowitej E ciała w ruchu i jego
wynikające z ruchu postępowego jednego układu względem drugiego jest równowa\
ne obrotowi
energii spoczynkowej. Według mechaniki relatywistycznej energia kinetyczna jest związana z
układu współrzędnych w czterowymiarowej czasoprzestrzeni.
13. Zilustruj wykresem czasoprzestrzennym względność czasu i względność równoczesności.
przyrostem masy ciała.
W przestrzeni rzeczywistej mamy do czynienia z przejściem z układu prostokątnego do układu
Przeszłość i przyszłość  absolutna i względna.
ukośnokątnego, które to przejście mo\
na uznać za przeciwbie\
ny obrót osi czasowej z osią
Pęd w mechanice relatywistycznej zdefiniowany jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
przestrzennÄ….
p=mv, ale nie jest on ju\
ściśle proporcjonalny do prędkości, poniewa\
masa jest funkcją prędkości.
5 6 7 8