Lista zadań nr 4
Układ dwóch zmiennych
Zmienne skokowe
1) Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład prawdopodobieństwa określony następująco:
P(X=1,Y=1)=0,2, P(X=1,Y=2)=0,3, P(X=3,Y=1)=0,4, P(X=3,Y=2)=0,1.
a) Zapisać ten rozkład w tabeli.
b) Zbadać czy zmienne losowe X i Y są niezależne.
c) Wyznaczyć dystrybuantę i wartość przeciętną zmiennej losowej X.
d) Obliczyć wartość dystrybuanty w punkcie (2,2).
2) Tablica przedstawia łączny rozkład liczby punktów z matematyki (X) i ocen ze statystyki (Y)
studentów pierwszego roku, którzy przystąpili do tych dwóch egzaminów.
Liczba punktów Ocena ze statystyki (yj)
z matematyki (xi)
2 3 4 5
I 20  24 1 6 2 -
II 25  29 2 12 6 -
III 30  34 - 9 10 2
IV 35  39 - 6 5 2
V 40 - 44 - - 4 1
a) wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y)
b) wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych X i Y
c) zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y
d) policzyć wartości oczekiwane i wariancję zmiennych X, Y
e) policzyć cov(X,Y), zbudować macierz kowariancji
f) wyznaczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y
3) W pudełku jest 10 losów. Jeden z nich wygrywa 10 zł, a za wyciągnięcie pozostałych płacimy 2 zł.
CiÄ…gniemy kolejno bez zwrotu 3 losy. Niech X oznacza wygranÄ… przypadajÄ…cÄ… na pierwszy los, Y zaÅ›
łączną wygraną w drugim i trzecim losowaniu (przegrana 2zł = wygrana  2zł). Obliczyć: rozkład
wektora (X,Y); cov (X,Y).
4) Zmienna losowa (X,Y) ma następujące wartości argumentów: EX = 0, EY = 1, V(X) = 4, V(Y) = 1,
Á(X,Y) = ½.Obliczyć:
a) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = 2X-3Y
b) współczynnik korelacji zmiennej losowej (U,W), gdy U = X+2Y, W = 2X-Y
5) Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład:
X -1 0 1
Y
-1 0,125 0,25 0,125
1 0,125 0,125 c
Wyznaczyć wartość c.
Wyznaczyć E(XY), cov(X,Y).
Znalez
ć rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych: Z = X2 + Y2 , U = 2X - Y, W = XY .
Wyznaczyć E(Z), E(U), E(W).
Zmienne ciągłe
Rozkład normalny dwuwymiarowy
1 1
6) Zmienna losowa ma rozkÅ‚ad o gÄ™stoÅ›ci f (x, y) = Å" expëÅ‚ - (x2 + y2)öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2Ä„ 2
íÅ‚ Å‚Å‚
a) zbadać niezależność zmiennych losowych X i Y
b) wyznaczyć P({-10})
c) obliczyć kowariancję zmiennych losowych Z i W, gdy Z = X+Y, W = 3X-Y
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚
1 1 x2 y2 öÅ‚÷Å‚
7) Zmienna losowa ma rozkÅ‚ad o gÄ™stoÅ›ci f (x, y) = expìÅ‚- ìÅ‚ ÷Å‚
+
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
20Ä„ 2 4 25
íÅ‚ Å‚Å‚÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Wyznaczyć
a) współczynnik korelacji,
b) P({-1c) rozkład zmiennej losowej (U,W), gdy U = 2X-Y, W = X+2Y.
8) Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają rozkłady normalne odpowiednio N(1,2), N(-1,2). Znalez
ć
gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Z = 2X  3Y.