Elementy i Obwody Elektryczne Element ( element obwodowy) jedno z podstawowych pojęć teorii obwodów. Element jest modelem pewnego zjawiska lub cechy fizycznej zwiÄ…zanej z obwodem. Elementy (jako modele) mogÄ… mieć ró\ny stopieÅ„ komplikacji. Funkcja zaciskowa Funkcja zaciskowa (obwodowa) (obwodowa) ELEMENT u(t) Zacisk Zacisk B A i(t) KoÅ„cówka KoÅ„cówka Element dwuzaciskowy (dwukoÅ„cówkowy) DWÓJNIK StrzaÅ‚kowanie odbiornikowe ! Funkcje zaciskowe elementu: prÄ…d elementu i(t) oraz napiÄ™cie elementu u(t) zwiÄ…zane sÄ… ze sobÄ… równaniem elementu, które definiuje dany element i okreÅ›la jego podstawowe wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci. W TO U\ywane sÄ… elementy wielozaciskowe: trójnik, czwórnik itd. Obwody, ukÅ‚ady, sieci Obwód mo\liwie najprostsze poÅ‚Ä…czenie elementów umo\liwiajÄ…ce przepÅ‚yw prÄ…du elektrycznego. UkÅ‚ad ( obwód rozgaÅ‚Ä™ziony ) struktura bardziej rozbudowana ni\ obwód. Sieć bardzo du\y ukÅ‚ad. Podstawowe modele zjawisk w obwodzie Zjawisko: BEZSTRATNY PRZEPAYW PRDU Element: ZWARCIE ( GALWANICZNE ) i u a" 0 Równanie elementu: "u a" 0 " a" " a" " a" i Moc chwilowa z jakÄ… zwarcie pobiera energiÄ™ elektrycznÄ… z obwodu: p(t) = u(t) i(t) = 0Å" a" 0 Å"i(t) a" Å" a" Å" a" Zjawisko: BRAK PRZEPAYWU PRDU Element: ROZWARCIE ( PRZERWA) i a" 0 u Równanie elementu: "i a" 0 " a" " a" " a" u Moc chwilowa z jakÄ… rozwarcie pobiera energiÄ™ elektrycznÄ… z obwodu: Å"0 a" p(t) = u(t) i(t) = u(t)Å" a" 0 Å" a" Å" a" Zjawisko: ROZPRASZANIE ( DYSSYPACJA ) ENERGII ELEKTRYCZNEJ Element: OPÓR LINIOWY R (G) i u Równanie elementu ( POSTULAT OHMA ): Å" Å" u = RÅ"i lub i = GÅ"u Å" Å" Å" Å" G = R 1 StrzaÅ‚kowanie odbiornikowe ! Jednostki: R: [&! ohm &!] &! &! G: [S] simens Opór jest elementem dyssypatywnym (rozpraszajÄ…cym) bezinercyjnym. U l R = = Á U I S Á Á Á Á îÅ‚ Å‚Å‚ &!Å" mm2 ÁïÅ‚ S l śł opór wÅ‚aÅ›ciwy materiaÅ‚u m ðÅ‚ ûÅ‚ I Moc chwilowa z jakÄ… opór przetwarza energiÄ™ elektrycznÄ…: pR(t) = u(t) i(t) = R i2(t) = G u2(t) e" e" 0 e" e" PrzykÅ‚ad. Jaka jest rezystancja przewodu miedzianego o przekroju S= 2,5 mm2 i dÅ‚ugoÅ›ci l= 50 m. &!Å"mm2 ÁCu = 0,0175[ ]= 0,0175[µ&! Å" m] ODP rezystancja wÅ‚aÅ›ciwa miedzi m 50 R = 0,0175 = 0,35 &! 2,5 Uwaga: Å›rednica przewodu wynosi: D= 0,89 mm (dosyć cienki!) PrzykÅ‚ad. Z jakÄ… mocÄ… wydziela siÄ™ energia elektryczna z przewodu z poprzedniego zadania przy przepÅ‚ywie prÄ…du i= 2 A. p(t) = R Å"i2 = 1,4 W ODP PrzykÅ‚ad Do jakiej temperatury T nagrzeje siÄ™ przewód z poprzednich zadaÅ„ podczas godzinnej pracy. Temperatura poczÄ…tkowa T0= 293 K. ZaÅ‚o\enie: brak chÅ‚odzenia! ODP W = p Å"t = 5,04 kJ Wydzielona energia elektryczna: W = k Å"Q = k Å"cCuÅ"m Å" "T = k Å"cCuÅ"Å‚Cu Å"V Å" "T îÅ‚ kcal Å‚Å‚ îÅ‚ cal Å‚Å‚ cCu = 0,092 ïÅ‚ = 0,092 ïÅ‚ śł ciepÅ‚o wÅ‚aÅ›ciwe miedzi śł ðÅ‚kgÅ" K ûÅ‚ ðÅ‚g Å" K ûÅ‚ kg kg g Å‚Cu = 8,9 îÅ‚ 3 Å‚Å‚ = 8900 îÅ‚ 3 Å‚Å‚ = 8,9Å"106 îÅ‚ 3 Å‚Å‚ gÄ™stość miedzi ïÅ‚dm śł ïÅ‚m śł ïÅ‚m śł ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ J k = 4,1868 îÅ‚ Å‚Å‚ przelicznik kalorii na d\ule ïÅ‚calśł ðÅ‚ ûÅ‚ ObjÄ™tość przewodu: V = S Å" l = 2,5Å"10-6 Å"50 = 125Å"10-6 m3 = 0,125 dm3 Masa przewodu: m = Å‚ Å"V = 8,9Å"0,125 = 1,1125 kg Cu Przetworzona energia: W = kQ = 4,1868Å" 0,092 Å"1,1125Å"103 Å" "T = 428,519 Å" "T Przyrost temperatury: 5040 "T = T - T0 = = 11,76 K 428,519 Temperatura przewodu: T = T0 + "T = 293 +11,76 = 304,76 K T = 31,76 oC 1 PrzykÅ‚ad Dane: R = 5 &! ( G = îÅ‚ 1 Å‚Å‚= 0,2 S ) ïÅ‚&!śł 5 ðÅ‚ ûÅ‚ u(t) = 10Å"1(t) 15Å"1(t 2) + 5Å"1(t 3) [V] Obliczenia: i(t) = u(t) Å"G = 2Å"1(t) 3Å"1(t 2) + 1Å"1(t 3) [A] u(t) [V] i(t) [A] +1 t [s] +2 t [s] 1 2 2 3 3 5 p(t) = GÅ"u2(t) = RÅ"i2(t) u2(t) = 100Å"1(t) 75Å"1(t 2) 25Å"1(t 3) u2(t) [V2] i2(t) [A2] +4 +100 +2 +1 t [s] t [s] 2 2 3 3 p(t)=GÅ"u2(t) = 20Å"1(t) 15Å"1(t 2) 5Å"1(t 3) wR(0,t) [J] p(t) [W] 45 +20 40 20 +5 t [s] t [s] 1 2 3 3 2 Zjawisko: GROMADZENIE ( KONSERWACJA ) ENERGII ELEKTRYCZNEJ Element: POJEMNOŚĆ LINIOWA C q i u Równania elementu : q = CÅ" Å"u Å" Å" dq du i = = C dt dt StrzaÅ‚kowanie odbiornikowe ! Jednostki: C: [F] farad = 1AÅ" Å"1V 1 Å"1sÅ" Å" Å" Å" Å" q: [C] kulomb = 1AÅ" Å"1s Å" Å" d u(t) i(t) = C d t t 1 u(t) = +"i(Ä)dÄ + u(t0 ) C t0 Pojemność jest elementem konserwatywnym inercyjnym. Moc chwilowa z jakÄ… energia elektryczna jest gromadzona w polu elektrycznym pojemnoÅ›ci: dq(t) pC(t) = u(t) Å"i(t) = u(t) Å" [W] dt q S q C = = µ µ=µwÅ"µ0 µ µ Å"µ µ µ Å"µ µ µ Å"µ u d S µ = µwµ0 przenikalność elektryczna +q 1 F d µ0 = Å"10-9 îÅ‚ Å‚Å‚ przenikalność elektryczna pró\ni ïÅ‚mśł 36Ä„ ðÅ‚ ûÅ‚ PrzykÅ‚ad Jaka jest przybli\ona pojemność kondensatora powietrznego o koÅ‚owych okÅ‚adkach majÄ…cych Å›rednicÄ™ D= 30 cm i oddalonych o d= 0,3 mm. ODP µwE" 1 bo, powietrze ; Powierzchnia okÅ‚adek: 1 9 S = Ä„D2 = Ä„ = 0,071 m2 4 400 S 10-9 9Ä„ 10+4 1 Cp = µ0 = Å" Å" = Å"10-7 F = 2,1 nF d 4Ä„ Å"9 400 3 48 PrzykÅ‚ad Jaka jest przybli\ona pojemność kondensatora z poprzedniego przykÅ‚adu jeÅ›li zostanie on wypeÅ‚niony polistyrenem? ODP µwE" 2,65 przenikalność wzglÄ™dna polistyrenu; S C1 = µwµ0 = µw Å"Cp = 2,65Å" 2,1 nF = 5,56 nF d PrzykÅ‚ad Jaki Å‚adunek zostanie zgromadzony na okÅ‚adkach kondensatora z poprzedniego przykÅ‚adu jeÅ›li podÅ‚Ä…czymy je do zródÅ‚a o napiÄ™ciu 200 V? ODP Q = CU = 5,56 Å"10-9 Å" 200 = 1,113 µC PrzykÅ‚ad Ile energii zostanie zgromadzonej w kondensatorze z poprzedniego przykÅ‚adu? ODP QU CU2 Q2 W = = = W= 111,2 µJ 2 2 2C Zjawisko: GROMADZENIE ( KONSERWACJA ) ENERGII ELEKTRYCZNEJ Element: INDUKCYJNOŚĆ LINIOWA L i È u Równania elementu : È = LÅ" È Å" È Å"i È Å" dÈ di u = = L dt dt StrzaÅ‚kowanie odbiornikowe ! Jednostki: L: [H] henr = 1VÅ" Å"1A 1 Å"1sÅ" Å" Å" Å" Å" È: [Wb] weber = 1VÅ" È Å" È Å"1s È Å" d i(t) u(t) = L d t t 1 i(t) = +"u(Ä)dÄ + i(t0 ) L t0 Indukcyjność jest elementem konserwatywnym inercyjnym. Moc chwilowa z jakÄ… energia elektryczna jest gromadzona w polu magnetycznym indukcyjnoÅ›ci: dÈ(t) pL(t) = u(t)Å"i(t) = Å"i(t) [W] dt Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE ENERGII ELEKTRYCZNEJ Element: yRÓDAO NAPICIA ( DOWOLNA MOC CHWILOWA ) e ie u Równania elementu : e dowolne ( zadane ) ie wymuszone przez obwód zewnÄ™trzny StrzaÅ‚kowanie zródÅ‚owe ! e [V] pe > 0 pe < 0 Pp E e i i [A] i Charakterystyka zródÅ‚a napiÄ™cia o !? staÅ‚ej wartoÅ›ci: e(t) = E = const Moc chwilowa energii elektrycznej zródÅ‚a napiÄ™cia: pe(t) = u(t)Å" i(t) = e(t)Å"ie(t) [W] pe(t) > 0 zródÅ‚o oddaje energiÄ™ pe(t) < 0 zródÅ‚o pobiera energiÄ™ Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE ENERGII ELEKTRYCZNEJ Element: yRÓDAO PRDU ( DOWOLNA MOC CHWILOWA ) j i uj Równania elementu : j dowolne ( zadane ) uj wymuszone przez obwód zewnÄ™trzny StrzaÅ‚kowanie zródÅ‚owe ! j [A] pj < 0 pj > 0 Pp J j i u [V] up ! ? Charakterystyka zródÅ‚a prÄ…du o staÅ‚ej wydajnoÅ›ci: j(t) = J = const Moc chwilowa energii elektrycznej zródÅ‚a prÄ…du: pj(t) = u(t)Å" i(t) = uj(t)Å" j(t) [W] pj(t) > 0 zródÅ‚o oddaje energiÄ™ pj(t) < 0 zródÅ‚o pobiera energiÄ™ Element: yRÓDAO STEROWANE i2 i1a"0 i2 kÅ"u1 rÅ"i1 i1 u1 u2 u2 u1a"0 ZNSN ( VCVS ) ZNSP ( CCVS ) i2 i1a"0 i2 g u1 Ä… i1 i1 u1 u2 u2 u1a"0 ZPSN ( VCCS ) ZPSP ( CCCS ) W przypadku zródeÅ‚ sterowanych moc chwilowa pierwotna jest zawsze równa zero: p1(t) a" a" 0 co oznacza, \e zródÅ‚a nie pobierajÄ… a" a" energii od strony sterowania. Postulaty Teorii Obwodów PrÄ…dowy Postulat Kirchhoffa ( PPK ) i = 0 " Algebraiczna suma prÄ…dów we wÄ™zle jest równa zero. NapiÄ™ciowy Postulat Kirchhoffa ( NPK ) u = 0 " Algebraiczna suma napięć w oczku jest równa zero. Postulat Ohma ( PO ) u = R Å"i lub i = G Å"u 1 1 îÅ‚ Å‚Å‚ G [S] = ïÅ‚&!śł R ðÅ‚ ûÅ‚ Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE ENERGII ELEKTRYCZNEJ Element: NAPICIOWE yRÓDAO ENERGII (OGRANICZONA MOC CHWILOWA) U rÅ"I E r I Równania elementu : E dowolne ( zadane ) I wymuszone StrzaÅ‚kowanie zródÅ‚owe ! NPK: (+U) + ( E) + (+ r I) = 0 U = E r I p = UÅ" Å"I rÅ" Å"I = EÅ" Å"I2 Å" Å" Å" Å" Å" Å" E p [W] U [V] Iz = r p < 0 p > 0 E2 pmax = 4 r I [A] Pp(0,5Iz,0,5E) U0= E rIp p E
max 1 Ip = = Iz Up 2 2 r E p < 0 p < 0 Iz = I [A] r p > 0 Ip p < 0 Zadanie 1 Przedyskutować prÄ…dowe zródÅ‚o energii i porównać jego zachowanie w ró\nych stanach pracy ze zródÅ‚em prÄ…du. AÄ…czenie elementów bezzródÅ‚owych dwuzaciskowych PoÅ‚Ä…czenie szeregowe ( dzielnik napiÄ™cia ) u1 u2 A B i1 i2 & & D2 D1 i = i1 = i2 = & u = u1 + u2 + & u B A i Dz Rz > max Rk Rezystory Rz = R1 + R2 + L= Rk " k IndukcyjnoÅ›ci Lz = L1 + L2 + L= Lk Lz > max Lk " ( bez sprzÄ™\eÅ„ ) k (+M) sprz. Zgodne IndukcyjnoÅ›ci Lz = L1 + L2 + 2Å"(Ä… M) ( M) sprz. Przeciwne (ze sprzÄ™\eniem) 1 1 1 1 = + + L= PojemnoÅ›ci " Cz C1 C2 Ck Cz < min Ck k Rezystancyjny Dzielnik NapiÄ™cia (nie obciÄ…\ony) uk u2 uN u1 i1a" 0 R1 R2 R RN k i u ëÅ‚ öÅ‚ Rk Rk uk = Å" u = Å" u ìÅ‚ ÷Å‚ N Rz íÅ‚ Å‚Å‚ Ri " i=1 PrzykÅ‚ad Jakie bÄ™dzie napiÄ™cie U2 na rezystorze R2 jeÅ›li nieobciÄ…\ony dzielnik napiÄ™cia zasilany jest napiÄ™ciem U= 24 V. Dane: R1= 24 &!, R2= 47 &!, R3= 12 &!. U2 R2 47 U2 = U = 24 = 13,59 V R1 R2 R3 R1 + R2 + R3 24 + 47 + 12 U PrzykÅ‚ad Tradycyjne \aróweczki stosowane do oÅ›wietlenia choinki majÄ… moc P= 5 W przy napiÄ™ciu U= 14 V. Ile takich \aróweczek nale\y poÅ‚Ä…czyć szeregowo, jeÅ›li napiÄ™cie sieci zasilajÄ…cej wynosi Uz= 230 V. Jaka jest moc elektryczna takiego Å‚aÅ„cucha Å›wiateÅ‚ ? Rezystancja \aróweczki: 2 U 142 R = = = 39,2 &! P 5 Rezystancja Å‚aÅ„cucha: R0 = N Å" R = 17 Å" 39,2 = 666,4 &! Moc Å‚aÅ„cucha: Uz 2 N = = 16,43; N= 17 Uz U P0 = = 79,38 W R0 PrzykÅ‚ad PoÅ‚Ä…czono szeregowo \aróweczkÄ™ o parametrach znamionowych U1= 12 V, P1= 5 W z \arówkÄ… o parametrach znamionowych P2= 100 W, U2= 230 V i wÅ‚Ä…czono na napiÄ™cie U= 230 V. Co siÄ™ stanie? P2, U2 2 2 U1 U2 P1, U1 R1 = = 28,8 &! R2 = = 529 &! P1 P2 R1 U11 = U = 11,87 V Å›wieci peÅ‚nym Å›wiatÅ‚em R1 + R2 U R2 U21 = U = 218,3 V R2 R1 Å›wieci trochÄ™ sÅ‚abiej R1 + R2 U I0 = = 0,41 A P0 = U Å" I0 = 94,84 W R1 + R2 U PoÅ‚Ä…czenie równolegÅ‚e ( dzielnik prÄ…du ) u1 u i1 D1 A B B i A i Dz u1 i2 D2 u = u1 = u2 = & ik & & i = i1 + i2 + & uN u = u + u + & iN DN Gz > max Gk Gz = G1 + G2 + K = Rezystory "G k k 1 1 1 1 IndukcyjnoÅ›ci = + + L= " ( bez sprzÄ™\eÅ„ ) k Lz L1 L2 Lk Lz < min Lk 2 L1L2 - M (+M) sprz. Zgodne IndukcyjnoÅ›ci Lz = (ze sprzÄ™\eniem) L1 + L2 - 2Å"(Ä… M ) ( M) sprz. Przeciwne Kondensatory Cz = C1 + C2 + L= Ck Cz > maxCk " k Konduktancyjny Dzielnik PrÄ…du ( nie obciÄ…\ony ) u G1 i1 i2 G2 i ëÅ‚ öÅ‚ Gk Gk ik = Å"i = ìÅ‚ ÷Å‚ Å"i N ik Gk Gz íÅ‚ Å‚Å‚ "G i i=1 iN GN Wybrane Zasady i Twierdzenia Teorii Obwodów PrzeksztaÅ‚cenie gwiazda "! "! trójkÄ…t "! "! GBC C C B B RB RC GCA GBA RA A A RAB RCA GAGB RA = GAB = RAB + RBC + RCA GA + GB + GC RAB RBC GBGC RB = GBC = RAB + RBC + RCA GA + GB + GC RBC RCA GCGA RC = GCA = RAB + RBC + RCA GA + GB + GC PrzykÅ‚ad Przeliczyć wartoÅ›ci rezystorów symetrycznego czwórnika ksztaÅ‚tu T na wartoÅ›ci rezystorów symetrycznego czwórnika ksztaÅ‚tu . 2 1 25,97 &! 25,97 &! G0 = GA + GB + GC = + = 0,1055 S 25,97 35,14 35,14 &! 1 1 Å" 25,97 35,14 G1 = = 0,01039 S 0,1055 R1 = 96,25 &! Å„Å‚ 1 1 Å" ôÅ‚R = 71,13 &! 25,97 25,97 G2 = = 0,01406 S òÅ‚ 2 R2 0,1055 ôÅ‚R = 96,25 &! ół 3 1 1 Å" R1 R3 25,97 35,14 G3 = = 0,01039 S 0,1055 Równowa\ność zaciskowa zródeÅ‚ energii i i A A R OBC. OBC. G u j u e B NZE PZE B i = j G u u = e R i Warunki równowa\noÅ›ci zaciskowej RÅ"G = 1 Å" Å" Å" e = RÅ"j (" j = GÅ"e Å" (" Å" Å" (" Å" Å" (" Å" PrzykÅ‚ad 1 i i A A 2 &! 0,5 S u u 5 A 10 V B B NZE: U0 = 10 V, Iz = 5 A; PZE: U0 = 10 V, Iz = 5 A; u = 10 2 i i = 5 0,5 u PrzykÅ‚ad 2 i A i A i A 6 &! u 4 &! 1 30 V S 10 A 4 40 V B w u u w i A 2 &! 1 S 5 A 2 1 S 5 A 6 u 10 V B B B