Analiza obwodów liniowych
pobudzanych okresowymi
przebiegami
niesinusoidalnymi
Prądy i napięcia mogą być
okresowe niesinusoidalne.
Aby uprościć analizę obwodów
z takimi prądami i napięciami
będziemy je przedstawiać
w postaci szeregu Fouriera.
"
f (t)= A0 + Amk sin(kÉ0t +Ä…k )
"
k =1
gdzie
2Ä„
É0 =
T
jest pulsacją przebiegu rozkładanego na szereg Fouriera.
Rozpatrzmy przykład:
f(Ét)
Am
Ét
Ä„
0
2Ä„ 3Ä„
-Am
W praktyce mo\
emy przyjąć do obliczeń
skończoną liczbę składników szeregu,
zwanych harmonicznymi.
Suma szeregu daje wówczas
wartość przybli\
onÄ… funkcji czasu.
Dodanie kolejnej harmonicznej
poprawia dokładność,
tzn. przybli\
enie jest coraz lepsze.
Ilustruje to przykład:
15
15
15
15
15
15
15
15
9% Am
10
10
10
10
10
10
efekt
10
10
Gibbsa
5
5
5
5
5
5
5
5
0
0
0
0
0
0
0 0
0,0 0,0 0,5 0,5 1,0 1,0 1,5 1,5 2,0 2,0
-5
-5
-5
-5
-5
-5
-5 -5
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-10 -10
-15
-15
-15
-15
-15
-15
-15 -15
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
Szereg Fouriera
" Czy ka\
dÄ… funkcjÄ™ okresowÄ… mo\
na
przedstawić w postaci szeregu Fouriera?
Z matematyki wiadomo, \
e musi ona spełniać
pewne warunki:
WARUNKI DIRICHLETA
f (t)
1. W ka\
dym przedziale o długości T funkcja jest
bezwzględnie całkowalna
f (t) dt < "
+"
T
f (t)
2. W ka\
dym przedziale o długości T funkcja ma
skończoną liczbę maksimów i minimów
f (t)
3. Funkcja mo\
e mieć w przedziale T co najwy\
ej
skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym w
ka\
dym punkcie nieciągłości istnieją granice 
lewostronna i prawostronna
"
f (t)= A0 + Amk sin(kÉ0t +Ä…k )
"
k =1
gdzie
2Ä„
É0 =
T
jest pulsacją przebiegu rozkładanego na szereg Fouriera.
C0
- składowa stała, nazywana
A0 =
2
harmonicznÄ… zerowÄ…
Am sin(É0t +Ä…1) - funkcja sinusoidalna o takiej
1
samej pulsacji jak funkcja
wymuszajÄ…ca
f (t)
nosi nazwÄ™ pierwszej lub podstawowej harmonicznej
Rozpatrzymy k-tÄ… harmonicznÄ…
A sin(kÉ t +Ä… ) =
mk 0 k
= A sinÄ… coskÉ t + A cosÄ… sin kÉ t
mk k 0 mk k 0
Oznaczymy:
C = A sinÄ… B = A cosÄ…
k mk k k mk k
i otrzymujemy:
A sin(kÉ t +Ä… ) =
mk 0 k
= C coskÉ t + B sin kÉ t
k 0 k 0
wówczas:
"
C
0
f (t) = + (B sin kÉ t + C coskÉ t)
"
k 0 k 0
k=1
2
Z tych zale\
ności wynika:
2 2
A = B + C
mk k k
Ck
Ä…k = ar ctg
Bk
PEWNE RODZAJE SYMETRII:
1. FUNKCJE PRZEMIENNE
T
Spełniają warunek:
f (t)dt = 0
+"
0
( )
f t
wartość średnia za
okres równa się zeru.
0
t
2. FUNKCJE PARZYSTE
Spełniają warunek:
f (- t) = f (t)
wówczas:
dla
B = 0
k = 0,1, 2,K
k
( )
f t
0
t
T
-T
2
2
3. FUNKCJE NIEPARZYSTE
Spełniają warunek:
f (- t) = - f (t)
wówczas:
dla
C = 0
k = 0,1, 2,K
k
( )
f t
0
t
T
T
-T
-T
2
2
4. FUNKCJE ANTYSYMETRYCZNE
ëÅ‚t Ä„ öÅ‚
Spełniają warunek:
f + = - f (t)
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
wówczas:
C = 0, C = 0
B = 0,
0 2k
2k
dla
k = 0,1, 2,K
f(t)
t
0 Ä„ 2Ä„
Obliczanie współczynników szeregu
Fouriera
T
2
C0
C0 = f (t)dt;
A0 =
+"
T
2
0
T
C0 1
A0 = = f (t)dt;
+"
2 T
0
t0 +T
2
Ck = f (t)coskÉ0tdt
+"
T
t0
t0 +T
2
Bk = f (t)sin kÉ0tdt
+"
T
t0
T
Funkcje
2
4
Ck = f (t)coskÉ0tdt
f (- t) = f (t)
+"
parzyste
T
0
k =1, 2,K
T
Funkcje
2
4
Ck = f (t)coskÉ0tdt
f (- t) = - f (t)
+"
nieparzyste
T
0 k =1, 2,K
T
T
Funkcje
2
2
4
4
ëÅ‚t T öÅ‚
Ck = f (t)coskÉ0tdt ,
Bk = f (t)sin kÉ0tdt
f + = - f (t) +"
+"
antysymetr.
ìÅ‚ ÷Å‚
T
T
0
0
k =1, 3,K
2
íÅ‚ Å‚Å‚
T
f (- t) = f (t)
F. parzysta
4
8
oraz
Ck = f (t)coskÉ0tdt
+"
i antysyme-
T
0
ëÅ‚t T öÅ‚
tryczna
k =1, 3,K
f + = - f (t)
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
T
f (- t) = - f (t)
4
F.
8
oraz
Bk = f (t)coskÉ0tdt
+"
nieparzysta
T
0
ëÅ‚t T öÅ‚
k =1, 3,K
f + = - f (t)
i antysyme-
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
tryczna
Mamy dwie równowa\
ne postaci szeregu Fouriera:
"
f (t)= A0 + Amk sin(kÉ0t +Ä…k )
"
k =1
"
C0
f (t) = + (Bk sin kÉ0t + Ck coskÉ0t)
"
k=1
2
Wykładnicza postać szeregu Fouriera
"
C0
f (t) = + (Bk sin kÉ0t + Ck coskÉ0t)
"
k=1
2
jkÉ0t
jkÉ0t
e - e- jkÉ0t
e + e- jkÉ0t
sin kÉ0t =
cos kÉ0t =
2 j
2
"
C0 Ck + jBk
jkÉ0t
k
f (t)= + + e- jkÉ0t Å‚Å‚
"îÅ‚C - jBk e
ïÅ‚ śł
2 2 2
ðÅ‚ ûÅ‚
k =1
Vk
V-k
Ck - jBk
Vk = dla k = 0,1,2....
2
C-k - jB-k
V-k = dla k = 0,1,2....
2
C-k = Ck
Ck + jBk
V-k = = Vk"
2
B-k = Bk
"
" -"
jkÉ0t
jkÉ0t jkÉ0t
=
f (t)= V0 + +
"V e
k
"V e "V e
k k
k =-"
k =1 k =-1
"
jkÉ0t
f (t)= dla k = 0,Ä…1,Ä…2,...
"V e
k
k =-"
Współczynniki Vk obliczamy jako:
T
1
Vk = f (t)e- jkÉ0tdt
+"
T
0
Widmo:
Amplitudowe  wykres modułu Vk
Fazowe  wykres argumentu Vk dla wszystkich wartości k
Twierdzenie Parsevala
f (t) g(t)
Je\
eli i sÄ… funkcjami okresowymi o tym samym
okresie T spełniającymi warunki Dirichleta, to zachodzi
zale\
ność:
t0+T
" "
1
"
f (t)g(t)dt = fk gk = fk"gk
" "
+"
T
k=-" k=-"
t0
w szczególności gdy
f (t) = g(t)
t0+T
"
1
2
f (t) dt = fk 2
"
+"
T
k=-"
t0
Wartość skuteczna funkcji
okresowej niesinusoidalnej:
T
1
2
Ask = f (t)dt
+"
T
0
Wartość skuteczna k-tej
harmonicznej:
Am
k
Ak =
2
Wartość skuteczna funkcji :
f (t)
"
Ask = A0 + Ak 2
"
k=1
Wartość średnia za okres funkcji
:
f (t)
T
1
A0 = f (t)dt
+"
T
0
Wartość średnia z modułu funkcji
:
f (t)
T
1
Aśr = f (t) dt
+"
T
0
Współczynnik szczytu s
Amax
s =
Ask
dla sinusoidy s = 2
Współczynnik kształtu k:
Ask
k =
Aśr
dla sinusoidy k E" 1,11
Współczynnik zawartości
harmonicznych h:
A2 2 + A3 2 +L
h =
A1 2 + A2 2 + A3 2 +L
dla sinusoidy
h = 0
Współczynnik odkształcenia k0:
A1
k0 =
2
A0 + A1 2 + A2 2 +L
dla sinusoidy k0 =1
Współczynnik zawartości k-tej
harmonicznej hk:
Ak
hk =
A1
Obwody liniowe zasilane
odkształconymi napięciami i
prÄ…dami z
ródłowymi
"
Je\
eli
u = U0 + )
"U sin(kÉ0t +Õu
mk
k
k=l
"
i = I0 + )
oraz
"I sin(kÉ0t +Õi
mk
k
k=l
to
U0 u1 un
oraz
I0 in
i1
RozwiÄ…zanie obwodu tak zasilanego
polega na zastosowaniu zasady superpozycji
i rozwiÄ…zaniu obwodu dla ka\
dej harmonicznej
oddzielnie.
1. Rozwiązujemy obwód dla składowej stałej,
kondensatory stanowiÄ… przerwÄ™, a cewki  zwarcie.
2 Rozwiązujemy obwód dla kolejnych harmonicznych
metoda symbolicznÄ…, przy czym:
ZL = j kÉ0L
1
ZC = - j
kÉ0C
3. Przechodzimy do wartości chwilowych
dla poszczególnych harmonicznych
4. Po dodaniu wszystkich harmonicznych
otrzymujemy szereg Fouriera
dla szukanych prądów i napięć.
Wpływ indukcyjności i pojemności na wy\
sze
harmoniczne prądu i napięcia
Liniowa cewka o indukcyjności L
Im Um É0L Um 1
k k k
= Å" = Å"
Im kÉ0L Um Um k
1 1 1
dla wy\
szych harmonicznych k >1, więc
Im Um
k k
<
Im Um
1 1
Wniosek: Indukcyjność działa tłumiąco na wy\
sze
harmoniczne prÄ…du i pobudzajÄ…co na wy\
sze
harmoniczne napięcia
Liniowy kondensator o pojemności C:
Im Um kÉ0C Um
k k k
= = k
Im Um É0C Um
1 1 1
Im Um
k k
>
Im Um
1 1
Wniosek: pojemność działa tłumiąco na wy\
sze
harmoniczne napięcia i pobudzająco na wy\
sze
harmoniczne prÄ…du
Moc okresowych prądów
niesinusoidalnych
Moc czynną  definiuje wzór:
dla prądów okresowych
T
1
p = u Å"i
P = p dt
+"
moc chwilowa
T
0
Z tw. Parsevala wynika:
T
"
1
P =
"V Å"Wk"
k
+"u Å"idt =
T
k=-"
0
T
"
1
P = Vk Å"Wk"
"
+"u Å"idt =
T
k=-"
0
gdzie:
Vk ,Wk - są współczynnikami zespolonej postaci
szeregu Fouriera
Cu - jBu
k k
dla napięcia
(1)
Vk =
2
Ci - jBi
k k
dla prÄ…du
(2)
Wk =
2
rozpatrzymy wyra\
enie
Vk Å"Wk" +V-k Å"W-"k =
VkWk" +Vk"Wk =
= 2Re{Vk Wk"}
Po podstawieniu (1) i (2) otrzymujemy
1
( )
Cu Ci + Bu Ci
(3)
Vk Å"Wk" +V-k Å"W-"k =
k k k k
2
poniewa\
:
Cu =Um sinÕu
Bu =Um cosÕu
k k k
k k k
Bi = Im cosÕi
Ci = Im sinÕi
k k kz
k k k
prawÄ… stronÄ™ wyra\
enia (3) mo\
emy zapisać w postaci:
1
(3) = (Um sinÕu Å" Im sinÕi +
Um cosÕu Å" Im cosÕi )=
k k k k
k k k k
2
1
= Um Im cos(124 )=
Õu -Õi
Um Im cosÕk
k k k k
k k
4 3
2
Õk
Cu Ci
0 0
dla skÅ‚adnika zerowego: V0W0" = Å" =U0 Å" I0
2 2
PodsumowujÄ…c
:
"
P = U0 Å" I0 + Uk Å" Ik Å" cosÕk
"
k =1
podobnie
"
Q = Uk Å" Ik Å"sin Õk
"
k =1
natomiast
moc pozorna
S = U Å" Isk
p sk
Jednak tu nie obowiÄ…zuje mocy
2
P2 + Q2 d" Sp
2 2
P2 + Q2 + T = Sp
T  moc zniekształcenia