Temat:
Zmienna losowa.
Rozkład skokowy
Kody kolorów:
\
ółty  nowe pojęcie
pomarańczowy  uwaga
1
Anna Rajfura, Matematyka
Zagadnienia
1. Powtórzenie wybranych pojęć
i zagadnień rachunku
prawdopodobieństwa
2. Zmienna losowa. Rozkład
zmiennej losowej
3. Rozkłady skokowe
2
Anna Rajfura, Matematyka
Wybrane pojęcia
" doświadczenie losowe, ozn. D
" zbiór wszystkich wyników
doświadczenia losowego
(przestrzeń zdarzeń
elementarnych), ozn. &!
" zdarzenie losowe, ozn. A
3
Anna Rajfura, Matematyka
Wybrane pojęcia cd.
" alternatywa, koniunkcja zdarzeń
" zdarzenia wykluczajÄ…ce siÄ™
" zdarzenie przeciwne do A, A
" zdarzenie pewne, niemo\
liwe
4
Anna Rajfura, Matematyka
Wybrane pojęcia cd.
" p-stwo*
* zdarzenia losowego P(A)
*
*
(wzór Laplace a)
" aksjomatyczna definicja p-stwa
Kołmogorowa,
" własności p-stwa
* skrót słowa  prawdopodobieństwo
*
*
*
5
Anna Rajfura, Matematyka
Przykłady doświadczeń losowych
" rzut kostkÄ… do gry
" rzut monetÄ…
" losowanie kuli z urny
" losowanie karty z talii kart
" strzelanie do celu
Mogą być powtarzane wielokrotnie.
6
Anna Rajfura, Matematyka
Doświadczenie losowe - definicja
Doświadczenie losowe to takie
doświadczenie, w którym nie
wiadomo z góry, jaki będzie
wynik, choć wiadomo, jakie
wyniki mogą się pojawić.
Pojedynczy (najprostszy) wynik
doświadczenia losowego nazywa
siÄ™ zdarzeniem elementarnym.
7
Anna Rajfura, Matematyka
Opis matematyczny dośw. los.
Przykład 1.
Doświadczenie losowe D:
rzut monetÄ…
Zdarzenia elementarne: O, R
Zbiór wszystkich zdarzeń
elementarnych:
{ }
O, R
8
Anna Rajfura, Matematyka
Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Przestrzeń zdarzeń
elementarnych*
* to zbiór
*
*
wszystkich zdarzeń
elementarnych (wyników
doświadczenia losowego), ozn. &!,
np.:
{
&! = O, R }
* w skrócie  pze
*
*
*
9
Anna Rajfura, Matematyka
Przykład 2
Doświadczenie losowe D:
rzut kostkÄ… do gry
Pze:
{
&! = 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Wszystkie wyniki sÄ… jednakowo
prawdopodobne (kostka jest
rzetelna, symetryczna).
10
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenie losowe A - przykład cd.
A  zdarzenie losowe polegajÄ…ce
na tym, \
e wypadły dokładnie dwa
oczka
{ }
A = 2
W nawiasach podajemy zdarzenia
elementarne sprzyjajÄ…ce
zdarzeniu losowemu A.
11
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenie losowe B - przykład cd.
B  zdarzenie losowe polegajÄ…ce
na tym, \
e wypadły co najmniej
cztery oczka
{
B = 4, 5, 6 }
W nawiasach podano zdarzenia
elementarne sprzyjajÄ…ce
zdarzeniu losowemu B.
12
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe - przykład cd.
Uwaga
Zdarzenia losowe A, B sÄ…
podzbiorami przestrzeni zdarzeń
elementarnych &!:
A ‚" &!, B ‚" &!
13
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe - terminologia
Zdarzenia losowe opisuje siÄ™ w terminach
teorii mnogości (tak, jak zbiory).
Niech &!  pze; A, B  zdarzenia
losowe
A ‚" &! , B ‚" &!
14
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe  terminologia
A ‚" &! , B ‚" &!
" alternatywa zdarzeń A, B to
A *" B
suma zbiorów A, B, ozn.:
" koniunkcja zdarzeń A, B to
A )" B
iloczyn zbiorów A, B , ozn.:
15
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe  terminologia
A ‚" &! , B ‚" &!
" zdarzenia wykluczajÄ…ce siÄ™ A, B
to A, B są zbiorami rozłącznymi,
A )" B = "
zapis:
16
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe  terminologia
A ‚" &! , B ‚" &!
" zdarzenie przeciwne do A to
dopełnienie zbioru A, ozn. A'
A' = &!  A
17
Anna Rajfura, Matematyka
Zdarzenia losowe  terminologia
A ‚" &! , B ‚" &!
" zdarzenie pewne to zbiór &!,
" zdarzenie niemo\
liwe to zbiór
pusty, ozn.
"
18
Anna Rajfura, Matematyka
P-stwo zdarzenia losowego
Przykład
Doświadczenie losowe D - rzut
kostkÄ… do gry. Pze:
&! = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Liczebność zbioru &!, ozn.:
&!
(moc zbioru &!):
&! = 6
19
Anna Rajfura, Matematyka
P-stwo zdarzenia losowego
Przykład cd. Doświadczenie
losowe D - rzut kostkÄ… do gry
&! = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
&! = 6
{ } { }
A = 2 , A = 1, B = 4, 5, 6 , B = 3
Jak obliczyć p-stwo zdarzeń A, B?
20
Anna Rajfura, Matematyka
Wzór Laplace a
P-stwo zdarzenia losowego A,
ozn.: P(A)
Wzór Laplace'a (1812), klasyczna
definicja p-stwa:
A
P(A) =
&!
Komentarz o  definicji i warunkach stosowania wzoru.
21
Anna Rajfura, Matematyka
Przykład cd.
&! = 6 , A = 1 , B = 3
A 1
P(A) = = = 0,167 = 16,(7) %
6
&!
B 3
P(B) = = = 0,5 = 50 %
6
&!
Inne przykłady.
22
Anna Rajfura, Matematyka
Definicja aksjomatyczna p-stwa
Kołmogorowa (1933)
P-stwo zdarzenia losowego A, dla
A ‚" &! ,
ma spełniać następujące
warunki (aksjomaty):
1. P(A) e" 0,
2. P(&!) = 1,
3. P(A *" A *" K) = P(A )+ P(A )+ L
1 2 1 2
gdzie A1, A2, ... - zdarzenia losowe
wykluczajÄ…ce siÄ™.
23
Anna Rajfura, Matematyka
Pojęcie zmiennej losowej
24
Anna Rajfura, Matematyka
Zmienna losowa - przykład
Je\
eli w rzucie kostkÄ… wypadnie
więcej ni\
4 oczka, to gracz G
dostaje 10 zł, w przeciwnym razie
płaci 1 zł.
Dośw. losowe D - rzut kostką.
&! = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
25
Anna Rajfura, Matematyka
Zmienna losowa  przykład cd.
Dośw. losowe D - rzut kostką.
&! = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Wygrana gracza G to zmienna
losowa, ozn.: X
26
Anna Rajfura, Matematyka
Zmienna losowa  przykład cd.
D
wyniki dośw. D:
1 2 3 4 5 6
wartości zm. los. X:
-1 -1 -1 -1 10 10
wartości xi: -1 10
p-stwo pi: 4/6 = 2/3 2/6 = 1/3
27
Anna Rajfura, Matematyka
Zmienna losowa - definicja
Zmienna losowa to funkcja, która
wynikom doświadczenia losowego
przyporządkowuje wartości
liczbowe.
Ozn.: X, Y, Z, ..., X1, X2, X3, ...
X : wynik liczba
28
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład zmiennej losowej
Przykład
Zmienna losowa X  wygrana
gracza G w grze w kostkÄ™.
wartości xi: -1 10
Tabelka:
:
:
:
p-stwo pi: 2/3 1/3
przedstawia rozkład wartości
zmiennej losowej X.
29
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład zmiennej losowej
Przykład cd.
Funkcja rozkładu p-stwa*: f (xi)=pi
* w skrócie  frp
30
Anna Rajfura, Matematyka
Rozkład zmiennej losowej
Przykład cd.
Funkcja rozkładu p-stwa*: f (xi)=pi
p-stwo pi
Frp (tak\
e jej
wykres) przedstawia
rozkład wartości
2/3
2/3
2/3
2/3
zmiennej losowej X.
1/3
1/3
1/3
1/3
-1 10
-1 10
-1 10
-1 10
31
Anna Rajfura, Matematyka
wartości xi
wartości xi
wartości xi
wartości xi
Dystrybuanta - definicja
Dystrybuanta zmiennej losowej X:
def
FX (t) = P(X d" t), t " R
32
Anna Rajfura, Matematyka
Wykres dystrybuanty  przykład
FX (t)
1
2/3
-1
10
0
0
0
t
33
Anna Rajfura, Matematyka
Komentarz
Ró\
nie określone zmienne losowe
X, Y, nawet z ró\
nych
doświadczeń losowych DX, DY
i przestrzeni &!X, &!Y, mogą mieć
jednakowe rozkłady (przykład na
tablicy). Dlatego mo\
na badać
własności samych rozkładów,
pomijając słowny opis zmiennej
losowej.
34
Anna Rajfura, Matematyka
Typy rozkładów
Rozkład
skokowy ciągły
(dyskretny)
35
Anna Rajfura, Matematyka