Zakres egzaminu z
Mechaniki I (sem. II)
Mechaniki I (sem. II)
Zasady egzaminu
1. Egzamin jest egzaminem pisemnym (potrzebne będzie ok. 6
stron formatu A-4) i polega na rozwiązaniu trzech zadań.
2. Warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń.
3. Treść zadań obejmuje działy: statyka, wytrzymałość materiałów,
kinematyka i dynamika.
4. Egzamin trwa 4 godziny lekcyjne.
5. Każde z zadań jest osobno oceniane.
5. Każde z zadań jest osobno oceniane.
6. Do zaliczenia egzaminu trzeba zaliczyć każde z zadań, tzn.
uzyskać za każde zadanie ocenę co najmniej 3.
7. Końcowa ocena z egzaminu jest średnią z ocen za
poszczególne zadania.
Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
Jednorodna belka o przekroju prostokÄ…tnym jest zamocowana z
lewej strony za pomocÄ… przegubu walcowego, z prawej strony jest
podparta tocznie. Belka obciążona jest siłami skupionymi,
obciążeniem rozłożonym i momentem skupionym w sposób
pokazany na rysunku. Przeprowadzić obliczenia wytrzymałościowe
dla belki, w szczególności:
a) sporządzić szkic (układ współrzędnych, reakcje)
b) ułożyć równania równowagi sił i momentów,
c) wyznaczyć wartości liczbowe reakcji podpór,
d) zapisać w sposób analityczny wzory na moment zginający,
e) sporządzić wykres momentu zginającego,
f) zapisać w sposób analityczny wzory na siłę tnącą,
g) sporządzić wykres siły tnącej,
h) dobrać wymiary poprzeczne belki z warunku wytrzymałości.
Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
q
F
M
B
A
a1
a2
a
a3
a4
l
Dane liczbowe: F = 500N, q = 1500N/m, M = 500Nm, l=5m,
a1 = 1m, a2= 2m, a3= 3m, a4 = 4m, kg = 200 MPa. Ciężar
własny belki pominąć. Wskaz
nik wytrzymałości na zginanie
belki o przekroju prostokątnym wyraża się wzorem: Wz = hb2/6
(b,h  boki prostokÄ…ta, przy czym h = 3b).
Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
q
y
F
RA RB
M
B
A
x
Q
a1
a2
a
a3
a4
l
a) sporządzić szkic (układ współrzędnych, reakcje)
Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
b) ułożyć równania równowagi sił i momentów,
c) wyznaczyć wartości liczbowe reakcji podpór
Równania równowagi
Q = q (a3  a2)
RA  F  Q + RB = 0
MA: - Fa1  Q (a3 + a2)/2 + M + RBl = 0
Rozwiązanie równań równowagi
RB = (Fa1 + Q (a3 + a2)/2 - M )/ l
RA = F + Q  RB
RB = [500*1 + 1500 *(2+3)/2  500]/5 = 750 N
RA = 500 + 1500 -750 = 1250 N
Zadanie z działów statyka i wytrzymałość materiałów
q
y
F
RA RB
M
B
A
x
a1
a2
a3
a4
l
l
d) zapisać w sposób analityczny wzory na moment zginający,
x = 0 : Mg = 0
x = a1: Mg = RA a1 = 1250*1 = 1250 Nm
x = a2: Mg = RA a2  F (a2 - a1) = 1250*2  500*(2-1) = 2000 Nm
Zadanie z działów statyka i wytrzymałość materiałów
q
y
F
RA RB
M
B
A
x
a1
a2
a3
a4
l
l
x =  [a2 , a3 ] : Mg = RA x  F (x - a1)  q(x  a2) (x  a2) /2=
= 1250 x  500 (x-1) - 750 *(x-2)2
x = a3 : Mg = 1250*3-500*2-750 = 2000 Nm
dM
g
= 1250 - 500 -1500(x - 2) = 0 Ò! x = 2,5m
d x
M = 1250*2,5 - 500*1,5 - 750(2,5 - 2)2 = 2187,5 Nm
g max
Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
q
y
F
RA RB
M
B
A
x
a1 Q
a2
a3
a4
l
l
x = a4- : Mg = RA a4  F (a4 - a1)  Q [a4  (a2 +a3 )/2] =
= 1250*4  500*3  1500*1,5 = 1250 Nm
x = a4+ : Mg = Mg(a4-)  M = 1250  500 = 750 Nm
x = l : Mg = 0
Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
e) sporządzić wykres momentu zginającego,
Mg [Nm]
2000
1000
+
+
x
0
1 2 3 4 5
Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
q
y
F
RA RB
M
B
A
x
a1
a2
a3
a4
l
l
f) zapisać w sposób analityczny wzory na siłę tnącą
x = 0 : T = RA = 1250 N
x = a1: T = RA  F = 1250 - 500 = 750 N
Zadanie z działów statyka i wytrzymałość materiałów
q
y
F
RA RB
M
B
A
x
a1
a2
a3
a4
l
l
x =  [a2 , a3 ] : T = RA  F  q(x  a2) = 1250  500 - 1500 *(x-2) =
= 750 -1500*(x-2)
x = a3 : T = 750 - 1500*1 = - 750 N
Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
g) sporządzić wykres siły tnącej,
T [N]
1000
+
x
3
4
5
-
1 2
-1000
Zadanie 1 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
h) dobrać wymiary poprzeczne belki z warunku wytrzymałości,
M M
g g
max < kg max < Wz
Wz kg
2187,5 Nm 2187,5 Nm
Wz > =
Wz > =
6 6 -2
200 Pa 200 Nm-2
106 106
Wz > 11 10-6 m3 = 11cm3
b3
3
Wz = > 11cm3 b > 66 H" 4cm, h = 12 cm
6
Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
Dana jest kratownica jak na rysunku. Wszystkie pręty są jednakowej długości a
= 1 m i mają przekrój kołowy. W obliczeniach nie uwzględniać ciężaru
kratownicy. Przeprowadzić obliczenia wytrzymałościowe dla kratownicy dla
zadanego obciążenia, w szczególności:
a) sprawdzić warunek sztywności kratownicy,
b) ułożyć równania równowagi sił i momentów,
c) wyznaczyć wartości liczbowe reakcji więzów w węzłach A i C,
d) wyznaczyć siły w prętach korzystając z metody równowagi węzłów,
e) wyznaczyć z warunku wytrzymałości poprzeczny wymiar b pręta  1 .
P =120 3 N, kr = 200 MPa
Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
y
x
4
P
E D
6 5 3 2
1
7
C
A B
A B
a) sprawdzić warunek sztywności kratownicy
p=2w-3 7=2*5-3 spełniony
Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
b) ułożyć równania równowagi sił i momentów,
c) wyznaczyć wartości liczbowe reakcji więzów w węzłach A i C
y
x
4
P
E D
6 5 3 2
RC
RC
R
RA
1
7
C
A B
RA  P + RC = 0, - P*1,5 a + RC*2a = 0
RC = 0,75P = 0,75
120 3 =90 3 N,
RA = P - RC =120 3 -90 3 = 30 3 N
Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
d) wyznaczyć siły w prętach korzystając z metody równowagi
węzłów
y
x
S4
S4
4
P
E D
S
S2
S5
S6
S3
6 5 3 2
S5
S2
S6
S3
1
7
C
A B
S1 S1
S7
S7
Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
Pręty 1 i 2
S2 30o RC
60o
S1 C
-S1 + S2 cos 600 = 0 - S2 cos300 + RC = 0
RC 90 3 kN
S2 = = = 180 kN
cos300
3
2
1
S1 = S2 cos 600 = 180 kN = 90 kN
2
Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
Pręty 6 i 7
RA
30o
S6
60o
S7
S7 - S6 cos 600 = 0 - S6 cos300 + RA = 0
RA 30 3 kN
S6 = = = 60 kN
cos300
3
2
1
S7 = S6 cos 600 = 60 kN = 30 kN
2
Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
Pręty 5 i 3
30o 30o
S3
S5
60o
60o
S7 S1
-S7 + S5 cos 600 + S1 - S3 cos 600 = 0
7 5 1 3
-S5 cos300 - S3 cos300 = 0
S5 = -S3, - S7 - S3 cos 600 + S1 - S3 cos 600 = 0
S1 - S7 90 - 30
S3 = = = 60 kN, S5 = -60 kN
1
2cos 600
2 "
2
Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
Pręt 4
S4
60o
S6
60o
S5
S6 cos 60 - S5 cos 60 + S4 = 0
S6 cos 600 - S5 cos 600 + S4 = 0
1
S4 = S5 - S6 cos 600 = (-60 - 60) = -60 kN
( )
2
Zadanie 2 z działów statyka i wytrzymałość materiałów
e) wyznaczyć z warunku wytrzymałości poprzeczny wymiar b pręta  1 .
S1
< kr
Ä„ r12
S1 S1
< Ä„ r12 Ò! r1 >
kr Ä„ kr
kr Ä„ kr
90Å"103 N 3m2
r1 > = = 0,015m = 1,5cm
Ä„120Å"106 Nm-2 Ä„ 4Å"103
Zadanie z działów kinematyka i dynamika
Ciało o masie m porusza się ruchem płaskim pod wpływem
działania siły F1 skierowanej poziomo w prawo i siły F2
skierowanej pionowo do góry. Zmiany w czasie wartości sił w
czasie określają funkcje: F1 = bt, F2 = ct, gdzie b,c = const .
Przyjąć , że początkowo ciało znajdowało się w początku
układu współrzędnych x, y. Początkowa prędkość ciała była
równa zeru.
Dokonać analizy ruchu ciała, w szczególności:
Dokonać analizy ruchu ciała, w szczególności:
a) sporządzić szkic, z zaznaczeniem przyjętego układu
odniesienia, położenia ciała w chwili czasu t, sił czynnych
oraz siły bezwładności,
b) zapisać równania równowagi z zastosowaniem zasady
d Alemberta,
c) przekształcić równania równowagi do postaci równań
różniczkowych zwyczajnych dla wyznaczenia nieznanych
składowych prędkości,
Zadanie z działów kinematyka i dynamika
d) zapisać różniczkowe równania trajektorii,
e) zapisać warunki początkowe dla równań ruchu i równań
trajektorii,
f) rozwiązać równania ruchu określając zależność od czasu
składowych prędkości,
g) rozwiązać równania trajektorii.
Zadanie z działów kinematyka i dynamika
a) sporządzić szkic, z zaznaczeniem przyjętego układu odniesienia,
położenia ciała w chwili czasu t, sił czynnych oraz siły
bezwładności,
y
F
FB
F2
F1
x
Zadanie z działów kinematyka i dynamika
b) zapisać równania równowagi z zastosowaniem zasady
d Alemberta,
r r r
F1 + F2 + FB = 0
r r
r
F1 + F2 - ma = 0
F1 - max = 0, F2 - may = 0
c) przekształcić równania równowagi do postaci równań
różniczkowych zwyczajnych dla wyznaczenia nieznanych
składowych prędkości
duy
dux
F1 - m = 0, F2 - m = 0
dt dt
duy F2
dux F1
= , =
dt m dt m
Zadanie z działów kinematyka i dynamika
d) zapisać różniczkowe równania trajektorii,
dx dy
= ux,, = uy
dt dt
e) zapisać warunki początkowe dla równań ruchu i równań trajektorii
ux (0) = 0, uy (0) = 0, x(0) = 0, y(0) = 0
f) rozwiązać równania ruchu określając zależność od czasu
f) rozwiązać równania ruchu określając zależność od czasu
składowych prędkości
duy F2
dux F1
= , =
dt m dt m
t t
dux bt b bt2
dt = dt, ux(t) - ux(0) = (t2 - 0), ux (t) =
+" +"
dt m 2m 2m
0 0
t t
duy
ct c ct2
dt = dt, uy (t) - uy (0) = (t2 - 0), uy (t) =
+" +"
dt m 2m 2m
0 0
Zadanie z działów kinematyka i dynamika
g) rozwiązać równania trajektorii,
dx dy
= ux,, = uy
dt dt
t t t
dx bt2 bt3 bt3
dt = dt = , x(t) =
x
+" +"u dt, x(t) - x(0) = +"
dt 2m 6m 6m
0 0 0
t t t
t t t
2 3 3
dy ct2 ct3 ct3
dt = dt = , y(t) =
y
+" +"u dt, y(t) - y(0) = +"
dt 2m 6m 6m
0 0 0