Wykład III Granice funkcji f : R ' A R , A - przedział x0 A , f -określona w Sx0 = (x0 -d , x0 +d )\{x0} Definicja 3.1 (definicja Cauchy ego granicy funkcji) lim f (x)= g : x - x0 < d f (x) - g < e " $ " xx0 e >0d >0 xDf xąx0 x - x0 < d x U(x0,d ) f (x)- g < e f (x)J(g,e) Inaczej: lim f (x)= g : xU f (x)J " $ " xx0 Jot(g)Uot(x0 ) xDf xąx0 x K M xU ot(- Ą) x < K xU ot(+ Ą) x > M Granice niewłaściwe: x0 = ąĄ g = ąĄ lim f (x)= g x < k f (x)- g < e " $ " x-Ą e >0 KR xDf lim f (x)= -Ą x > M f (x)< K " $ " x+Ą K>R MR xDf Def. 3.2. (definicja Heinego granicy funkcji) lim f (x)= g : [lim xn = x0 lim f (xn)= g] " xx0 nĄ (xn )Df nĄ xn ąx0 Definicja 3.3 (granice jednostronne) lim- f (x)= g [lim xn = x0 lim f (xn )= g] " granica lewostronna: nĄ xx0 (xn )Df nĄ xnlim+ f (x)= g [lim xn = x0 lim f (xn )= g] " granica prawostronna: nĄ xx0 (xn )Df nĄ xn >x0 granice specjalne: sina 1) lim =1 a0 a ea -1 2) lim =1 a0 a ln(1+ a) 3) lim =1 a0 a Przykład 3.1 Ą } 1 x a) lim(12x) = e 1+3 x0 1 uzasadnienie: 1 xn [(xn) R Ł lim xn = 0] lim (1+ xn ) = e nĄ nĄ ogólnie: 1
f (x) (x)= lim [1+ (x)] = e ęxlim f 0ł xx0 f ś x0
? 54647 4 (- sin2 x)2 Ą } 1 [1Ą] 2 2 x2
x2 x2 -sin2 x b) lim(cos23) = lim[1+ cos2 x -1] = lim[1+(- sin2 x)] x ż 12 x0 x0 x0
1 14442444 3 e 2 sin x ć ?:= lim - 2 = -2
x0 x Ł ł 2 1 x2 lim(cos2 x) = e-2 = x0 e2 1 c) lim sin x0 x { Ą Podejrzewamy, że ciąg nie ma granicy. x sin x 1 p = + 2np xn 2 p p
sinć + 2np = sin =1
2 2 Ł ł 1 xn = p + 2np 2 1 Niech xn = nĄ0
p + 2np 2424 1 3 Ą 1 p
f (xn)= sin = sinć + 2np nĄ1
xn Ł 2 ł 1
xn = nĄ0 na podstawie definicji np Heinego granicy funkcji f (xn)= sin(np )nĄ0
xn nĄ0 Ł lim f (xn )=1
1
nĄ sin ż $lim / xn nĄ0 Ł lim f (xn )= 0 x0 x
nĄ Podstawowe twierdzenia dotyczące granic funkcji Twierdzenie 3.1 (podstawowe własności granic funkcji) Z definicji Heinego granicy funkcji i odpowiednich twierdzeń dotyczących granic ciągów wynikają następujące własności: (działania arytmetyczne) Jeżeli: f , g - określone w sąsiedztwie punktu x0 lim f (x)= g1 Ł lim g(x)= g2 xx0 xx0 g1, g2 -granice właściwe 1 lim [f (x)ą g(x)]= g1 ą g2 xx0 2 lim f (x) g(x)= g1 g2 xx0 f (x) g1 3 lim = xx0 g(x) g2 przy dodatkowym założeniu, że g(x)ą 0 w sąsiedztwie x0 Ł g2 ą 0 Twierdzenie 3.2 (twierdzenie o 3-ch funkcjach) Z. U ot(x0) f , g,h -określone naU \ {x0} f (x)Ł g(x)Ł h(x) " xU \{x0} lim f (x)= lim h(x)= g xx0 xx0 T. lim g(x)= g xx0 f (x)Ł g(x)Ł h(x) x x0 x x0 g g x x0 g Przykład 3.2 sin x 1 sin x 1 Oblicz: lim - Ł Ł xĄ x x x x x Ą x Ą 0 0 x Ą Ogólnie: 0 Z twierdzenia o 3-ch funkcjach wynika następująca własność: Jeżeli lim5e5e0 5S 5e = 0 g-ograniczona w otoczeniu 5e0 ! lim5e5e0 5S 5e " 5T(5e) = 0 krótko: lim f (x) g(x)= 0 { xx0 Żxx0 ogr 0 W przykł. 3.2.: 1 lim sin x = 0 { xĄ x ogr Ż 0 Definicja 3.4 (ciągłość w punkcie) f -określona w otoczeniu punktu x0 f -ciągła w x0 lim f (x)= f (x0) xx0 inaczej: 1 x0 Df
f -ciągła w x0 2 xx0 f g $lim (x)=
3 g = f (x0)
Ciągłość jednostronna:
1 x0 Df
2 lim f g f -lewostronnie (prawostronnie) ciągła w x0 (x)=
- xx0
+ (xx0 )
(x0) 3 g = f Przykład 3.3 Zbadać ciągłość w punkcie x = 2 w zależności od m . 1
dla x ą 2 1 f (x)=
1+ e2-x
m dla x = 2
1 f (2) = m 1 2 lim f (x)= lim = 0 1
x2- x2- 1+ e2-x 0+ 123
+Ą by f była
ż $lim f (x) $ / / x2 1 ciągła w x = 2 mR lim f (x)= lim =1 1 x2+ x2+ 1 + e2-x 0- 123
0 - dla m = 0 f -lewostronnie ciągła w punkcie x = 2 - dla m =1 f - prawostronnie ciągła w punkcie x = 2 Definicja 3.5 (ciągłość na zbiorze) f -ciągła na zbiorze ciągła zbioru X tzw. (jeżeli jest ciągła w każdym punkcie) Wniosek 3.1 1 Suma, różnica, iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągła. Iloraz funkcji ciągłych jest funkcja ciągłą pod warunkiem, że mianownik jest różny od 0. 2 Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Własności funkcji ciągłych c.d. I. (twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku) [ f -ciągła w x0 , określona w U ot(x0)Ł f (x0)> 0 (< 0) ] f (x)> 0 (< 0) $ " U1ot(x0) xU1 x0 II. (własność Darboux) [ f C[a,b] Ł f (a)ą f (b), niech c - liczba pomiędzy f (a) i f (b) ] f (x0 ) = c $ x0(a,b) c Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym przyjmuje wszystkie x0 x0 b x0 a wartości pośrednie. Definicja 3.6 (ograniczenie funkcji) 1 f - ograniczona z góry na zbiorze X : f (x)Ł M $ " MR xX 2 f -ograniczona z dołu na zbiorze X : f (x)ł m $ " mR xX Przykład 3.4 y f (x)= ex y = ex g(x)=1- x2 1 x inf ex = 0 xR funkcja nie osiąga kresu dolnego y 1 x y =1- x2 sup(1- x2)= f (0)=1 = max(1- x2)=1 xR xR funkcja osiąga kres górny maksimum Definicja 3.7 (kresy funkcji) 1 f (x)Ł M
"
xX M = sup f (x):
f (x)> M + e xX " $ 2 e >0 xX (czyt. supremum po x należącym do X z f (x)) 1 f (x)ł m
"
xX m = inf f (x):
xX f (x)< m + e " $ 2 e >0 xX (czyt. infimum po x należącym do X z f (x)) III. (twierdzenie Weierstrassa) Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym osiąga swoje kresy. f C[a,b] f (x1)= inf f (x)Ł f (x2)= sup f (x) $ x[a,b] x[a,b] x1,x2[a,b] Rachunek różniczkowy funkcji 1-ej zmiennej Niech f -określona na U ot(x0), (x0 + h)U f (x0 + h)- f (x0) iloraz różnicowy h y l f (x0 + h) f (x0 + h)- f (x0) n f (x0) a x0 x0 + h x h Definicja 3.8 (pochodna) f (x0 + h)- f (x0) to powiemy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 Jeżeli $lim h0 h f (x0 + h)- f (x0) ó i wartość tej granicy lim = f (x0) nazywamy pochodną funkcji w h0 h punkcie x0 . Interpretacja geometryczna pochodnej: ó f (x0)= tga a - kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji w punkcie (x0, f (x0)) i dodatnim kierunkiem osi 0X Wniosek 3.2 ó l : y - f (x0)= f (x0)(x - x0) prosta styczna do wykresu w punkcie (x0, f (x0)) Prosta do niej prostopadła nazywa się prostą normalną: 1 n : y - f (x0)= - (x - x0) ó f (x0) Definicja 3.9 (różniczkowalność na przedziale) f różniczkowalna na U f różniczkowalna w każdym punkcie xU ó ó f : X ' x f (x) Tw. 3.3 (działania arytmetyczne na pochodnych) Z: f , g różniczkowalne w x0 T: 1) (af + bg) różniczkowalna w x0 " a ,bR ó ó Ł (af + bg)ó(x0)=a f (x0)+ b g (x0) 2) ( f g) różniczkowalna w x0 ó ó Ł [f (x0) g(x0)]ó = f (x0)g(x0)+ f (x0)g (x0) 3) g ą 0 w pewnym U ot(x0) ć f różniczkowalna w x0
g Ł ł ó ł ó ó f (x0) f (x0) g(x0)- f (x0) g (x0) Ł = ę 2 g(x0)ś [g(x0)]
D: 2) f (x + h) g(x + h)- f (x) g(x) [f (x) g(x)]ó = lim = h0 h f (x + h) g(x + h)- f (x) g(x + h)+ f (x) g(x + h)- f (x) g(x) = lim = h0 h ł ę ś f (x + h)- f (x) g(x + h)- g(x) = lim g(x + h)+ f (x) = ę ś h0 h h 3 144244 3ś ę144244 ó ó f (x) g (x)
ó ó = f (x) g(x)+ f (x) g (x) f (x0 + h)- f (x0) ó f (x)= lim h0 h f (x)- f (x0) drugi ó f (x)= lim wzór na pochodną xx0 x - x0