Przykładowe zadania z odpowiedziami na kartkówkę z szeregów Fouriera
(Opracowali dr. Cz. Michalik i A. Dobrucki)
Zad. 1
Wyznaczyć amplitudę 3-tej harmonicznej napięcia u(t).
R
C u(t)
iZ(t)
L
R=6, C=1/ 36, L=1
RozwiÄ…zanie
U (s) Ls 36s
H (s)= = = , É0=2
IZ (s) LCs2+CRs+1 s2+6s+36
Ä„k
ëÅ‚ öÅ‚
40sin
ìÅ‚ ÷Å‚
40
2
íÅ‚ Å‚Å‚
I = - j = j
zk
k2Ä„2 9Ä„2
k=3
H (s) =6
s=j3É0=j 6
Wartość skuteczna 3-ciej harmonicznej napięcia u(t) wynosi:
40 80 2
U3sk = 2 I H ( j3É0) = 2 6 = H" 3,82
z3
2 2
9Ä„ 3Ä„
Zad. 2. Wyznaczyć moc czynną wydzieloną na dwójniku N przez 5-tą harmoniczną napięcia
e(t). Dane: R = 10&!, L = 4 /Ä„.
e(t)
L
e(t)
10
R
t
N
-3 -2
1 2 5 6
RozwiÄ…zanie:
k k
5
( )-(-1
)
(-j )
Ek=
Ä„kj
Moc czynna:
2
P=Re U I* =I Re Z =
{ }
{ }
* 2 2
Re UÅ"Y =U Re Y
( ) { }
{ }
{U }=U Re Y*
I(s) I(s)
Należy znalez
ć H (s)= = =Y (s) .
U (s) E(s)
k k
ëÅ‚
5 j
( )-(-1
)
(- )öÅ‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
Zatem Y (s)= . I = H (s) Ek = .
k
s:=jÉ0k
ìÅ‚ ÷Å‚
R+sL R + jÉ0kL Ä„ kj
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2Ä„ Ä„ 5Ä„
É0= = , 5É0=
4 2 2
5 5
ëÅ‚
5 j
( )-(-1
)
(- )öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
I = H (s) E5 = =
5
s:=j5É0
ìÅ‚ ÷Å‚
R + j5É0L Ä„ 5 j
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
- j - - j = -
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚ ÷Å‚
20 20 Ä„ Ä„ 10Ä„
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
2
2 2 2
Tak, więc P5 = 2 I R = H" 0,02W (2 pojawiła się, gdyż 2 I5 =2 I5
5 ( )
10Ä„2
2
Zad. 3. Wyznaczyć amplitudę trzeciej harmonicznej prądu ic(t). Dane: R = 2&!, C = F .
3Ä„
iZ(t)
16
ic(t)
iZ(t)
-12 -4 4 12
t
R C
-16
16 j(-1)k 16 j 4s 1+ j 16 j 16 2
Odp. I = , I =- , H (s)= , IC3A = 2 - = H" 2.4
zk z3
Ä„k 3Ä„ 4s+3Ä„ 2 3Ä„ 3Ä„
2
Zad. 4. Wyznaczyć amplitudę trzeciej harmonicznej prądu iR(t). Dane: R = 2&!, C = F .
3Ä„
iZ(t)
iR(t)
2
t
iZ(t)
-1 0 2 3 4
1
-2
R C
îÅ‚ 2Ä„k Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
2
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚cosíÅ‚ 3 Å‚Å‚ -1śł
3Ä„
ðÅ‚ ûÅ‚
Odp. I = j, I = 0 , H (s)= , IC3A=0
zk z3
Ä„k 4s+3Ä„
Zad. 5.
W obwodzie panuje stan ustalony. Wyznaczyć wartość skuteczną drugiej harmonicznej prądu
i(t).
2
e(t)
5
C
R
e(t)
L t
i(t)
-8Ä„ -6Ä„ 0 8Ä„
2Ä„
1
Dane:
C = 20F, L = H, R = 10&!.
5
5 5 LCs2 20s2
Odp. E2= -j , H (s)= = , H ( j2Éo)=10 j
2Ä„2 4Ä„ LCRs2+Ls+R 200s2+s+50
5 5 25 2 Ä„2 + 4
I2sk = 2 - j 10 j = H" 6,67
2Ä„2 4Ä„ 2Ä„2
Zad. 6. W obwodzie panuje stan ustalony. Wyznaczyć amplitudę drugiej harmonicznej
napięcia u(t).
iz(t)
L u(t)
1
iz(t)
C
R t
-4Ä„-3Ä„-2Ä„ 0 Ä„ 2Ä„ -5Ä„
4Ä„
1
Dane:
C =1F, L = H , R = 1&!.
2
U (s) Ls s 1 1 1
H (s)= = = , É0= , I = - + j
z 2
IZ (s) LCs2+CRs+1 s2+2s+2 2 2Ä„2 4Ä„
2 + j 2 + j 1 1 5 Ä„2 + 22
H (2É0) = , U2 A = 2 - + j = H" 0.0843
j
5 5 2Ä„2 4Ä„ 10Ä„2
Zad. 7. W obwodzie panuje stan ustalony. Znalez
ć amplitudę czwartej harmonicznej napięcia
u(t).
2
iZ(t)
fragment 0,25 t
(-2
)
R1 1
iZ(t) L
t
R2 u(t)
C
-2 0 2 4 6 8
Dane -1
2
fragment-0,25 t
(-2
)
1 5
R1 = 1&!, R2 = 2&!, L = H , C =
Ä„ 4Ä„
8Ä„ s +Ä„
( ) Ä„ 2 1
Odp. H (s) = , É0= , H (4 jÉ0)=H ( j2Ä„ )=- j , I = j ,
z 4
15s2 +14Ä„s + 4Ä„2 2 7 4Ä„
2 1
U4 A = 2 H" 0,04547
7 4Ä„
Zad. 8. W obwodzie panuje stan ustalony. Znalez
ć wartość skuteczną czwartej harmonicznej
prądu i(t) oraz składową stałą tego prądu.
e(t)
fragment-4 t2-4
( )
16
t
-2 0 2 4 6 8
R1
i(t)
Dane:
1
C
C= F, L=1H,
Ä„2
e(t)
R2 L R1=10&!, R2=20&!
Ä„2 1 4
Odp. H (s)= , H (s) =- j , E4=- ,
s=j 4É0=jÄ„
10s2+Ä„2s+10Ä„2 Ä„ Ä„2
1 4
I4sk = 2 H" 0,1824, I0 = 0,5333
Ä„Ä„2
Zad. 9. Wyznaczyć moc czynną wydzieloną w dwójniku N przez 5-tą harmoniczną prądu
iZ(t)
iZ(t)
R
2
1
t
C
0
-6Ä„-5Ä„-4Ä„ Ä„ 2Ä„ 6Ä„ 7Ä„
L
N
6 3
R=2, L= , C=
5 20
Odp.
3 + 2 j 7 2 7 14
I = - , I = P5h = 2Re Zwej ( j5É0 I = 2Å" 4 =
{ }
Z 5 Z 5 Z 5
2 2
10Ä„ 10Ä„ 100Ä„ 25Ä„
Zad. 10. Obliczyć wartość skuteczną czwartej harmonicznej napięcia u(t).
Dane: R1=1,R2=3,L=1,C=1.
iz(t)
R2
f r a g me n t
iz(t) L
f r a g me n t
-t(t+Ä„)
-t(t-Ä„)
R1
t
C
u(t)
-Ä„ Ä„ 3Ä„ 5Ä„
2Ä„ 4Ä„
Z
i
(
t
)
2
Odp.:U4sk = H" 0.0884
16
Zad. 11. Obliczyć wartość skuteczną drugiej harmonicznej prądu i(t)).
Dane: R1=1,R2=2,C=92,L=3.
L i(t)
R1
e(t)
f r a g me n t
-t(t-3Ä„)
t R2
e(t) C
9Ä„ 12Ä„ 15Ä„
-3Ä„ 3Ä„ 6Ä„
f r a g me n t t(t+3Ä„)
27 2
Odp.: I2sk = H" 6.077
2Ä„
Zad. 12. Obliczyć wartość średnią napięcia u(t) oraz wartość skuteczną trzeciej harmonicznej prądu
i(t). R1=3, R2=1, L=83 ,C=89 .
iz(t)
L
R1
iz(t)
i(t)
10 2
sin
t
u(t)
R2
C -3Ä„ -Ä„ Ä„ 5Ä„ 7Ä„
3Ä„
15 2 3 2
Odp.:U0 = H"1.69, I3sk = H"1.35.
4Ä„ Ä„
Zad. 13. Obliczyć wartość średnią prądu i(t) oraz wartość skuteczną czwartej harmonicznej napięcia
u(t). R1=1, R2=2, L=18 ,C=316.
e(t)
u(t)
L
R1
i(t)
6 2
e (t) sin
t
C
R2
-Ä„/4 Ä„/4 Ä„/2 3Ä„/4 Ä„
2 2 2
Odp.: I0 = H" 0.90,U4sk = H" 0.637.
Ä„ Ä„
Zad. 14. Obliczyć wartość średnią prądu i(t) oraz wartość skuteczną pierwszej harmonicznej
napięcia u(t).
iz(t)
[A]
iz(t)
C
10 2
u(t)
L
sin [ms]
R
i(t)
-5 5 15 25
250 100
R=10&!, C= µF, L= mH.
&!
&!
&!
Ä„ Ä„
20 2 1600
Odp.: I0 = H" 9.0,U1sk = H"169.8.
Ä„ 3Ä„
Zad. 15. Obliczyć wartość średnią prądu i(t) oraz wartość skuteczną drugiej harmonicznej
napięcia u(t).
[A]
R
iz(t) iz(t)
i(t)
20 2
sin
L
C [ms]
u(t) -10 10 20
t
500 50
R=5&!, C= µF, L= mH.
&!
&!
&!
Ä„ Ä„
20 2 800
Odp.: I0 = H" 9.0,U2sk = H" 84.9.
Ä„ 3Ä„
Zad. 16. Obliczyć wartość skuteczną drugiej harmonicznej napięcia u(t).
L1 C
e(t) 'cwiartka' cos
e(t)
10
L2 R uR(t)
t
2 4 6
1
Dane: L1=1, C= , L2=1, R=1
Ä„2
10(-1)k + 20kj 2 8
Odp. Ek = - , E2 = - - j , U3sk=0 , bo H (2É0 j)=0
3Ä„ 3Ä„
Ä„ 4k2 -1
( )